流体动力学及叶栅理论.pdf
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流体动力学及叶栅理论流体动力学及叶栅理论2目目录录第1章绪论1.1流体的定义及特征1.2流体的连续介质假设1.3流体的密度和比容1.4流体的粘性1.5流体的压缩性和膨胀性1.6液体的表面张力第2章流体动力学基础2.1研究流体运动的方法2.2流体流动的一些基本概念2.3连续性微分方程2.4理想流体的运动微分方程及伯努利积分2.5定常流动总流的动量方程及其工程应用2.6动量矩方程第3章理想流体平面势流3.1流体微团运动分析3.2平面无旋流动3.3基本平面势流3.4势流叠加第4章旋涡运动理论4.1概述4.2旋涡运动基本定理4.3旋涡的诱导速度4.4流体机械的涡旋流动第5章机翼及翼型特性5.1概述5.2翼型绕流的实验结果5.3常见翼型第6章茹可夫斯基翼型6.1茹可夫斯基变换6.2圆柱绕流6.3绕流翼型流动的复势6.4绕翼型流动的速度场6.5翼型气动力特性第7章薄翼绕流及有限翼展机翼理论7.1薄翼绕流7.2有限翼展机翼理论第8章叶栅及叶栅特征方程8.1叶栅8.2叶栅特征方程8.3解直列叶栅绕流的升力法第9章平面叶栅绕流求解方法9.1平面叶栅绕流的保角变换解法9.2平面叶栅绕流的奇点分布解法3第5章机翼及翼型特性5.1概述机翼一词,最早出现于航空工程,指的是飞机翅膀。
如今它可用以泛指相对于流体运动的各种升力装置。
因此,流体机械中的工作轮叶片也可视为一个机翼。
5.1.1机翼的几何特性工程上引用机翼主要是为了获取升力,但由于在流体中运动的物体,不可避免地会遭受到流体阻力的作用,因此对机翼性能的要求,首先就是尽可能大的升力Fy和尽量小的阻力Fx,也就是希望具有最佳的、阻力比值=Fy/Fx。
这就要求机翼采取适当的几何形状,图5-1是一个低速机翼的一般外形图。
后缘前缘翼梢图5-1机翼外形图图5-2翼型的几何形状对亚声速绕流,机翼的俯视投影以椭圆形状为最有利。
但由于制造上的困难,实用上多采用与椭圆相近的形状,如图5-1所示的形状。
机翼迎向来流的最前边沿,叫机翼前缘,背向流动的最后边沿,称为机翼后缘。
机翼的左,右两端叫做翼梢。
机翼顺着来流方向切下来的剖面,称为翼型。
翼型通常都具有流线型外形(参看图5-2),头部圆滑,尾巴尖瘦,背(上弧)稍拱曲,至于腹(下弧)的形状则有凹的、凸的、也有半凹半凸及平的。
1翼型几何参数表征翼型几何特性的主要参数有下列几个:
(1)翼弦l把联接翼型前。
后缘点间的直线段,叫做该翼型的弦(见图5-2)。
对下凹翼型,过后缘引下弧的切线,再过前缘而作此切线的垂线,则也可把垂足至后缘点间切线段作为翼弦。
对下凸翼型只引用前一翼弦的定义。
上面所定义的翼弦,叫做几何翼弦。
(2)翼型厚度d垂直于翼弦而界于翼型上、下弧间直线的长度,叫翼型在该处的厚度,记成d。
翼型厚度中最大的,叫做翼型最大厚度,记成dmax(有时省去下标就记成d),通常以它作为翼型厚度的代表。
实用上常引用这类参数对于弦长的相对值。
把厚度d对弦长l的比值d/l,称为相对厚度d;最大厚度dmax与弦长l的比值dmax/l,叫做最大相对厚度maxd。
翼型最大厚度点到前缘的距离用xd表示,其相对值为lxxdd。
这些相对值,习惯上常用百分数表示:
%100ldd%100maxmaxldd4%100lxxdd(3)翼型弯度f翼型厚度中点的联线,叫做翼型中线。
中线到翼弦的拱高f,称为翼型弯度。
弯度的最大值为fmax(有时省去下标就记成f);最大弯度点至前缘的距离记为xf,它们的相对值分别记成:
lffmaxmax,lxxff像厚度一样,这些相对值习惯上常用百分数表示:
%100maxmaxlff%100lxxff(4)前、后缘圆角半径和后缘角翼型前,后缘的曲率半径,叫做翼型的圆角半径,分别以RL、RT记之。
