数字图像处理第三版中文的答案解析冈萨雷斯.docx
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数字图像处理第三版中文的答案解析冈萨雷斯
第二章
(第二版是和*的矩形,第三版是和圆形)
使用2.1节提供的背景信息・如果纸上的一个打印点离眼睛0.3m远,请采用纯几何方法,估计艰睛能辨别的购M丁印点的直衿为简单屁见.假设在中央凹处的像点、变得远比视网肢反域的感受器(鮮状体)的直径小时.视觉系统已不能检测到该点进-步假设中央凹可建模为直径为1.5mm的圆形阵列,并且饶状体间的间隔住该阵列上均匀分布。
对应点的视网膜图像的直径x可通过如下图题所示的相似三角形几何关系得到,即
(d⑵一(刃2)
0.30.017
解得x=。
根据肖内容,我们知逍:
如果把中央凹处想象为一个有337000个成像单元的圆形传感器阵列,它转换成一个大小兀X327.5?
成像单元的阵列。
假设成像单元之间的间距相等,这表明在总长为1.5mm(直径)的一条线上有655个成像单元和654个成像单元间隔。
则每个成像单元和成像单元间隔的大小为s=[(1.5mm)/1309]=X10-6ma
如果在中央凹处的成像点的大小是小于一个可分辨的成像单元,在我们可以认为改点对于眼睛来说不可见。
换句话说,眼睛不能检测到以下直径的点:
x=0.06〃 当我们在白天进入一家黑暗剧场时,在能看清并找到空座时要用一段时间适应。 节描述的视觉过程在这种情况下起什么作用 亮度适应。 虽然图中未显示,但交流电的却是电磁波谱的一部分。 美国的商用交流电频率是77HZO问这一波谱分量的波长是多少 光速c=300000km/s,频率为77Hz« 因此X=c/v=*108(m/s)/77(l/s)=*106m=3894Km. 14mmxl4mm的CCD摄像机芯片有2048x2048个元素.将它聚焦到相距0.5m远的一个方形平坦区域该摄像机每垒米能分辨多少线对? 摄像机配备了个35mm镜头-(提示: 成像处理模型如图2.3所示,但使用摄像机镜头的焦距替代眼阳的焦距,: ) 根据图得: 设摄像机能看到物体的长度为x(mm),则有: 500/x=3V14;解得: x=200,所以相机的分辨率为: 204&200=10;所以能解析的线对为: 10/2=5线对/mm. 假设中心在(x0,y0)的平坦区域被一个强度分布为: 心,y)=Kjgd)'+(y-〉ai的光源照射。 为简单起见,假设区域的反射是恒定的,并等于,令K=255。 如果图像用k比特的强度分辨率进行数字化,并且眼睛可检测相邻像素间8种灰度的突变,那么k取什么值将导致可见的伪轮廓 解: 题中的图像是由: f(x,y)=i(x,y)r(x,y)=255貝宀。 )沁Mxl.O=255^宀屏心5円 一个截而图像见图(a)。 如果图像使用k比特的强度分辨率,然后我们有情况见图(b),苴中厶G=(255+1)/2"o因为眼睛可检测4种灰度突变,因此,△G=4=256/2JK=6O 也就是说,2丈小于64的话,会出现可见的伪轮廓。 数字数据传输通常用波特率度让其定义为毎秒钟传输的比恃数通常.传输是以一个开始比特.一个字节(8比恃)的信息和一个停止比特组成的包完成的利用这些枣实•回答下列问题: 波特的调制解i周器传输一幅大小为2048x2048的2%灰度级的图像.碍要几分钟 7W (a)传输数据包(包括起始比特和终止比特)为: N=n+m=10bitso对于一幅2048X2048大小的 图像,其总的数据量为M=(2048)2x/V,故以56K波特的速率传输所需时间为: T=M/56000=(2048)2x(8+2)/56000=748.98s=12.48〃心 (b)以3000K波特的速率传输所需时间为 T=M/3000000=(2048)2x(8+2)/3000000=13.98$ 髙淸晰度电视(HDTV)使用1080条水平电视线隔行扫描來产生图像(每隔一行在显像管表面画条线.毎两场形成一帧.每场用时1/60#)图像的宽高比是16: 9在水平行数固定的情况下•求图像的垂直分辨率。 一家公可已经没汁了一种图像获取系统.该系统由HDTY图像生成数字图像。 在该系统中,每条冰平)电观行的分辨率与图像的宽髙比成正比.彩色图像的每个像素都有24比特的灰度分辨率.红色、绿色、蓝色图像各8比特这三幅瓯色图像形成彩色图像存豬90分钟的一部HDTV电形需要多少比特? 