高中数学必修全思维导图.pdf
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高一数学必修1知识网络集合123412nxAxBABABAnA()元素与集合的关系:
属于()和不属于()()集合中元素的特性:
确定性、互异性、无序性集合与元素()集合的分类:
按集合中元素的个数多少分为:
有限集、无限集、空集()集合的表示方法:
列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法子集:
若,则,即是的子集。
、若集合中有个元素,则集合的子集有个,注关系集合集合与集合00(2-1)23,.4/nAAABCABBCACABABxBxAABABABABABxxAxBAAAAABBAAB真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集,即、对于集合如果,且那么、空集是任何集合的(真)子集。
真子集:
若且(即至少存在但),则是的真子集。
集合相等:
且定义:
且交集性质:
,运算,/()()()-()/()()()()()()UUUUUUUUAABBABABAABxxAxBAAAAAABBAABAABBABABBCardABCardACardBCardABCAxxUxAACAACAAUCCAACABCACB,定义:
或并集性质:
,定义:
且补集性质:
,()()()UUUCABCACB函数,ABAxByfBABxyxfyyxy映射定义:
设,是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应:
为从集合到集合的一个映射传统定义:
如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值,定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。
那么就是的函数。
记作函数及其表示函数().,()()(),1212()()(),12fxabaxxbfxfxfxababfxfxfxababa近代定义:
函数是从一个数集到另一个数集的映射。
定义域函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法单调性函数的基本性质传统定义:
在区间上,若如,则在上递增,是递增区间;如,则在上递减,是的递减区间。
导数定义:
在区间()1()2()()00,()0(),()0(),yfxIMxIfxMxIfxMMyfxbfxfxababfxfxabab最大值:
设函数的定义域为,如果存在实数满足:
()对于任意的,都有;()存在,使得。
则称是函数的最大值最值最上,若,则在上递增,是递增区间;如则在上递减,是的递减区间。
()1()2()()00
(1)()(),()
(2)()(),()yfxINxIfxNxIfxNNyfxfxfxxDfxfxfxxDfx小值:
设函数的定义域为,如果存在实数满足:
()对于任意的,都有;()存在,使得。
则称是函数的最小值定义域,则叫做奇函数,其图象关于原点对称。
奇偶性定义域,则叫做偶函数,其图()()()(0)()()1,()112yfxfxTfxTfxTTfxyyxaxyfxaa象关于轴对称。
奇偶函数的定义域关于原点对称周期性:
在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数,为周期;的最小正值叫做的最小正周期,简称周期()描点连线法:
列表、描点、连线向左平移个单位:
向右平移个平移变换函数图象的画法()变换法,()11,()11,()1110111/()11)01)1yyxaxyfxabxxybyybfxbxxybyybfxxwwwxwxyfwxyAA单位:
向上平移个单位:
向下平移个单位:
横坐标变换:
把各点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变),即伸缩变换纵坐标变换:
把各点的纵坐标伸长(或缩短(到/()1221010(,)2
(2)0000221010221010
(2)0011112(00221010AyyAyfxxxxxxxxyyyfxxyyyyyyxxxxxxxxyfxxyyyyxxxxyyyyfyyyyyy原来的倍(横坐标不变),即关于点对称:
关于直线对称:
对称变换关于直线对称:
)11()1xxxyxyfxyy关于直线对称:
附:
一、函数的定义域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数tanyx中()2xkkZ;余切函数cotyx中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法:
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法四、函数的最值的常用求法:
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法五、函数单调性的常用结论:
1、若(),()fxgx均为某区间上的增(减)函数,则()()fxgx在这个区间上也为增(减)函数2、若()fx为增(减)函数,则()fx为减(增)函数3、若()fx与()gx的单调性相同,则()yfgx是增函数;若()fx与()gx的单调性不同,则()yfgx是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:
比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:
1、如果一个奇函数在0x处有定义,则(0)0f,如果一个函数()yfx既是奇函数又是偶函数,则()0fx(反之不成立)2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数()yfu和()ugx复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
5、若函数()fx的定义域关于原点对称,则()fx可以表示为11()()()()()22fxfxfxfxfx,该式的特点是:
右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
()0()(),()()0,(),(,),()0,()0()0yfxfxxyfxyfxabfafbyfxabcabfccfxfx零点:
对于函数()我们把使的实数叫做函数的零点。
定理:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有零点与根的关系那么,函数在区间内有零点。
即存在使得这个也是方程的根。
(反之不成立)关系:
方程函数与方程函数的应用()()
(1),()()0,
(2)(,);(3)()()0,()()0,(,)0()()0,0yfxyfxxabfafbabcfcfccfafcbcxabfcfbacx有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点确定区间验证给定精确度;求区间的中点计算;二分法求方程的近似解若则就是函数的零点;若则令(此时零点);若则令(此时零点(,)(4)-,();24cbabab);判断是否达到精确度:
即若则得到零点的近似值或否则重复。
几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型,(0,)()(0,)()(0,0,)(01)1lomnananmnaarsrsaaaarsQrsrsaaarsQrrsabababrQxyaaax根式:
为根指数,为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义:
一般地把函数且叫做指数函数。
指数函数性质:
见表对数:
基本初等函数对数的运算对数函数g,log()loglog;logloglog;.loglog;(0,1,0,0)loglog(01)1log(,0,1,0)logcacNaNaMNMNaaaMMNaaaNnMnMaaMNaayxaaabbacacba为底数,为真数性质换底公式:
定义:
一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质:
见表且yxx幂函数定义:
一般地,函数叫做幂函数,是自变量,是常数。
性质:
见表2表表1指数函数0,1xyaaa对数数函数log0,1ayxaa定义域xR0,x值域0,yyR图象性质过定点(0,1)?