它们的相对值RL=RL/l、RT=RT/l,称为相对圆角半径。
如尾部非圆形而为尖的,其尖锐程度以上、下弧在尾缘的切线交角表示,叫做翼型后缘角。
以上是表示翼型几何特征的几个主要参数,它们决定了翼型剖面的主要几何特性。
2机翼几何参数但要确定一个机翼的几何特性,还需要知道描写其俯视平面投影形状的参数。
这些参数主要为:
(1)机翼翼展b机翼两梢之间的距离称为翼展,用符号b记之(见图5-1)。
(6)机翼面积A把机翼的俯视平面正投影面积定为机翼面积,用字母A代表。
如图5-1为一机翼平面正投影图形,该机翼的面积可如下计算:
bldbA0式中:
l翼弦长度。
(7)平均翼弦lmbmldbbbAl01机翼面积A与翼展b的比值,称为该机翼的平均翼弦ml;(8)展弦比翼展与平均翼弦的比,叫做该机翼的展弦比,记为:
Ablbm2展弦比是影响机翼动力特性的重要参数。
5.1.2机翼的气动力特性机翼与绕流流体相互作用的力学特性,叫做机翼的气动力特性。
机翼绕流时的受力特性,是工程上所最关心的主要问题。
这个力可分解成一个与来流方向平行的阻力Fx和一个与来流方向垂直的升力Fy(图5-3)。
升力与阻力的大小,首先取决于机翼与来流间的相对位置。
它们相对位置是用无穷远来流方向和翼弦间的夹角来表示的,把夹角称为几何冲角,简称冲角。
除此之外,升、阻力显然还应与来流5情况(速度、密度)及机翼的几何特性有关。
实际应用的升、阻力是通过实验得到的,为分析和利用实验数据方便起见,常将翼型所受的力表示成动压力的倍数形式。
如对面积为A的机翼,若来流密度为,速度为v,则升、阻力可表示成:
AvCFyY22AvCFxX22(5-1)上式中Cy,、Cx分别称为升力系数和阻力系数,其数值取决于冲角及机翼形状,通常由实验确定。
工程应用上除升、阻力(总动力特性)外,有时对机翼上的压力分布(局部动力特性)也很关心,压力也取决于来流、冲角和机翼的形状。
0图5-35.1.3机翼绕流根据所给的条件及要解决的问题的不同,工程上提出的机翼绕流问题大体可分为两大类:
1给定机翼和无穷远来流的情况,要求确定出此机翼周围的绕流流场,并进而确定机翼的气动力特性。
2提出对机翼气动力特性或对其周围流场的要求,希望设计出能满足所提要求的机翼几何形状。
前一问题叫做正问题,后者则称为反问题。
不论正问题还是反问题,从流体力学角度看,都需要建立机翼几何参数与气动力学参数间的关系,在流体力学中,多从正问题着手。
5.1.4机翼分类机翼的绕流情况是受机翼几何特性影响的,特别是翼展长度对机翼绕流的空间性质有决定性作用。
根据翼展长度有限还是无限,把机翼分成:
1无限翼展机翼翼展长度无限,沿翼展翼型及冲角均相同的机翼,叫做无限翼展机翼(二元机翼)。
这类机翼绕流,实际上是一个无穷长柱体的绕流,此类流动为平行于翼型平面的流动,因此是一个二元的平面流动。
高比转数叶轮叶片的绕流属此平面流动。
2有限翼展机翼翼展长度有限、沿翼展翼型及冲角也可不同,这类机翼叫有限翼展机翼(三元机翼)。
绕有限翼展机翼的流动,除沿翼型平面内的流动外,尚有垂直于该平面的流动发生,这类流动是空间的、三元的流动。
这类绕流如飞机机翼、开式螺旋桨及中比转数叶轮的叶片等的绕流。
无限翼展机翼的绕流,可由理论分析而获得精确解答,这些解答还可以推广到有限翼展机翼的绕流中去,只要稍加修正也可提供相当精确的结果,因此在机翼理论中,首先应较详细地讨论无限翼展机翼的绕流。
绕无限翼展机翼的流动为平面流动,因面只须沿翼展取一个单位厚度流层,研究翼展为单位1的、且沿翼展翼型不变的机翼绕流。
显然,此机翼的几何特性完全由其翼型特性所决定,因而无限翼展机翼的绕流就常被叫做是翼型的绕流。
65.2翼型绕流的实验结果在这一节里,介绍翼型气动方性能,随冲角及翼型几何形状变化的实验结果。
5.2.1冲角对翼型气动力性能的影响5.2.1.1翼型的升力与阻力在单翼型绕流情况下,由于沿翼展取为单位长,从而机翼面积:
llA1升、阻力公式(5-1)对翼型可写成:
lvCFyY22lvCFxX22(5-2)式中系数Cy、Cx是翼型几何形状及冲角的函数。
对一定翼型在被绕流情况下,要确定其升、阻力,关键是确定相应的系数Cy、Cx的值。
而Cy、Cx作为冲角的函数,其对应关系是经实验做出的,这种实验结果常与翼型几何数据汇集成翼型资料,以备工程技术上应用。
Cy、Cx随变化的实验资料,常以两种实验曲线形式表出,即升、阻力系数曲线及升、阻力系数极曲线。
1升、阻力系数曲线通过实验测取Cy、Cx与的一系列对应值,并在以Cy、Cx为纵轴,为横轴的平面直角坐标系里绘制Cy、Cx关系曲线(图5-4a),则得升、阻力系数与冲角关系曲线。
图5-4a给出了一种翼型的Cy、Cx曲线(Cx值巳被放大五倍)。
从图上可以看出:
(1)当冲角在-68之间时,升力系数曲线接近一条直线而阻力系数曲线则类似一条二次曲线,随着的增大Cy值成比例的上升,而Cx值则增加较缓慢,翼型通常就在这一范围工作,称为该翼型的工作区间。
(2)当冲角取=-6时,升力系数为零、阻力系数为最小。
这时的冲角(各翼型不一样)叫做无升力冲角或零冲角0。
过后缘沿此方向作一直线(不计长度),叫做该翼型的气动力翼弦(参看图5-3)。
由此弦起算的冲角,称为动力冲角。
从动力学角度看,动力冲角比几何冲角更合理。
(3)当冲角超过=-12后,Cy开始徒降,而Cx则大幅度增加,这是由于边界层与翼型表面分离所致。
这个冲角叫临界冲角c,各翼型不一样,一般为十几度。
超过临界冲角以后的分离绕流,叫做失速流动(图5-5)。
(a)升、阻力系数(b)极曲线图5-47图5-5流动分离2升、阻力极曲线一种实用上更为方便的表示翼型气动力特性的方法是:
以冲角为参变数,做出CyCx曲线。
这样,只要一条曲线就可包含上面两条曲线所给出的全部数据。
此曲线就叫做翼型的极曲线(图5-4b)。
极曲线有以下特点:
(1)引用极曲线,对于某冲角可立即确定出相应的升、阻力系数Cy、Cx的值;
(2)在原点和此曲线上任一点间联以直线,则此线长度代表该点冲角下的合力系数CRlvRCR221式中R为合力,而且此直线与横轴夹角就等于合力与来流的夹角;(3)上述直线斜率为XYxyFFCC即为在该点冲角下工作时的翼型升阻比;(4)通过极曲线很容易确定翼型的最佳冲角与最大值对应的冲角。
过原点作极曲线的切线,其切点所对应的冲角,就是最佳冲角。
图5-6压力系数分布曲线5.2.1.2压力沿翼型表面的分布工程上不仅很重视翼型上的总作用力,而且对压力沿翼型表面如何分布也很关心,特别是在水力机械中,压力沿叶片的分布情况,关系到叶轮汽蚀性能的好坏。
8实用上压力大小,用以下公式计算,常以未受扰动的无穷远来流压力p为计算参考点221vCppp(5-3)式中Cp无量纲系数,叫做压力系数。
当一定翼型被绕流时,要通过上式计算翼型表面各点压力,则须先确定系数Cp,此系数Cp是翼型形状、冲角和翼型上各点位置的函数。
这个函数关系通常由实验测出,汇成资料随附翼型,以备参考。
图5-6给出了一个翼型表面在不同冲角下压力分布的系数曲线。
图5-6所示曲线的形状是由于当翼型在其工作区间内运转时,由于上弧弯拱,流线挤拢,流速加大而压力则减小,以致低于无穷远来流压力;下弧较平乃至凹入,流线扩开,流速减小而压力则增大,以致超过无穷远来流压力。
上述压力分布特征,随冲角加大而愈益增强。
值得注意的是翼型升力是由其表面上、下压差提供的。
由曲线图5-6可以看出,翼型上表面的低压对压力差(从而升力)的贡献远远超过下表面的高压,而且最低压力发生在翼型上表面靠近头部的地方,汽蚀空泡就从这里发生,须特别当心。
5.2.2翼型几何形状对动力性能的影响由于对工程实用上所遇到的翼型,尚无法对它们进行绕流的理论分析,也就没有得出计算其几何形状对气动力性能影响的一般公式。
