2006年第三届研究生数学建模竞赛A题优秀论文(1).pdf
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全全全全国国国国第第第第三三三三届届届届研研研研究究究究生生生生数数数数学学学学建建建建模模模模竞竞竞竞赛赛赛赛题目AdHoc网络中的区域划分和资源分配问题摘要:
本文讨论了AdHoc网络在一个假定区域中针对不同条件建立覆盖区,以及信道分配的优化方案,并讨论了各个方案的抗毁性。
其中选取覆盖区方案的问题都可以归结为带有约束的最优化问题。
对于各题目中的不同的条件,分别建立了不同的最优化模型,但是对这些问题的直接求解方法都是NP完全问题,因此针对各题的特点,本文分别采用了不同的近似方法,从而在较短的时间内得到了较优的解。
之后根据覆盖区选取方案,信道分配问题可以转化成平面图着色问题。
利用图论中经典算法得到了具体的信道分配方案。
最后,利用图的连通性定义了抗毁性的度量,并用蒙特卡罗模拟法计算出了抗毁性的近似值。
参赛队号10141007参赛密码(由组委会填写)(由组委会填写)摘摘要要本文讨论了AdHoc网络在一个假定区域中针对不同条件建立覆盖区,以及信道分配的优化方案,并讨论了各个方案的抗毁性。
其中选取覆盖区方案的问题都可以归结为带有约束的最优化问题。
对于各题目中的不同的条件,分别建立了不同的最优化模型,但是对这些问题的直接求解方法都是NP完全问题,因此针对各题的特点,本文分别采用了不同的近似方法,从而在较短的时间内得到了较优的解。
之后根据覆盖区选取方案,信道分配问题可以转化成平面图着色问题。
利用图论中经典算法得到了具体的信道分配方案。
最后,利用图的连通性定义了抗毁性的度量,并用蒙特卡罗模拟法计算出了抗毁性的近似值。
问题1的最优化模型为:
目标:
所用圆的个数最少约束1:
正方形区域被完全覆盖约束2:
相邻两个圆的公共面积不小于一个圆面积的5%相邻与且ji21,1,)()(.minccnjicSkccScccpPptsnijin针对AdHoc网络的特点,利用分析的方法进行求解。
问题2的最优化模型为:
目标:
所有圆的半径之和最小约束1:
相邻两个圆的公共面积不小于大圆面积的5%约束2:
地面被圆完全覆盖约束3:
节点不能存在于湖中利用问题1中的结果作为初始条件,利用遗传算法对这个优化问题进行了近似的求解。
问题3的优化模型为目标:
全部一跳覆盖区半径之和最小约束1:
所有节点都要被圆覆盖。
约束2:
所有节点都连通。
约束3:
有转发任务的相邻一跳覆盖区的公共面积不小于较大一跳覆盖区面积的5%。
经过分析,约束3可以转化为区域连通性的判据,进而减少了约束。
利用对节点分簇的方法选定一组初始条件,利用遗传算法求得这个问题的近似解。
在问题3的求解过程中,得了到区域连通的一个充分必要条件和一个必要不充分条件,其中充要条件为:
一跳覆盖区的分配方案的生成图为连通图。
必要不充分条件为:
一个一跳覆盖区至少和一个不同的一跳覆盖区共享一个节点,且该节点所处的公共区域的面积不小于较大的一条覆盖区面积的5%。
利用问题3得到的结果,对问题4进行了10次模拟,针对模拟结果分析了点的运动对整个网络连通性的影响。
问题5的最优化模型为:
目标:
出现第一个退出网络节点的时间最长约束条件与问题3相同。
利用基于权值的启发式搜索算法,对问题5进行了近似的求解。
问题重述:
问题重述:
对题目中需要求解的问题总结如下:
问题1:
使得圆个数最小的覆盖方案;信道分配方案;网络的抗毁性问题2:
有湖情况下的使得半径和最小的覆盖方案及信道分配方案问题3:
无湖情况下基于点的使得半径和最小覆盖方案,信道分配方案及网络的抗毁性;有湖情况下基于点的使得半径和最小覆盖方案,信道分配方案及网络的抗毁性;区域连通的充分、必要条件;问题4:
问题3中网络连通性的讨论;问题5:
加入电池能量消耗约束的覆盖方案,信道分配方案及网络的抗毁性;符号说明:
符号说明:
r圆的半径,21ncccC平面上圆的集合P边界为的待覆盖平面区域10001000k表示相邻两个圆的公共面积占一个圆面积比例的下限),(iiyx表示第i个圆的圆心坐标p平面上一点cN的覆盖数CvS有效面积iq的内接多边形iciv使用的信道icQ湖区id圆心节点m节点个数gN基因长度vN基因的有效长度G种群中一个体的基因iV种群中的一个个体aS种群规模mP变异概率cP杂交概率maxS遗传算法的最大迭代次数adptS遗传算法中,计算终止条件时的适应度跨度W附件1中给出的节点的集合iw中任意一节点WcG一跳覆盖区的生成图kG连接平面上所有一跳连通的节点,形成的无向图b从节点集合中随机抽掉的节点个数占节点总个数的比例l这)(kGb个点在平面上分布的一种组合)(l所有可能存在的l的个数il蒙特卡罗模拟中,某一次模拟随机产生的点分布为s蒙特卡罗模拟的模拟迭代次数1.平面的圆覆盖问题平面的圆覆盖问题1.1圆个数的最小值圆个数的最小值1.1.1最优化模型本问题可以归结为一个最优化问题:
目标:
所用圆的个数最少约束1:
正方形区域被完全覆盖约束2:
相邻两个圆的公共面积不小于一个圆面积的5%设用一组半径100r圆来覆盖这个,21ncccC10001000的平面区域,设Pp为上任一点,用来表示面积,则以上最优化问题可表述为:
PS相邻与且ji21,1,)()(.minccnjicSkccScccpPptsnijin
(1)其中表示相邻两个圆的公共面积占一个圆面积比例的下限,本问题中k05.0k用表示第个圆的圆心坐标),(iiyxi)1(ni,则在平面区域上一定存在一圆心的集合O使得最小。
然而这个优化问题的求解是一个NP完全问题,不存在多项式时间的解法。
因此我们针对AdHoc网络的特点,利用分析的方法得到一个较为满意的解。
P),(),(22nnyxy,(),11xyxn1.1.2覆盖数的定义定义一:
定义一:
平面上一个圆覆盖点icpp在的内部。
且规定:
处于圆周上的点不算覆盖。
ic定义二:
定义二:
用一组圆来覆盖一个平面,在平面上任取一点,21ncccCp,覆盖着p的圆的总个数称为点p的圆覆盖数圆覆盖数。
定义平面上所有点中最大的圆覆盖数为的覆盖数覆盖数,记为。
CcN定义三:
定义三:
用一组圆来覆盖一个平面,定义这组圆所能覆盖的总面积即为的有效面积有效面积,记为。
21ncccCnccc21CvS1.1.3平面镶嵌连接圆的各个交点则在圆内构成内接多边形,如图1所示。
在的情况下,相邻的圆的内接多边形之间没有覆盖关系。
设圆对应的内接多边形为,C的边缘上的剩余的圆冠为则2cNiqicidknddqqq2121d。
则有效面积为:
vS)()()()()()(2121mnvdSdSdSqSqSqSS其中表示处于边缘的圆的个数。
m因此平面的圆覆盖问题可以转化为平面的多边形镶嵌问题。
也就是说,只要在平面区域上得到一种平面镶嵌方案,作出各个多边形的外接圆,就可以得到一种圆覆盖方案。
P均衡性对AdHoc网络的性能有着很大的影响。
均衡性更好的网络,网络负荷分布更加均衡,并且由于其存在热点节点的可能性更小,更不容易形成网络中的流量瓶颈从而降低网络的连通性,其业务性能也得到了提高204。
而一跳覆盖区在平面区域上的分布情况P1c2ciqid图1则直接影响着AdHoc网络的均衡性,因此为了使得形成的AdHoc网络具有较好的均衡性,我们用全等的正多边形来镶嵌平面区域。
根据镶嵌问题的经典结论,正三角形、正方形和正六边形是仅有的三种自镶嵌正多边形。
根据这三种图形生成的圆覆盖中,相邻圆的公共面积占圆面积的比例如表1所示。
P图形相邻圆的公共部分占圆面积的比例正三角形39.1%正方形18.16%正六边形5.77%表1由于相邻圆的覆盖面积越大,有效面积越小,因此应当选择尽量小的相交面积,而正六边形刚好满足约束且相邻圆的公共面积最小。
