不等式运算性质:
(1)同向相加:
若a>b,c>d,则a+c>b+d;
(2)异向相减:
,.
(3)正数同向相乘:
若a>b>0,c>d>0,则ac>bd。
(4)乘方法则:
若a>b>0,n∈N+,则;
(5)开方法则:
若a>b>0,n∈N+,则;
(6)倒数法则:
若ab>0,a>b,则。
2、基本不等式
定理:
如果,那么(当且仅当a=b时取“=”号)
推论:
如果,那么(当且仅当a=b时取“=”号)
算术平均数;几何平均数;
推广:
若,则
当且仅当a=b时取“=”号;
3、绝对值不等式
(1)|x|<a(a>0)的解集为:
{x|-a<x<a};
|x|>a(a>0)的解集为:
{x|x>a或x<-a}。
(2)
4、不等式的证明:
(1)常用方法:
比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法;
(2)在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用;
(3)证明不等式的过程中,放大或缩小应适度。
5、不等式的解法:
(1)一元二次型不等式的恒成立问题常用结论:
ax2+bx+c>0对于任意的x恒成立;
ax2+bx+c<0对于任意的x恒成立
(2)解不等式是寻找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
一元二次不等式(组)是解不等式的基础,一元二次不等式是解不等式的基本题型。
一元二次不等式与相应的函数,方程的联系
①求一般的一元二次不等式或的解集,要结合的根及二次函数图象确定解集.
②对于一元二次方程,设,它的解按照可分为三种情况.相应地,二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此,我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式的解集,列表如下:
含参数的不等式应适当分类讨论。
6、线性规划问题的解题方法和步骤
解决简单线性规划问题的方法是图解法,即借助直线(线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线)与平面区域(可行域)有交点时,直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。
它的步骤如下:
(1)设出未知数,确定目标函数。
(2)确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域。
(3)由目标函数z=ax+by变形为y=-x+,所以,求z的最值可看成是求直线y=-x+在y轴上截距的最值(其中a、b是常数,z随x,y的变化而变化)。
(4)作平行线:
将直线ax+by=0平移(即作ax+by=0的平行线),使直线与可行域有交点,且观察在可行域中使最大(或最小)时所经过的点,求出该点的坐标。
(5)求出最优解:
将(4)中求出的坐标代入目标函数,从而求出z的最大(或最小)值。
7、在平面直角坐标系中,已知直线,坐标平面内的点.
①若,,则点在直线的上方.
②若,,则点在直线的下方.
8、在平面直角坐标系中,已知直线.
①若,则表示直线上方的区域;表示直线下方的区域.
②若,则表示直线下方的区域;表示直线上方的区域.
9、最值定理
设、都为正数,则有
⑴若(和为定值),则当时,积取得最大值.
⑵若(积为定值),则当时,和取得最小值.
即:
“积定,和有最小值;和定,积有最大值”
注意:
一正、二定、三相等