以下仅就一些实验结果说明两者间的定性关系。
图5-71弯度的影响图5-7是对厚度相等而弯度不同的翼型的实验结果。
由图上曲线可以看出,当翼型的其他几何参数保持不变而仅弯度增加时,曲线向上移动而形状保持不变,其斜率和临界冲角0也保持不变。
对同一冲角,随着弯度的增加,升、阻力都将显著增加,甚至阻力比升力增长更快,最佳升阻比值有所下降。
升力加大,是由于弯度加大后将导致上、下弧的流速差加大,从而压力差也加大;弯度加大后,上弧流速加大,从而摩擦阻力上升,并且由于翼型迎流面积加大的结果,压差阻力也将加大,故弯度增加导致阻力的增加。
2厚度的影响图5-8是两个弯度相同、厚度不同的翼型的实验曲线。
对同一弯度,较厚的翼型对应于同一冲角的升力有所提高。
但较厚的翼型,对应于同一升力其阻力也较大,从而最佳升阻比有所降低。
厚度增加,使上弧更拱,则其上流速加快,吸力加大,升力也随之加大;上弧流速增加则摩阻上升,厚翼迎流面积加大,则压差阻力提高。
图5-9表示了当增加最大厚度时,对称翼型升力系数曲线的变化。
无升力角(0=0)保持不变,而曲线斜率减小,最大升力系数增加,同时阻力也增加。
但是,当最大厚度的增加超过=12%15%时,最大升力系数反而下降。
最大厚度位置dx后移,可以使最小压强点后移。
图5-10给出了当最大厚度位置由dx=25%后移至9dx=50%时的压力分布。
根据边界层理论,最小压强点后移,可以延长层流区,称这种翼型为层流翼型。
除了可以延长层流区之外,层流翼型的最小压强也可以较高一些(负值的绝对值减小)。
这样,在水中运动时,可避免因低于饱和压强而产生空化现象。
所以,以水绕流的翼型和舰船螺旋桨所用翼型的最大厚度位置往往是比较靠后的。
图5-8图5-9最大厚度对升力系数的影响(对称翼型)图5-10最大厚度位置对压力分布的影响3前缘抬高度的影响图5-11是对两个具有不同前缘抬高度的翼型的实验数据。
前缘抬高的翼型,在负冲角时阻力变化不大;但前缘低垂的翼型,则在负冲角时会招致阻力的迅速增加。
图5-1110图5-12NACA23012的气动特性曲线及粗糙度影响Re=61064表面粗糙度的影响翼型表面粗糙度增加会导致阻力增加而升力降低。
对这一点表现最敏感的是靠近前缘的上表面;相反,靠近尾缘的上表面则对这一点反应迟钝。
5雷诺数的影响对于翼型,雷诺数由下式定义:
lURe当雷诺数增加时,最大升力系数也增加,如图5-12所示。
因为这时翼型表面边界层中转捩点微量前移,使流动提早进入紊流边界层,因紊流边界层的脱离点靠后,就推迟了边界层脱离,缩小了尾流旋涡区。
因同样原因,阻力系数也随雷诺数的增加而减小。
图5-12NACA631-212的气动特性曲线及粗糙度影响Re=610611图5-12雷诺数对maxyC的影响5.3常见翼型最早的机翼是模仿风筝的,在骨架上蒙布,基本上是平板。
在实践中发现弯板比平板好,能用于较大的迎角范围。
儒可夫斯基的机翼理论出来之后,才明确翼型应是圆头,应该有上、下缘翼面。
圆头能适应于更大的迎角范围。
在第一次世界大战期间,交战各国都在实践中摸索出一些性能很好的翼型。
譬如德国Gottingen翼型;英国的RAF(RoyalAirForce)-6翼型(英国空军,后来改为RAE(RoyalAircraftEstabilishment)翼型(皇家飞机研究院);美国的Clark-Y。
当时它们都是最优秀的翼型。
一战后,在20世纪30年代初期,美国的NACA(NationalAdvisoryCommitteeforAeronautics)翼型,后来为NASA(NationalAeronauticsandSpaceAdministration);德国的Gottingen翼型,苏联的翼型(中央空气流体研究院),英国的ARA-D型,在其他工业部门使用的还有英国C4等。
