八年级下压轴-50题(含答案及解析).doc
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八年级下压轴题50题
一.选择题(共3小题)
1.如图,ABCD的一边AB在x轴上,长为5,且∠DAB=60°,反比例函数y=和y=﹣分别经过点C,D,则▱ABCD的周长为( )
A.12 B.14 C.10 D.10+2
2.如图,△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,则PQ的长为( )
A. B. C.3 D.4
3.如图,△ABC的面积为1,分别取AC、BC两边的中点A1、B1,则四边形A1ABB1的面积为,再分别取A1C、B1C的中点A2、B2,A2C、B2C的中点A3、B3,依次取下去….利用这一图形,能直观地计算出+++…+=( )
A.1 B. C. D.1﹣
二.填空题(共1小题)
4.如图,E,F分别是正方形ABCD的边AB,AD上的点,且AE=AF,△AEF的面积为2,△ECF的面积为8,则BF的长为 .
三.解答题(共46小题)
5.如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,连接AM,点E是线段AM上一点,∠CDE的平分线交AM延长线于点F.
(1)如图1,若点E为线段AM的中点,BM:
CM=1:
2,BE=,求AB的长;
(2)如图2,若DA=DE,求证:
BF+DF=AF.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动,点P从点A出发的同时点Q从点C出发,以1cm/s的速度向点B运动,当点P到达点C时,点Q也停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒.
(1)从运动开始,当t取何值时,PQ∥CD?
(2)从运动开始,当t取何值时,△PQC为直角三角形?
7.如图正方形ABCD中,E为AD边上的中点,过A作AF⊥BE,交CD边于F,M是AD边上一点,且有BM=DM+CD.
(1)求证:
点F是CD边的中点;
(2)求证:
∠MBC=2∠ABE.
8.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、AB上两点,且BE=BF,过点B作AE的垂线交AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M.
(1)求证:
∠BFC=∠BEA;
(2)求证:
AM=BG+GM.
9.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O.点E是线段DO上一点,连接CE.点F是∠OCE的平分线上一点,且BF⊥CF与CO相交于点M.点G是线段CE上一点,且CO=CG.
(1)若OF=4,求FG的长;
(2)求证:
BF=OG+CF.
10.
(1)如图①,两个正方形的边长均为3,求三角形DBF的面积.
(2)如图②,正方形ABCD的边长为3,正方形CEFG的边长为1,求三角形DBF的面积.
(3)如图③,正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b,求三角形DBF的面积.
11.如图,已知▱ABCD中,AE平分∠BAD交DC于E,DF⊥BC于F,交AE于G,且AD=DF.过点D作DC的垂线,分别交AE、AB于点M、N.
(1)若M为AG中点,且DM=2,求DE的长;
(2)求证:
AB=CF+DM.
12.已知正方形ABCD如图所示,连接其对角线AC,∠BCA的平分线CF交AB于点F,过点B作BM⊥CF于点N,交AC于点M,过点C作CP⊥CF,交AD延长线于点P.
(1)若正方形ABCD的边长为4,求△ACP的面积;
(2)求证:
CP=BM+2FN.
13.如图,菱形ABCD中,点E、M在AD上,且CD=CM,点F为AB上的点,且∠ECF=∠B.
(1)若菱形ABCD的周长为8,且∠D=67.5°,求△MCD的面积;
(2)求证:
BF=EF﹣EM.
14.如图1,矩形OABC摆放在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=3,OC=2,过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P,且点P不与点B、C重合,过点P作∠CPD=∠APB,PD交x轴于点D,交y轴于点E.
(1)若△APD为等腰直角三角形.
①求直线AP的函数解析式;
②在x轴上另有一点G的坐标为(2,0),请在直线AP和y轴上分别找一点M、N,使△GMN的周长最小,并求出此时点N的坐标和△GMN周长的最小值.
(2)如图2,过点E作EF∥AP交x轴于点F,若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求直线PE的解析式.
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线AB:
y=x+4交x轴于点A,交y轴于点B.直线CD:
y=﹣x﹣1与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D.
(1)直接写出点B和点D的坐标;
(2)若点P是射线MD上的一个动点,设点P的横坐标是x,△PBM的面积是S,求S与x之间的函数关系;
(3)当S=20时,平面直角坐标系内是否存在点E,使以点B、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,说明理由.