解: 图像宽髙比为16: 9,且水平电视线的条数是1080条,贝IJ: 竖直电视线为1080X(1^9)=1920像素/线。 由题意可知每场用Is的玩0,贝IJ: 每帧用时2X玩0=1/30秒。 则该系统每第0秒的时间形成一幅1920X1080分辨率的红、绿、蓝每个像素都有8比特的图像。 又因为90min为5400秒,故储存90min的电视卩目所需的空间是: 1080x1920x8x3x30x5400=&062x\0}2bits=1.001x10l2bytev 确定这两个子集是(a)4邻接的■(b)8邻 考虑两个图像子集3和S? •如下页右图所示对于小{I}•接的.还是(C)加邻接的? 解: p和q如图所示: 010 °; (a)S、和S? 不是4邻接,因为q不在集中。 (b)S|和S? 是8连接,因为q在M(〃)集。 (c)S、和S2是m连接,因为q在集合N°(p)中,且N4(p)ClN4⑷没有V值的像素。 提出将一个像素宽度的8通路转换为4通路的一种算法。 解: 找出一个像素点的所有邻接情况,将对角元素转化成相应的四邻接元素。 如下图所示: 提出将一个像素宽度的m通路转换为4通路的一种算法。 解: 把m通道转换成4通道仅仅只需要将对角线通道转换成4通道,由于m通道是8通道与4通道的混合通道,4通道的转换不变,将8通道转换成4通道即可。 如图所示: ⑴4邻域关系不变 ⑵8领域关系变换如下图所示 (没答案,自己做的,看对不对) ⑵在V={234}时,p和q之间通路的D4距离为8,D8距离为4,Dm距离为5“p和q之间不存在4邻接路径,因为不同时存在从p到q像素的4毗邻像素和具备U的值,情况如图(a)所示。 p不能到达弘 *{2,3,4] ★(a)对于点p和q间的比距离等于这两点间最短4通路的悄况・给出需 要的条件。 I护二站网丿 (b)这个通路唯一吗? 解: (a)点p(x,y)和点q(s,t)两点之间最短4通路如下图所示,貝中假设所有点沿路径V。 路径段长度分别为卜一$|利J|y一小由D4距离的左义可知,通路总长度|X-S|+|Y-T|,(这个距离是独立于任何点之间可能存在的任何路径),显然距离是等于这两点间的最短4通路。 所以当路径的长度是卜-s|+|y-/|,满足这种情况。 (b)路径可能未必惟一的,取决于V和沿途的点值。 q(H)] I I I I I I 田2.16 淮下一章.将讨论一些算子.其功能是在一个很小的子图像区域S中计算像素值的总和证明这些算子都是线性算子。 MO•••••••••I• 由公式H[f(x,y)]=g(x,y), 让H表示相邻的和操作,让5和S2表示两个不同子图像区的小值,并让/+£表示相应的总数5,和S2像素,如在2.5.4节里的解释.注意到附近的大小(即像素数字)并没有随着这总和的改变而改变。 H汁算像素值是一个给立的区域。 然后, H(aSl+bS2) 意味着: (1)在每个子区域里乘像素, ⑵从竭到每个像素值相加(首先产生一个单独的子区域) (3)在单独的子图像区域里汁算: 所有像素值的和。 让ap2表示两个任意(但相应的)像素 "S]+bS20 然后我们可以依据Eq.-1),表明H是一个线性算子。 H[aSi+bS・2)=二十bp・2 Pi€S"iandp2^^2 =E^ PiWS]PzES? Pl€5iP2^Sq =a//(5i)+6/f(S2) 』一个数集的中值g定义为这样一个值.该数集中的一半数值比它小.另一半数值比它大: 例如. J数集{2.3,&20.21,25,31)的中值是20试证明计算子图像区域5的中值的算子是非线性的 < (1)中值匚表示,数集的一半数值比它大,另一半比它小。 一个简单的例子能够表明,Eq.-1)的平均算子操作。 让Sl={l,-2,3},S2={4,5,6},a=b=1.在这种情况下,H是平均算子。 然后有H(S1+S2)=中值{539}二5,S1+S2是S1和S2的和。 接下来,计算H(S1)=中值{1、-2、3}=1和H(S2)=中值{4、5、6}=50 然后,从H(aSl+bS2)HaH(Sl)+bH(S2),因此,子图像区域S中值的算子是非线性的。 (2) 解: 图像区域S1像素分布为: 3 5 7 1 S1的申值◎为4 44' 66 88 99 则S2={3,4: 》6,7,&9}S2的中值£2为6 4-a=l,b=b由S1和S2构成S是H(S)二H(aSl十bS2)图像区域S像素分布为: '5577' 991111 一13131515 10101010 则8={乂7911)3.1乂10}S的中值g为9 AH(O=H(a J证明式(266)和式(2・&7)的正确性〔捉氏从式(2Z)开紇并冃利用这样一个串实: 一个和的期望值就是期型值的和「] 因为gd,y)=/(x,y)+77(x,y)臣(x,y)=}fggy)K/-i L“1A,1A*z E[g(xyy)\=E〒乞ggy)=E土£(4 (2)+7 (2)).A/-1」LA/-I (K\\(K 日£/; (2)+7EIX』)" (2) V/-I7A\/-I7 CT2[j(^,y)]=CT2丄£g(兀y) \K/-] \/-I (没答案看看做的对不对) Z*(a)参考图2・31・画出集合("-B)U(3-A)q (b)给出下图中集合儿B、C•中所示的阴影集合的表达式。 每幅图中的阴影区域组成一个集合.因此应该对这三幅图的每个阴影区域给出•个表达丸 (>inB)u(Bnc)u(Anc)-2AnBnc Unc)u(B-AnB)-Bnc (看看翻的对不对) 使用三角形区域替代四边形区域时.所得到的类似于式(2.6-24)和式(2.6-25)的等式是什么? v十(2.6-24) y=c5v^+c6w+c7v^^cs(2.6-25) 答: 使用三角区即三个约束点,所以我们可以解决以下的系数为6的线性方程组: x=c{x+c2y+cy /=c4x+c5y+c6 实施空间变换。 插值强度可使用2.4.4肖的方法。 (看看翻的对不对)证明式(2.6-34)和(2635)中的傅亘.叶核是可分对称的・•傅里叶变换核是可分的,因为: 心y,“,v)=严TS)=严如)严如)=斤(x,l()r2(y,v) 傅里叶变换核是对称的,因为: (看看翻的对不对) 2.26证明具有可分性、对称性的二维变换複可以用 (1)沿输入的行(列)的一维变换来计算;接着 (2)用第一步统杲的列(行)的以为变换来计算」 由可分离变换核的定义知英中: W-1N-1 心=ZZf(x9y)r(xfyf“』) x=0y二0 W-l.V-1 =X门(儿")工用』片23“) x=Qy=0 M-l x=0 |V-| T(xfu)=工/(xj)厂2(y・")・ y=0 当X值固定时,可看作f(x,y)某一行的一维变换,当x从0变换到M-2时计算出整个数组T (x,v),然后,通过替换这个数组的最后一行以前的方程我们可以得到T(x,v)按列的一维变换。 也就是说,当一个图像是内核可分的,我们可以计算图像沿行的一维变换,然后我们计算中间的一列得到最终的二维变换T(u,v).这和先计算列的一维变换再计算中间行得到二维变换最终结果是相同的。 从式(),二维傅里叶变换是由: Af-1*V-1 T(lZ)=工工/(;cy)0-j2M^/M+"WN)・ x=Qy=0 它很容易验证, 傅立叶变换核是可分离的(参见题),所以我们可以写这个方程: x=0y=0 M-lJV-1 —工工/(牙卩龙一以巩”/“) x=0y=0 M-l =工必一妙(TM) c=0 jV-1八儿")=工*儿刃厂伽"川)y=0 是沿着f(x,y)行的一维傅里叶变换,X=0,1,……,M丄 第三章 3.2一个G为正常数的指数式甘"对于构造平滑的灰度变换函数是非常有用的-从这个林函数岀发.构造兵冇下列图形形状的变换函数所示的常数是输入参数,并I丄您提岀的变换必须以待定形式包含这些参数伪J'简化您的答案,第三条曲线中不需要参数厶)。 (a)由5=T(r)=A^\Ae^=A/3得: 一K^=ln(l/3),K=l・0986/£ 」.0986」 s=T(r)=Ae匕 (b)、由$=丁(厂)=£仃),B(1-*空)=8/4得: 一也=ln(3/4),K=0.2877/£; 0.28772 s=T(r)=B(\-e“) s=r(r)=(D-C)(l-0一后2)+C. 34提出一组能够产生4比特单色图像所有单独比恃平面的灰度分层变换(例如变换函数7").当尸在10,7]范围内时.7(r)=0.而吟在[&15]范审内时.T(r)=\5.此函数可以产生一幅8比特图像的笫4比特平面图像)。 逐次査找像素值,如(x,y)=(0,0)点的f(x,y)值。 若该灰度值的4比特的第0位是1,则该位巻的灰度值全部置1,变为15: 否则全部置0,变为0。 因此第7位平面[0,7]垃0,[7,15]置1,第6位平而[0,3].[4,7]置0,[8J1],[12)5]垃15“依次对图像的全部像素进行操作得到第0位平而,若是第i位平面,则该位置的第i位值是0还是1.