图2根据图根据图2,可算得此时需要圆,可算得此时需要圆45个。
个。
1.2平面覆盖的信道分配问题平面覆盖的信道分配问题根据1.1中的结论,平面区域P所在平面被半径100r的正六边形所镶嵌,从另一个角度来说,平面区域P被分割为一系列不重叠的区域。
由于圆和正六边形存在一一对应的关系,只要使相邻的正六边形使用不同的信道便可以满足题目中“有公共部分的圆使用不同的信道”这个要求。
设为圆分配信道频率,也即正六边形的信道频率为。
如果将平面区域iciviqivP看作地图平面,的边界看作国境线,看作要为着上的颜色,则本问中的信道分配问题等价于一个平面地图的着色问题。
iqiviq利用图论中经典着色算法,可得本问中的信道分配情况如图利用图论中经典着色算法,可得本问中的信道分配情况如图3所示,最少需要所示,最少需要3个信道。
个信道。
图31.318.0k的情况的情况1.3.1覆盖方案根据表1,利用1.1中的结论,若将约束2中的公共面积调整为18%即,则应当选择正方形来完成平面的镶嵌,得到两种覆盖方案,如图2,图3所示,其中图其中图2需要需要60个圆,图个圆,图3需要需要64个圆。
个圆。
18.0k图4图5仔细观察图2和图3,可以发现这两幅图中,各个圆之间的相对位置关系是一样的,图2以其中心为轴顺时针(或逆时针)旋转即得到图3。
在图3中,位于平面区域P的右边缘和下边缘的圆,大部分的面积都在平面区域以外,有较大的面积损失,因此需要更多的圆来完成这个完全覆盖。
因此应本问题当采用图因此应本问题当采用图2的覆盖方案,需要的覆盖方案,需要60个圆来完成覆盖。
个圆来完成覆盖。
45P1.3.2信道分配方案和1.2相似,本问中的信道分配问题也是一个平面的着色问题,我们得到的结果如图6所示,最少需要最少需要2个信道。
个信道。
图61.4网络的抗毁性网络的抗毁性1.4.1抗毁性度量对于某种覆盖方案,根据题意,每个公共部分中心和相应圆心各恰有一个节点。
如果两个节点和通信时,不需要借助第三个节点对数据包进行转发,则称和是一跳连通的。
连接平面上所有一跳连通的节点,形成一个无向图。
我们通过对的连通性来讨论AdHoc网络的抗毁性。
idjdkdidjdkkGG设为从节点集合中随机抽掉的节点个数占节点总个数的比例。
用b表示无向图中点的个数,表示无向图中最大连通分支中包含的点的个数。
用表示从中随机抽掉kGkG)b(kG个节点后的形成的无向图。
则AdHoc网络的抗毁性可定义为关于的函数:
Db)()1()()(kkGbGbD1.4.2蒙特卡罗模拟及结果对于某一种覆盖方案,网络的抗毁性,除了b的取值之外,还和从中随机抽掉的DkG)(kGb个点的位置有关。
因此应当用这)(bD)(kGb个点在平面上分布的所有可能情况的平均值来计算。
用向量表示这l)k(Gb个点在平面上分布的一种组合,)(l表示所有可能存在的的个数。
则:
l)(),()(llbDbD这种计算方法会产生组合爆炸的问题,因此我们采用蒙特卡罗模拟方法近似的求解,设蒙特卡罗模拟中,某一次模拟随机产生的点分布为)(bDil,模拟迭代次数为,则sslbDbDi),()(对1.1和1.3中求得的覆盖方案进行蒙特卡罗模拟,得到结果如表2、3所示:
图7一个去掉15%点的例子%5k,图2分配方案的模拟结果:
10s100s1000s%2d100%99.89%99.93%5d100%99.63%99.66%10d100%99.58%99.55%15d100%99.51%99.49%表2%18k,图4分配方案的模拟结果:
10s100s1000s%2d100%99.89%99.93%5d100%99.63%99.66%10d100%99.58%99.55%15d100%99.51%99.49%表32.带有湖区的平面覆盖问题和信道分配方案带有湖区的平面覆盖问题和信道分配方案2.1最优化模型最优化模型将本问题归结为一个最优化问题,则:
目标:
所有圆的半径之和最小约束1:
相邻两个圆的公共面积不小于大圆面积的5%约束2:
地面被圆完全覆盖约束3:
节点不能存在于湖中设湖区所覆盖的区域为,为处于每个圆的圆心或相邻圆公共部分中心的节点(也可称终端或用户),为节点个数,Qidmp为平面上任一点,则本问题的最优化模型的数学表述如下:
miQdcccpQPpnjicccScSkccStsnirinjijijinii1)(,1)(),(max)(.1min211有公共部分与
(2)其中表示相邻两个圆的公共面积占一个圆面积比例的下限,本问题中k05.0k用这个三元组来表示圆的圆心坐标和半径,根据题意,),(iiiryxic10001ix,10001iy10075ir,(,),22nxzy,则在此范围内,一定存在一个集合使得所有圆的的半径之和最短。
与1.1.1中的问题相似,这个问题无法找到多项式时间的解法。
用1.1中正六边形镶嵌方法得到的圆的分布作为初始值,利用遗传算法可以搜索一个较优的解。
),nnzy,(),211xzy(11xO2.2遗传算法遗传算法遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的高度并行、随机、自适应搜索算法。
它模仿自然界生物进化过程中“物竞天择,适者生存”的原理而进行的一种多参数、多群体同时优化方法。
遗传算法由编码方案,初始种群的选取,个体适应度,选择,繁殖,杂交,变异,约束处理,迭代终止条件这几个部分构成,下面分别阐述。
2.2.1算法框架约束处理变异杂交繁殖选择较优个体计算各个个体的适应度满足终止条件NY结束初始化图82.2.2编码方案本问题中,覆盖在平面区域QP上的圆的个数在演化过程中不是一个固定的值,因此我们取其上界作为基因的长度。
则种群中一个个体的基因是一个长度为的串,其中的每一个结点是一个三元组,其中gNGgNiG),(iiiryx10001ix,。
10001iy10075irgN的求取办法为:
对平面区域P进行边长为75的正六边形镶嵌,由这种镶嵌得到的圆覆盖个数即为的取值。
gN编码时,从开始顺次将区域0GQP中的圆的信息编入G,设此时区域QP中的圆的个数为,则中只有vNG10vNGG范围内的节点表达有效信息,因此定义为基因的有效长度。
vNG2.2.3初始种群的选取在1.1的圆覆盖方案的基础上,在平面区域P上添加湖区之后的结果如图5所示。
显然,圆心处与湖区中的圆是无效的,因此我们先除去这类圆。
将此种圆分布方案编码,作为种群中的第一个个体。
Q0V设种群规模为,对种群中的个体交替应用变异策略和繁殖策略,并对新个体应用相应的约束处理,直道个体总数达到。
aSaS2.2.4个体的适应度个体的适应度用表达式
(2)中的目标函数来定义,则适应度函数为。
特别的,在此过程中对于不可行个体,也就是适应度为vNiirf1的个体,保持其适应度f,不重新计算。
2.2.5选择策略在一次迭代中,对种群中所有个体按照其适应度排序,取位于前50%的个体作为下一次迭代的父代个体,从种群中去除后50%的个体。
2.2.6繁殖策略在一次繁殖中,一个个体完全复制其自身,生成一个与其完全相同的个体。
全部个体繁殖完成之后,每个个体随机选择一个与其基因不相同的个体与其配对,也就是说不可以选择,进而进行杂交。
iVjViViV2.2.7杂交策略针对本题的特点,杂交后各个圆的位置不应当有太大的变化,因此采用交换杂交策略。
个体和个体进行杂交时,从中随机选择一些结点,则在和的有效长度之内,将这些结点与中与其下标相同的结点互换。
例如,在中随机选择的结果是:
5,9,13,则将和互换,和互换,和互换。
其中,随机选择的概率为杂交概率,记为iVjVjGiG9iG13jGiG5iG5jGiG9jG13iGjGcP2.2.8变异策略在一次迭代中,对每一个个体,要在其基因中随机选择若干结点,改变该点的取值,这个概率即为个体的变异概率,记为。
改变某结点的取值的方法是:
取一个上的随机数且,取一个上的随机数且,取一个上mP1),(iiiryxiy1000,1ixiixx1000,iiyy100,75的随机数且,用替代。
iriirrftSttadpt00),(iiiryxft)1maxcP),(iiiryxhmP2.2.9约束处理不满足约束条件的个体称为不可行个体。
对于不可行个体,对其在一定范围内进行修补,如果修补后的个体满足约束,则用修补后的个体替换原个体。
如果修补失败,将其适应度调整为,则该个体将在选择过程中被淘汰。
2.2.10终止条件本算法采取如下两条终止条件:
a)迭代次数限制:
迭代次数超过maxS,则算法终止。
b)适应度饱和:
如果最近adptS次的迭代的最优适应度梯度之和小于某一阈值h,则算法终止。
即时,算法终止。
t)(max2.2.11控制参数选择及结果本问题的控制参数如表4所示:
aSmaxSh1003.0005.010000510表4在此组控制参数下得到的分布方案如图9所示图9其中灰色区域表示湖区,此时图中所有圆的半径之和为:
其中灰色区域表示湖区,此时图中所有圆的半径之和为:
3851信道分配方案如图信道分配方案如图10所示,共需所示,共需4个信道。
个信道。
图103.基于节点的覆盖基于节点的覆盖3.1最优化模型最优化模型将本问题归结为一个最优化问题,根据题意得到目标和约束如下:
目标:
全部一跳覆盖覆盖区半径之和最小约束1:
所有节点都要被圆覆盖。
约束2:
所有节点都连通。
约束3:
有转发任务的相邻一跳覆盖区的公共面积不小于较大一跳覆盖区面积的5%。
下面对约束3进行进一步分析,考虑两个圆和的公共部分,按照其中是否包含节点,可将其分为两类:
icjcjicca)其中至少包含一个节点。
b)其中不含节点。
如果jicc中不含节点,则它不能承担任何转发任务,即此时ic和jc不能通过jicc连通。
至少含有一个节点的公共部分又可以分为两类:
a)公共面积至少占其中大圆面积的5%,即)(),。
(max%5)(jijicScSccSb)公共面积不足其中大圆面积的5%,即)(),(max%5)(jijicScSccS。
对于面积不足其中大圆面积的5%的公共部分,根据约束3,规定其中节点不承担转发任务,即此时ic和jc不能通过jicc连通。
因此仅有至少包含一个节点且面积至少占其中大圆面积的5%的公共部分jicc能够使得形成这个公共部分的两个圆ic和jc通过jicc连通,如表5所示:
公共部分是否含有节点公共部分的面积占其中大圆面积的百分比ic和是否能通过连通jcjicc含有节点%5连通含有节点%5不连通不含节点无意义不连通表5根据以上定义,约束3转化为两个一跳覆盖区和是否能通过连通的判据,不再作为本问题的一个约束出现。
则本问题中的最优化模型简化为:
icjcjicc目标:
全部一跳覆盖覆盖区半径之和最小约束1:
所有节点都要被圆覆盖。
约束2:
所有节点都连通。
设为附件1中给出的节点构成的集合,一跳覆盖区集合为点集W上的一个覆盖,则本问题的最优化问题为:
21mwwwW,2nc,1ccC11,1)(),(max(%5)(,1,1,.min111211hkmjicScSccScwcwCcccWwwnjmicwCcWwtsrkkkkhjihjijijinii且使得使得3.2遗传算法遗传算法与问题2相似,我们采用遗传算法来求解这个最优化问题。
本问题所采用的遗传算法的编码方案,个体适应度,选择策略,繁殖策略,杂交策略,变异策略,约束处理,迭代终止条件均与2.2相同,只有初始种群的选取与其不同。
3.2.1初始种群的选取对于,连接和以为圆心半径为100的圆范围内的所有节点,构成一个无向图。
对这个无向图中的所有点,按照其度(图论中无向图的度)的大小进行排序,将度最大的点以及所有与其直接相连的点划分为一簇,并从图中去除这些点。