16.如图,矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上,已知点B坐标为(4,﹣3).把矩形OABC沿直线DE折叠,使点C落在点A处,直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E.
(1)线段AC= ;
(2)求点D坐标及折痕DE的长;
(3)若点P在x轴上,在平面内是否存在点Q,使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形?
若存在,则请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
17.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣与坐标轴交于A,B两点,以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,点C为直角顶点,连接OC.
(1)直接写出S△AOB= ;
(2)请你过点C作CE⊥y轴于E点,试探究OB+OA与CE的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点M为AB的中点,点N为OC的中点,求MN的值;
(4)如图2,将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD,且OD⊥AD,延长DO交直线y=x+5于点P,求点P的坐标.
18.如图,在平面直角坐标系xoy中,直线y=﹣2x+4交y轴于点A,交x轴于点B.点C在y轴的负半轴上,且△ABC的面积为8,直线y=x和直线BC相交于点D.
(1)求直线BC的解析式;
(2)在线段OA上找一点F,使得∠AFD=∠ABO,线段DF与AB相交于点E.
①求点E的坐标;
②点P在y轴上,且∠PDF=45°,直接写出OP的长为 .
19.如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD∥y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m=4,n=20时.
①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.
②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)四边形ABCD能否成为正方形?
若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.
20.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,点P、点E分别是边AB、BC上的动点,连结DP、PE.将△ADP与△BPE分别沿DP与PE折叠,点A与点B分别落在点A′,B′处.
(1)当点P运动到边AB的中点处时,点A′与点B′重合于点F处,过点C作CK⊥EF于K,求CK的长;
(2)当点P运动到某一时刻,若P,A',B'三点恰好在同一直线上,且A'B'=4,试求此时AP的长.
21.小华思考解决如下问题:
原题:
如图1,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:
AP=AQ.
(1)小华进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:
把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E、F分别在边BC、CD上,如图2.此时她证明了AE=AF,请你证明;
(2)由以上
(1)的启发,在原题中,添加辅助线:
如图3,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明;
(3)如果在原题中添加条件:
AB=4,∠B=60°,如图1,求四边形APCQ的周长的最小值
22.已知结论:
在直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半,请利用这个结论进行下列探究活动.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB中点,P为AC上一点,连接PD,把△APD沿PD翻折得到△EPD,连接CE.
(1)AB= ,AC= .
(2)若P为AC上一动点,且P点从A点出发,沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动,设P点运动时间为t秒.
①当t= 秒时,以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形.
②在P点运动过程中,是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
23.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点,点C(2,m)为直线y=x+2上一点,直线y=﹣x+b过点C.
(1)求m和b的值;
(2)直线y=﹣x+b与x轴交于点D,动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动.设点P的运动时间为t秒.
①若点P在线段DA上,且△ACP的面积为10,求t的值;
②是否存在t的值,使△ACP为等腰三角形?
若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
24.对于一次函数y=kx+b(k≠0),我们称函数y[m]=为它的m分函数(其中m为常数).
例如,y=3x+2的4分函数为:
当x≤4时,y[4]=3x+2;当x>4时,y[4]=﹣3x﹣2.
(1)如果y=x+1的﹣1分函数为y[﹣1],
①当x=4时,y[﹣1] ;当y[﹣1]=﹣3时,x= .
②求双曲线y=与y[﹣1]的图象的交点坐标;
(2)如果y=﹣x+2的0分函数为y[0],正比例函数y=kx(k≠0)与y=﹣x+2的0分函数y[0]的图象无交点时,直接
写出k的取值范围.
25.如图,矩形OABC中,点A在x轴上,点C在y轴上,点B的坐标是(6,8),矩形OABC沿直线BD折叠,使得点C落在对角线OB上的点E处,折痕与OC交于点D.
(1)求直线OB的解析式及线段OE的长;
(2)求直线BD的解析式及点E的坐标;
(3)若点P是平面内任意一点,点M是直线BD上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,垂足为点N,在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形?
若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
26.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.当运动时间t为多少秒时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.
27.已知,梯形ABCD中,AB∥CD,BC⊥AB,AB=AD,连接BD(如图a),点P沿梯形的边,从点A→B→C→D→A移动,设点P移动的距离为x,BP=y.
(1)求证:
∠A=2∠CBD;
(2)当点P从点A移动到点C时,y与x的函数关系如图(b)中的折线MNQ所示,试求CD的长.
