第九章--欧氏空间练习题.docx
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第九章欧氏空间练习题
一、填空题
1.设是一个欧氏空间,,若对任意都有,则=_________.
2.在欧氏空间中,向量,,那么=_________,
=_________.
3.在维欧氏空间中,向量在标准正交基下的坐标是,那么=_________,=_________.
4.两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________.
5.已知是一个正交矩阵,那么=_________,=_________.
6、已知三维欧式空间中有一组基,其度量矩阵为,则向量的长度为 。
7.设,若与正交,则.
8、设在此内积之下的度量矩阵为 。
9、设为欧氏空间,则有柯西-施瓦茨不等式:
。
二、判断题
1.在实线性空间中,对于向量,定义,那么构成欧氏空间。
()
2.在维实线性空间中,对于向量,定义,则构成欧氏空间。
()
3.是维欧氏空间的一组基,与分别是V中的向量在这组基下的坐标,则。
()
5.是维欧氏空间的一组基,矩阵,其中,则A是正定矩阵。
()
6.设是一个欧氏空间,,并且,则与正交。
()
7.设是一个欧氏空间,,并且,则线性无关。
()
8.若都是欧氏空间的对称变换,则也是对称变换。
()
三、计算题
1.把向量组,扩充成中的一组标准正交基.
2.求正交矩阵,使成对角形。
3.在中,对任意向量,,定义
(1)证明:
作成欧氏空间.
(2)写出这个欧氏空间的柯西—布涅珂夫斯基不等式.
四、证明题
1.设,为同级正交矩阵,且,证明:
.
2.设为半正定矩阵,且,证明:
.
3.证明:
维欧氏空间与同构的充要条件是,存在双射,并且有。
4.A为阶实对称矩阵,且.证明:
存在正交矩阵U,使
其中为A的正特征值的个数.
5.设为维欧氏空间V的一组基.证明:
这组基是标准正交基的充分必要条件是,对V中任意向量都有
.
6、设是3维欧氏空间V的一组基,这组基的度量矩阵为
(1)令,证明是一个单位向量;
(2)若与正交,求
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