在剩下的所有点中,选择度最大的点,将它以及所有与其直接相连的点划分为一簇,并从图中除去,按此方法不断迭代,直到图中不再存在任何点。
这样,对集合W得到一个簇划分方案。
Wwiiwiw对每一个簇分配一个一跳覆盖区,初始时使一跳覆盖区的圆心和簇的圆形重合。
在一定范围内调整一跳覆盖区圆心的位置,按照3.1中区域连通的判定方法,使得所有一条覆盖区均连通。
3.2.2控制参数的选择及结果分析本问题中控制参数的选择如表6所示aScPmPmaxSh1006.0001.010000510表6在此组控制参数下,得到无湖情况下的覆盖方案如图在此组控制参数下,得到无湖情况下的覆盖方案如图11所示,此时所有圆的半径之和为:
所示,此时所有圆的半径之和为:
4050图11在此组控制参数下,得到有湖情况下的覆盖方案如图在此组控制参数下,得到有湖情况下的覆盖方案如图12所示,此时所有圆的半径之和为:
所示,此时所有圆的半径之和为:
3300图123.3信道分配方案信道分配方案根据根据3.2中得到的结果,在有湖和无湖的情况下,信道分配方案如图中得到的结果,在有湖和无湖的情况下,信道分配方案如图13、14所示,两种情况下,都最多需要所示,两种情况下,都最多需要4个信道即可满足要求。
个信道即可满足要求。
图13图143.4区域连通的充分、必要条件区域连通的充分、必要条件定义四:
按照3.1中区域连通的判定方法,对某一种一跳覆盖区的分配方案,如果两个相邻的一跳覆盖区可以连通,则将它们的圆心用线段连接,形成一个无向图,我们称为一跳覆盖区的分配方案的生成图生成图。
cGcG3.4.1充分必要条件:
基于生成图的概念,区域连通的充分必要条件为:
一跳覆盖区的分配方案的生成图为连通图。
3.4.2必要不充分条件区域连通的必要不充分条件为:
一个一跳覆盖区至少和一个不同的一跳覆盖区共享一个节点,且该节点所处的公共区域的面积不小于较大的一条覆盖区面积的5%。
4.对用户移动的模拟及结果对用户移动的模拟及结果根据附件1中给出的数据,3中得到的覆盖方案和题目中的要求,我们进行了10次模拟,模拟结果如图15所示。
图15图中蓝色节点为前10个节点的初始位置,红线表示10次模拟结果中节点最终位置的连线。
从图15可以看出,由于这10个节点中只有圆6和圆7之间的节点承担转发任务,只有这个节点的移动可能对造成整个网络不能完全连通。
通过模拟,在这10次模拟中有6次造成网络不连通,4次仍保持连通。
5.对功率有限制情况下的覆盖区域划分方案对功率有限制情况下的覆盖区域划分方案51电池功率的极限情况讨论电池功率的极限情况讨论考虑最坏的情况,即所有的节点都在不停的进行发送或者接受,根据题中给定的两个条件:
(1)电池在覆盖半径为100发送状态下的工作总时间是400个时间单位
(2)两节点之间原始(不是转发)的平均通信次数大致与它们之间的距离的平方成反比可以得到每个节点的极限覆盖半径,即当每个节点运行1200个时间单位并且始终处在发送状态时能够取得的最大覆盖半径。
r公式表示为331001200400R解得69.336R5.2启发式搜索算法启发式搜索算法根据问题五给出的对于电池消耗问题的约束,并且考虑到该问题的为一个NP完全问题,因此本文在这里设计了一种基于权值的启发式搜索算法。
5.2.1搜索算法设图中的点集为,并且每个点都有一个权值以及一个邻居表与之对12(,.,)iKPpppp应,分别记为,其中为点的个数。
12(,.,)iKWwwwwi12(,.,)iKNnnnnKpip
(1)对于任意一点,将所有与的距离小于100的点加入ip的邻居表中,中的元素按照其与ininip的距离升序排列ip可以根据5.2.2中的启发式权值衡量公式得到一个最小的权值iw
(2)每个点(3)在所有的点中选出一个权值最小的点,记录它的下标为indexindexp(4)更新所有的节点的邻居表,将
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