(3)在
(2)的情况下,点P从A→B→C→D→A移动的过程中,△BDP是否可能为等腰三角形?
若能,请求出所有能使△BDP为等腰三角形的x的取值;若不能,请说明理由.
28.定义:
有一组对边平行,有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形,如图1,直线l1∥l2,点A,D在直线l1上,点B,C在直线l2上,若∠BAD=2∠BCD,则四边形ABCD是半对角四边形.
(1)如图1,已知AD∥BC,∠BAD=60°,∠BCD=30°,若直线AD,BC之间的距离为,则AB的长是 ,CD的长是 ;
(2)如图2,点E是矩形ABCD的边AD上一点,AB=1,AE=2.若四边形ABCE为半对角四边形,求AD的长;
(3)如图3,以▱ABCD的顶点C为坐标原点,边CD所在直线为x轴,对角线AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.点E是边AD上一点,满足BC=AE+CE.
①求证:
四边形ABCE是半对角四边形;
②当AB=AE=2,∠B=60°时,将四边形ABCE向右平移a(a>0)个单位后,恰有两个顶点落在反比例函数y=的图象上,求k的值.
29.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点,点C在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D作DE⊥x轴于点E.
(1)求证:
△BOC≌△CED;
(2)如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D',当B'C'经过点D时,求△BCD平移的距离及点D的坐标;
(3)若点P在y轴上,点Q在直线AB上,是否存在以C、D、P、
Q为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,直接写出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
30.如图,在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,点O在对角线AC上,且OA=OB=OC,点P是边CD上的一个动点,连接OP,过点O作OQ⊥OP,交BC于点Q.
(1)求OB的长度;
(2)设DP=x,CQ=y,求y与x的函数表达式(不要求写自变量的取值范围);
(3)若△OCQ是等腰三角形,求CQ的长度.
31.如图①,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴,y轴分别交于点A,点C,过点A作AB⊥x轴,垂足为点A,过点C作CB⊥y轴,垂足为点C,两条垂线相交于点B.
(I)线段AB,BC,AC的长分别为:
AB= BC= AC= ;
(Ⅱ)折叠△ABC,使点A与点C重合,再将折叠后的图形展开,折痕DE交AB于点D,交AC于点E连接CD,如图②
①求点D的坐标;
②在y轴上,是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?
若存在,请直接写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
32.已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F,且∠EAF=60°
(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE、AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:
BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°,求△FBC的面积.
33.已知,反比例函数y=的图象和一次函数的图象交于A、B两点,点A的横坐标是﹣1,点B的纵坐标是﹣1.
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)若点P(m,n)在反比例函数图象上,且点P关于x轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上,求m2+n2的值;
(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数在第一象限图象上的两点,满足x2﹣x1=2,y1+y2=3,求△MON的面积.
34.如图,在四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP,且PM=CP,过点M作MN∥AO,交BO于点N,联结BM、CN,设OP=x.
(1)当x=1时,点M的坐标为( , );
(2)设S四边形CNMB=y,求出y与x的函数关系式,写出函数的定义域.
(3)在x轴正半轴上存在点Q,使得△QMN是等腰三角形,请直接写出不少于4个符合条件的点Q的坐标(用x的式子表示).
35.如图,已知矩形OABC在平面直角坐标系中,O的坐标为(0,0),点A在x轴上,点C在y轴上,点B坐标是(4,3),矩形ABCO沿直线DE折叠,点A恰好落在BC边上的点F处,点E,D分别在OA,AB上,且点D的坐标B是(4,2),点G为DF的中点.
(1)求点F坐标;
(2)求证:
△BGD为等边三角形;
(3)求直线DE的解析式.
36.如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(﹣3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交于y轴于点H.
(1)连接BM,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(2)在
(1)的情况下,当点P在线段AB上运动时,是否存在以BM为腰的等腰三角形BMP?
如存在,求出t的值;如不存在,请说明理由.
37.如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E在BC上,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.
(1)求证:
DF=BE;
(2)若∠ACB=45°.
①求证:
∠BAG=∠BGA;
②探索DF与CG的数量关系,并说明理由.
38.如图①,在平面直角坐标系中,A(1,a)是函数y=的图象上一点,B(0,b)是y轴上一动点,四边形ABPQ是正方形(点A、B、P、Q按顺时针方向排列).