5.3.1NACA四位数字翼型美国国家航空咨询委员会(缩写为NACA,现在NASA)在20世纪30年代后期,对翼型的性能作了系统的研究,提出了NACA四位数翼族和五位数翼族。
他们对翼型做了系统研究之后发现:
(1)如果翼型不太厚,翼型的厚度和弯度作用可以分开来考虑;
(2)各国从经验上获得的良好翼型,如将弯度改直,即改成对称翼型,且折算成同一相对厚度的话,其厚度分布几平是不谋而合的。
由此提出当时认为是最佳的翼型厚度分布作为NACA翼型族的厚度分布。
其分布公式为)1015.02843.03516.0126.02969.0(2.0432xxxxxcyt前缘半径为21019.1cr中弧线取两段抛物线,在中弧线最高点二者相切。
)2(22xpxpfyfpx2)21()1(22xpxppfyfpx式中f为中弧线最高点的纵坐标,p为中弧线最高点的弦向位置的横坐标,如图64所示。
中弧线最高点的高度f(即弯度)和该点的弦向位置都是人为规定的。
给f和p及厚度c以一系列的值便得一个翼型族。
四位数翼型的表达方式是12NACA其中:
第一位数代表f,是弦长的百分数;第二位数代表p是弦长的十分数;最后两位数代表厚度,是弦长的百分数。
例如NACA0012是一个无弯度、厚12的对称翼型。
有现成实验数据NACA四位数翼族的翼型有6、8、9、10、12、15、13、2l、249种厚度百分数。
弯度有0、1、23种,中弧线最高点都在40处。
从这个四位数翼型的编号本身,即可直接看出翼型的某些几何特征:
弯度,最大弯度位置以及厚度。
5.3.2NACA五位数字翼族五位数翼族的厚度分布仍是式(6.3)和式(6.4),与四位数翼族不同的是中弧线。
具体的数码意义如下:
第一位数表示弯度,但不是一个直接的几何参数,而是通过设计升力系数来表达的,这个数乘以3/2就等于设计升力系数的10倍;第二、第三两位数是2p,以弦长的百分数来表示;最后两位数仍是百分厚度。
NACA例如NACA23012这种翼型,它的设计升力系数是23/200.30;p=1/230,即中弧线最高点的弦向位置在15弦长处,厚度仍为12。
有现成实验数据的五位数翼族都是230-系列的,设计升力系数都是0.30,中弧线最高点的弦向位置的纵坐标p都在15弦长处,厚度有12、15、18、21、245种。
实验发现,中弧线最高点的弦向位置离开弦线中点,无论前移还是后移,对于提高翼型最大升力系数都有好处。
但往后移,将产生很大的俯仰力矩,是不能用的;而往前移太多原来四位数字翼型所用的中弧线形式也不适合,所以改用另种中弧线形式。
这种中弧线的特点是,其曲率从前缘起向后缘是逐渐减小的,略过最高点之后,曲率降为零,此后直到后缘一直为零,或后半段是直线。
基本方程为)3(3(612231xmmmxxkyfmx0)1(6131xmkyf0.1xm式中,m、k1与p有关。
表6.1中的k1是按升力系数0.3设计的。
表6.1pmkl0.050.058361.40.100.12651.640.150.202515.9570.200.2906.6430.250.3913.23135.3.3其他翼型层流翼型重新设计翼型的全部曲线,尽量使最低压强点向后移,以加长顺压梯度段的长度,减短逆压梯度段,以此来减小湍流摩阻所占的比例,从而大大降低翼型的总摩阻,产生了名为层流翼型的翼族。
层流翼型的厚度分布与中弧线是分开设计的。
最大厚度点的弦向位置有0.35、0.4、0.45、0.5几种。
中弧线的形状是按载荷分布设计的。
NACA6系列层流翼型通常用一个六位数字的数来表示,还附带一个对中弧线的说明。
如:
NACA65,3-218,s=0.5,第一个数字6表示6系列;第二个数字5表示当它作对称翼型使用在零冲角时(即只有厚度作用),最低压强点在0.5弦长处;逗号之后的3表示在设计升力系数3/10的范围内,翼面上仍有有利的压强分布存在;-横之后的第一个数字是设计升力系数的10倍,现在本例的设计值CL0.2,而有利压强分布范围是0.23/10,即在-0.10.5之间;最后的两位数字仍表示厚度的百分数。
