Butterworth-(巴特沃斯)滤波器设计参考.pdf
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Butterworth-(巴特沃斯)滤波器设计参考.pdf
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1Butterworth(巴特沃斯)滤波器设计参考(巴特沃斯)滤波器设计参考-ByWater在嵌入式音频产品开发过程中经常会到LPF(LowPassFilter低通滤波器)和HPF(HighPassFilter高通滤波器),一般情况下都是离线用工具(如:
Matlab)设计好滤波器的参数(FilterCoefficients)再应用到产品中去。
但有些状况下需要用户自己根据需求来实时(Real-time)调整FilterFrequencyResponse(滤波器频率响应),这种情形下就需要在嵌入式系统中实时根据客户的设定需求来产生相应的FilterCoefficients。
下文就汇总出了N阶IIRLPF&HPFButterworth滤波器系数的设计方法,具体的算法原理推导可以参考陈佩青数字信号处理教程一书,此处只给出工程上可以应用的结论。
背景介绍:
背景介绍:
归一化的巴特沃斯滤波器系统函数一般形式:
NNansasasaadsH22100(Note:
参考陈佩青数字信号处理教程第二版266页(6-108)表达式)一般情况下会希望保持通带增益为0dB,因此设定d0=a0。
在a0=aN=1情况下得到如下归一化的巴特沃斯多项式:
N多项式因子多项式因子1122334455667788(Note:
参考维基百科“巴特沃斯滤波器”)2由此得到d0=a0=aN=1情况下的Butterworth多项式展开的系数表:
1,)(0022100daasasasaadsHNNN(Note:
参考陈佩青数字信号处理教程第二版266页表6-4)上面的表达式是s域的表达式,下面是变化到z域的方法。
低通滤波器:
低通滤波器:
sccccffCzzCs/2,12tan111c1111采样频率fs,-3dB频率点fc高通滤波器:
高通滤波器:
1,2tan,111111cccCzzCs(Note:
参考陈佩青数字信号处理教程第二版291页表6-8)3其他带通、带阻滤波器频率变换式参考表6-8(下图)4参考设计:
参考设计:
1.1阶阶ButterworthLPF设计设计0,11,10,111111)()1()1(11)1(11)(111;11)(2111021110111111111111111111111111111ACCAABCCBBzCCzCCCCzHzCCzCCzCCzzCCzCzzHzzCsssHscccffC/2),2tan(1因此,在确定fc、fs后,1阶的Butterworth滤波器系数就能按照上式计算出来了。
如果嵌入式系统没有数据函数库,那么tan的计算方式可以换成tan(x)=sin(x)/cos(x),加入sin/costable后就能计算出sin/cos值了。
具体Fixedpoint实现在后续文章再表。
5例1:
设定fs=44100Hz,fc=1000Hz计算1阶ButterworthLPFfiltercoefficientsC1=tan(2*pi*1000/44100/2)=0.071358680866949307399178122527764带入上式计算出1阶ButterworthLPFfiltercoefficients:
B=0.066605780250,0.066605780250,0A=1,-0.866788439500,0与下图中MatLab获得的FilterCoefficients是完全一致的。
62.2阶阶ButterworthLPF设计设计2121121121221121211112)141421356.1()22()141421356.1
(2)(111,41421356.111)(zCCzCCCzCzCCzHzzCssssH令:
141421356.11121CCG,scccffC2,2tan1得:
)141421356.1()22(,1,2,121221100201210CCGACGAABBBBGCB例2:
设定fs=44100Hz,fc=1000Hz计算2阶ButterworthLPFfiltercoefficientsC1=tan(2*pi*1000/44100/2)=0.071358680867G=0.904152198106带入上式计算得2阶ButterworthLPFFilterCoefficientsB=0.0046039984760.0092079969510.004603998476A=1-1.7990964097600.817512403663与Matlab的结果相当:
可以看出fc1000Hz有-3dB的衰减。
73.1阶阶ButterworthHPF设计设计0,)1(,10,)1
(1)(11,)1()1
(1)(11,11)(2110201011111111111ACGAABBBGBzCGGzGzHCGsetzCCzzHzzCsssH例3:
设定fs=44100Hz,fc=1000Hz计算1阶ButterworthHPFfiltercoefficientsC1=tan(2*pi*1000/44100/2)=0.071358680867G=0.93339421975带入上式计算得FilterCoefficients:
B=0.933394219750-0.9333942197500A=1-0.8667884395000与Matlab计算结果相当:
频响如下84.2阶阶ButterworthHPF设计设计scccffCCCGACGAAGBGBGBzCCGzCGGzGzGzHCCGsetzCCzCCCzzzHzzCssssH/2,2tan)14142136.1(),1(2,1,2,)14142136.1()1(212)(14142136.11)14142136.1()22()14142136.1(21)(11,4142136.111)(2221021022122122212221112例4:
设定fs=44100Hz,fc=1000Hz计算2阶ButterworthHPFfiltercoefficientsC1=tan(2*pi*1000/44100/2)=0.071358680867G=0.904152203356带入上式计算得FilterCoefficients:
B=0.904152203356-1.8083044067120.904152203A=1-1.7990964097600.817510981662与Matlab计算结果相当:
频响如下9Butterworth12阶LPF&HPFFilterCoefficients以及制作成Excel表格分享在:
http:
/fs&fc就能自动计算出FilterCoefficients。
参考文献:
参考文献:
1.陈佩青数字信号处理教程第二版2.维基百科“巴特沃斯滤波器”http:
/zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%B4%E7%89%B9%E6%B2%83%E6%96%AF%E6%BB%A4%E6%B3%A2%E5%99%A8
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