(1)求a的值;
(2)如图②,当b=0时,求点P的坐标;
(3)若点P也在函数y=的图象上,求b的值;
(4)设正方形ABPQ的中心为M,点N是函数y=的图象上一点,判断以点P、Q、M、N为顶点的四边形能否是正方形?
如果能,请直接写出b的值;如果不能,请说明理由.
39.在平面直角坐标系中,已知点A(0,3),B(4,0),C(m,﹣3m+22),点D与A关于x轴对称.
(1)写出点C所在直线的函数解析式;
(2)连接AB,BC,AC,若线段AB,BC,AC能构成三角形,求m的取值范围;
(3)若直线CD把四边形ACBD的面积分成相等的两部分,试求m的值.
40.
(1)阅读理解:
我们知道,平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,如果两条数轴不垂直,而是相交成任意的角ω(0°<ω<180°且ω≠90°),那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系,如图1,经过:
经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN交x轴和y轴于M、N,点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标,如M表示数2.5,N表示数2,则点P的坐标为(2.5,2),如图ω=30°,直角三角形的顶点A与坐标原点O重合,点B、C分别在x轴和y轴上,AB=,则点B、C在此斜坐标系内的坐标分别为B ,C .
(2)尝试应用:
如图3,ω=45°,O为坐标原点,边长为1的正方形OABC的边OA在x轴上,设直线y=kx+b经过A,C两点,求k、b的值.
(3)自主探究:
如图4,ω=60°,O为坐标原点,M(2,2),矩形ABCM的边AB在坐标轴上且面积为3,求顶点C的坐标.
41.如图,长方形ABCD(长方形的对边相等,每个角都是90°),AB=6cm,AD=2cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以2厘米/秒的速度向终点B移动,点Q以1厘米/秒的速度向D移动,当有一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动的时间为t,问:
(1)当t=1秒时,四边形BCQP面积是多少?
(2)当t为何值时,点P和点Q距离是3cm?
(3)当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)
42.两个矩形如图1摆放在直线MN上,AD=EH=1,CD=DE=EF=2,将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角α,同时将矩形EFGH绕点E逆时针旋转角α,其中0°<α<90°.
(1)如图2,当点C和F重合时,α= ;
(2)如图3,当两个矩形的重叠部分为正方形时,α= ,重叠部分的面积S= ;
(3)如图4,当旋转到点B与点G重合时,设DC与EF交于P,BP的延长线交DE于Q,线段BQ与DE的关系是 ,利用你的结论(不用证明),计算两个矩形重叠部分的面积.
43.如图,已知正方形ABCD与正方形EFGH的边长分别是和,它们的中心O1,O2都在直线l上,AD∥l,EG在直线l上,l与DC相交于点M,ME=7﹣2,当正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时,正方形ABCD也绕O1以每秒45°顺时针方向开始旋转,在运动变化过程中,它们的形状和大小都不改变.
(1)在开始运动前,O1O2= ;
(2)当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时,正方形ABCD停止旋转,这时AE= ,O1O2= ;
(3)当正方形ABCD停止旋转后,正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒,两正方形重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数表达式.
44.如图
(1),已知正方形ABCD,△AEF是正方形ABCD的内接正三角形.
(1)求证:
BE=DF.
(2)请你找出S△ABE,S△ADF,S△CEF之间的数量关系,并说明理由.
(3)若将
(1)
(2)问中的正方形改为矩形,如图
(2),其余条件不变,
(2)中的结论还成立吗?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
45.如图
(1),在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(﹣3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式.
(2)连接BM,如图
(2),动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围).
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP的解析式.
46.
(1)如图1,△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,求证:
BD=CE;
(2)如图2,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.
填空:
∠AEB的度数为 ;线段BE与AD之间的数量关系是 .
(3)拓展探究
如图3,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由.
47.
(1)发现:
如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.
填空:
当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a,b的式子表示)
(2)应用:
点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段BE长的最大值.
(3)拓展:
如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
48.已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(点D不与B,C重合)△ADF是以AD为边的等边三角形,过点F作BC的平行线交射线AC于点E,连接BF.
(1)如图1,求证:
△AFB≌△ADC;
(2)请判断图1中四边形BCEF的形状,并说明理由;
(3)若D点在BC边的延长线上,如图2,其它条件不变,请问
(2)中结论还成立吗?
如果成立,请说明理由.
49.设p,q都是实数,且p<q.我们规定:
如果变量x的取值范围为p≤
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