过定点(1,0)减函数增函数减函数增函数(,0)(1,)(0,)(0,1)xyxy时,时,(,0)(0,1)(0,)(1,)xyxy时,时,(0,1)(0,)(1,)(,0)xyxy时,时,(0,1)(,0)(1,)(0,)xyxy时,时,abababab表表2幂函数()yxRpq00111pq为奇数为奇数奇函数pq为奇数为偶数pq为偶数为奇数偶函数第一象限性质减函数增函数过定点01(,)高中数学必修高中数学必修2一、直线与方程一、直线与方程
(1)直线的倾斜角)直线的倾斜角定义:
x轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此,倾斜角的取值范围是0180
(2)直线的斜率)直线的斜率定义:
倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即tank。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当90,0时,0k;当180,90时,0k;当90时,k不存在。
过两点的直线的斜率公式:
)(211212xxxxyyk注意下面四点:
(1)当21xx时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90;
(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程)直线方程点斜式:
点斜式:
)(11xxkyy直线斜率k,且过点11,yx注意:
注意:
当直线的斜率为0时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。
斜截式:
斜截式:
bkxy,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式:
两点式:
112121yyxxyyxx(1212,xxyy)直线两点11,yx,22,yx截矩式:
截矩式:
1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距截距分别为,ab。
一般式:
一般式:
0CByAx(A,B不全为不全为0)注意:
注意:
1各式的适用范围2特殊的方程如:
平行于x轴的直线:
by(b为常数);平行于y轴的直线:
ax(a为常数);(5)直线系方程:
即具有某一共同性质的直线)直线系方程:
即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
(一)平行直线系平行于已知直线0000CyBxA(00,BA是不全为0的常数)的直线系:
000CyBxA(C为常数)
(二)过定点的直线系
(二)过定点的直线系()斜率为k的直线系:
00xxkyy,直线过定点00,yx;()过两条直线0:
1111CyBxAl,0:
2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA(为参数),其中直线2l不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直)两直线平行与垂直当111:
bxkyl,222:
bxkyl时,212121,/bbkkll;12121kkll注意:
利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
注意:
利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点)两条直线的交点0:
1111CyBxAl0:
2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。
方程组无解21/ll;方程组有无数解1l与2l重合(8)两点间距离公式:
)两点间距离公式:
设1122(,),AxyBxy,()是平面直角坐标系中的两个点,则222121|()()ABxxyy(9)点到直线距离公式:
)点到直线距离公式:
一点00,yxP到直线0:
1CByAxl的距离2200BACByAxd(10)两平行直线距离公式)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程二、圆的方程1、圆的定义:
、圆的定义:
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程、圆的方程
(1)标准方程)标准方程222rbyax,圆心ba,,半径为r;
(2)一般方程)一般方程022FEyDxyx当0422FED时,方程表示圆,此时圆心为2,2ED,半径为FEDr42122当0422FED时,表示一个点;当0422FED时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:
)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:
先设后求。
一般都采用待定系数法:
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:
如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位臵。
另外要注意多利用圆的几何性质:
如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位臵。
3、直线与圆的位臵关系:
、直线与圆的位臵关系:
直线与圆的位臵关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
(1)设直线0:
CByAxl,圆222:
rbyaxC,圆心baC,到l的距离为22BACBbAad,则有相离与Clrd;相切与Clrd;相交与Clrd
(2)设直线0:
CByAxl,圆222:
rbyaxC,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为,则有相离与Cl0;相切与Cl0;相交与Cl0注:
如果圆心的位臵在原点,可使用公式200ryyxx去解直线与圆相切的问题,其中00,yx表示切点坐标,r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程:
过圆上一点的切线方程:
圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为200ryyxx(课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)4、圆与圆的位臵关系:
、圆与圆的位臵关系:
通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆221211:
rbyaxC,222222:
RbyaxC两圆的位臵关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当rRd时两圆外离,此时有公切线四条;当rRd时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当rRdrR时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当rRd时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当rRd时,两圆内含;当0d时,为同心圆。
三、立体几何初步三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:
定义)棱柱:
定义:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示表示:
用各顶点字母,如五棱柱EDCBAABCDE或用对角线的端点字母,如五棱柱AD几何特征几何特征:
两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥)棱锥定义定义:
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示表示:
用各顶点字母,如五棱锥EDCBAP几何特征几何特征:
侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:
定义)棱台:
定义:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示表示:
用各顶点字母,如五棱台EDCBAP几何特征几何特征:
上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:
定义)圆柱:
定义:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征几何特征:
底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:
定义)圆锥:
定义:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征几何特征:
底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:
定义:
)圆台:
定义:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:
几何特征:
上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:
定义:
)球体:
定义:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:
几何特征:
球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图、空间几何体的三视图定义三视图:
正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)注:
正视图反映了物体上下、左右的位臵关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位臵关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位臵关系,即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法斜二测画法特点:
斜二测画法特点:
原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特殊几何体表面积公式()特殊几何体表面积公式(c为底面周长,为底面周长,h为高,为高,h为斜高,为斜高,l为母线)为母线)chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积)(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积lrrS2圆柱表lrrS圆锥表22RRlrlrS圆台表(3)柱体、)柱体、锥体、台体的体积公式锥体、台体的体积公式VSh柱2VShrh圆柱13VSh锥hrV231圆锥1()3VSSSSh台2211()()33VSSSShrrRRh圆台(4)球体的表面积和体积公式:
)球体的表面积和体积公式:
V球=343R;S球面=24R4、空间点、直线、平面的位臵关系、空间点、直线、平面的位臵关系
(1)平面)平面平面的概念:
平面的概念:
A.描述性说明;B.平面是无限伸展的;平面的表示:
平面的表示:
通常用希腊字母、表示,如平面(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。
点与平面的关系:
点与平面的关系:
点A在平面内,记作A;点A不在平面内,记作A点与直线的关系:
点与直线的关系:
点A的直线l上,记作:
Al;点A在直线l外,记作Al;直线与平面的关系直线与平面的关系:
直线l在平面内,记作l;直线l不在平面内,记作l。
(2)公理)公理1:
如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
(即直线在平面内,或者平面经过直线)应用:
应用:
检验桌面是否平;判断直线是否在平面内用符号语言表示公理用符号语言表示公理1:
AlBlABl(3)公理)公理2:
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:
推论:
一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。
公理公理2及其推论作用:
及其推论作用:
它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据(4)公理)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号:
符号:
平面和相交,交线是a,记作a。
符号语言:
符号语言:
PABABlPl公理公理3的作用:
的作用:
它是判定两个平面相交的方法。
它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:
交线必过公共点。
它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。
(5)公理)公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行(6)空间直线与直线之间的位臵关系)空间直线与直线之间的位臵关系异面直线定义:
异面直线定义:
不同在任何一个平面内的两条直线异面直线性质异面直线性质:
既不平行,又不相交。
异面直线判定:
异面直线判定:
过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线异面直线所成角异面直线所成角:
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线aa,bb,则把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
两条异面直线所成角的范围是(0,90,若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线两条异面直线互相垂直。
互相垂直。
说明说明:
(1)判定空间直线是异面直线方法:
根据异面直线的定义;异面直线的判定定理
(2)在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位臵无关。
求异面直线所成角步骤:
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位臵,顶点选在特殊的位臵上。
B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角(7)等角定理:
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。
)等角定理:
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。
(8)空间直线与平面之间的位臵关系)空间直线与平面之间的位臵关系直线在平面内有无数个公共点三种位臵关系的符号表示:
三种位臵关系的符号表示:
aaAa(9)平面与平面之间的位臵关系:
)平面与平面之间的位臵关系:
平行没有公共点;相交有一条公共直线。
b5、空间中的平行问题、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判定及其性质)直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理线面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行线面平行的性质定理:
线面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
线面平行线线平行
(2)平面与平面平行的判定及其性质)平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理两个平面平行的判定定理
(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行面面平行),
(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。
(线线平行面面平行),(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质定理
(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
(面面平行线面平行)
(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
(面面平行线线平行)7、空间中的垂直问题、空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义)线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直:
如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。
线面垂直:
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。
平面和平面垂直:
如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。
(2)垂直关系的判定和性质定理)垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。
性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
面面垂直的判定定理和性质定理面面垂直的判定定理和性质定理判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
性质定理:
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
9、空间角问题、空间角问题
(1)直线与直线所成的角)
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