等式s0.5是说明中弧线的类型的,如无该式表示载荷从头到尾都是常数,s1.0。
RAF6E翼型这种翼型是平底边翼型。
C1arkY翼型这种翼型是平底边翼型。
ARAD翼型超临界翼型20世纪60年代中期出现的超临界翼型,是由美NASA首先在实验室里提出来的,是为延缓翼型上局部超声速流的到来,且当有了局部超声速区之后,降低局部激波的损失,也就是延缓阻力大大增加的到来。
翼型的前缘半径相当大,上翼面相当平,有点像普通有弯度的翼型的下表面,后缘有些下垂,以增大翼型后段上的升力。
另外的优点是在低速中等迎角下,阻力系数较低,CL,max比普通翼型高很多。
图5-13超临界翼型14第6章茹可夫斯基翼型对于翼型绕流的理论分析,分别介绍翼型绕流的保角变换与点奇点分布两种解法。
保角变换的基本思想是:
要想确定复平面z(物理平面)上的、绕给定翼型的流动,可借助一个复解析函数()zf,把流动变换到另一个复平面(辅助平面)上,平面上的对应绕流(可令为绕圆柱绕流),比z平面上原绕流简单而其绕流复位势W*()为已知。
由方程组:
*()()WzW()zF消去变量,即可得到z平面上绕翼型流动的复位势W(z)了。
求解茹可夫斯基翼型绕流的变换函数是茹可夫斯基变换(函数)。
6.1茹可夫斯基变换茹可夫斯基在1910年提出了下列变换函数:
212cz(c0)(6-1)6.1.1变换图解1把平面上无穷远点,变到z平面上无穷远点;2在除去=0的整个平面上解析;3在无穷远点的导数值等于1/2;4在其中任二点1、2,且12c2的区域中,变换是单叶(一一对应)的。
经由上述变换,由平面一个点可得到z平面上一个对应像点。
这个点可用简单的图解法得到。
把变换分解为几个简单变换的组合:
212z2121c把与z平面迭在一起,并使坐标轴互相重合,则平面上任一点的像点可如下做出(图6-1):
1任取一点P*(),其坐标为,联接OP*;2在线段OP*上取一点P1*,使得2*1*cPOPO;3作P1*关于实轴的对称点P1*,即为复数1;4联接OP1*,做出平行四边形OP*P1*P2*,则点P2*代表复数2;5联接OP2*,并取其中点得P,即为像点z。
6.1.2变换图形1圆心在原点的圆
(1)茹氏变换把平面上圆心在坐标原点、半径为c的圆周K1,变成z平面实轴上-c与c间的一直线段C1(图6-2)。
只要把K1上点的坐标ice代入茹氏变换,得15cos2212ceeccecceziiii()
(1)
(2)
(1)()图6-1茹可夫斯基变换作图法图6-2半径为c的圆周变成一直线段当是K1上(0)的点时,对应的像点z是实轴上线段C1上的一点。
(2)茹氏变换把平面上圆心在坐标原点、但半径不等于c的圆,变成z平面上以(c,0)为焦点的椭圆(图中K3椭圆C3),见图6-3。
-图6-3半径不为c的圆周变成椭圆设是半径a(ac)、圆心坐标在原点的圆周上的一点,则可表示为:
iae代入,得iiaecaez221分开实部与虚部:
cos212acax,sin212acay16即14141222222acayacax这是z平面上椭圆的方程式,其长、短半轴分别为acaar221,acabr221;焦点为cbacrrr22。
当rc,arc,brc,椭圆退化成线段-c,c。
2圆心在坐标轴上的圆
(1)圆心在负实轴上,并和K1圆相切于正实轴上的圆K2(由茹可夫斯基变换的连续性和关于坐标轴对称的保持性),其像是介于C1和C3之间一条对称实轴的曲线C2。
变换在=c的导数值为零,所以在该点变换不保角。
实际上,变换式(6-1)可写成2zcczcc,在=c附近上式可近似表示为212zccc,因此在
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