若是1,则全置1,变为15,若是0,则全置0 '、肿假设对•幅数字图像进行直方图均衡处理试证明(对直方图均衡后的图像)进行第二次直方图均衡处理的结果与第-•次宜方图均衡处理的结果相同•• k|A 设像素的总数为n,5是输入图像的强度值,由"""扫"‘"72SZr? rk 第k个点邻域内的局部增强直方图的值为: Pr(rk)=nk/n(k=O,l,2,……K-1).这里m是灰度级为⑴的像素个数,n是邻域内像素的总个数,k是图像中可能的灰度级总数。 假设此邻域从左以一个像素为步长向右移动。 这样最左而的列将被删除的同时在后而又产生一个新的列。 变化后的直方图则变成: Pr(rfc)=--nLk+nRk] n(k=0J,2,……K-l) 这里賺是灰度级He在左而的列岀现的次数,叶则为在右而出现的次数。 上式也可以改写成: Pig=Prg+一施一nLk]n(k二0,匕乙……K-1) 同样的方法也适用于其他邻域的移动: 这里ak是灰度级厲在邻域内在移动中被删除的像素数,H则是在移动中引入的像素数: p;(壮)=pr(Tk)+丄隊一ak] n•・(k二0丄2,……K-1) 2 上式等号右边的第一项为0(因为f中的元素均为常数儿变/认是噪声的简单抽样,它 ★3.19(a)晔岀求T仞邻域的中值的步谿(b)试提岀一种逐像素地移动邻域的中心来更新中值的技汕 (A)中值是<=[(n2+l)/2]的最大值 (B)一口中值被找出,我们简单的删除邻域边缘的值,在合适的位宜插入合适的值 电3.24证明如式(363)所示的拉普拉斯变换是各向同性的(旋转不变的)c您将需要下列轴旋转0角处标方程: x=x,cos^-y,sin0 ✓y—sine+y'cosO其中(x,y)为未旋转的坐标,而(匕力为旋转后的坐标。 旋转前坐标的拉普拉斯泄义为和=冬十工,旋转后坐标的拉普拉斯圧义为dx^dy^ V2/=+t现在给出x=xcqsO-y'sin=x*sin0+ycos0>其中&指轴 dx-dy- 旋转的角度,若想证明拉普拉斯变换是各向同性的,只需证明孕+马=汉+马ox"dy^ox^oy* 首先,堂』竺+堂空=益歸+耳我dxdxox勿荻dxdy 两边对x求导得, 等曲&+舟(養)sin&c°s&+专(養)Sin&+葯趾⑴同理可得,里』竺+堂空一堂sin&+益歸 dydxdy^dydy^dxdy i 两边对y•求导得, —4=—^-cos: 0-—(—)sin0cos^-—(—)cossinsin20 (2) dy2dx2dxdydydxdy2 (1)和 (2)式相加得,匚_+二=孚+孚,所以拉普拉斯变换是各向同性的。 dx~dy~dx~dy~ 使用式()给出的拉普拉斯定义,证明从一幅图像中减去相应的拉普拉斯图像等同于对图像进行非锐化模板处理。 ^7=[/(x+1,y)+f(x一1,y)+f(x,y+l)+/(x,y-1)]-4/(x,y)(3.6.6) 考虑到下列公式 y)一V2/(«5y)=f(x,y)-[f(x+1,y)+f(x一1,y)+f(x,2/4-1) 一4/(叭“)] =6/@,y)-[f(x+1: “)+f(©-1: “)+f(x,u+1) —1)+/(©,“)] *J+hy)+/(^—hg)++i) —i)+/(%•")[} =5一了训 其中f(x.y)是/(儿刃预先确立的临域的平均数,更确切的说就是以(x,y)为中心并且包括中心像素以及四个相邻像素。 把上而的等式的最后一行的常量视为均衡因子(或比例因子),我们可以写出 /(x,y)一V2f(x,刃«f(x,y)-/(x,y) 等式的右端就是等式X(x,刃=f(x,y)-f(x,y)给出的非锐化掩膜处理的泄义。 因此验证了从一幅图像中间取相应的拉普拉斯图像等同于对图像做非锐化掩膜处理。 33(a)证明式(3.6-11)给出的梯度幅值是一种各向同性的操作(见习题3.24),"(b)如果使用式(3612)计算梯度,证明其将失去各向同性这一性质。 (3.6.11) (3.6.12) W=曲g(Nf)=[G;+G: ]"2=[』)2+旦)2严oxoy y/aiG」+iGj (a)由 堂=堂込&+堂sin0和堂一堂sin&+型cos®dxdxdydydxdy 竺+竺=空+竺或(空+竺严=(竺+竺严 dx2勿2dx2dy2dx2dy2)(&'2dy2} 因此,我们看到的梯度向量的模值是一种各向同性梯度算子 (b)从上而的结果得IG」=I堂I,IGJ=I堂I dxdy IGJ=I乞1=1生cos&+Zsin&l,IG、.1=1乞1=1一生sin0+/cos8l dxdxdy>'dydxdy 显然得到IGJ+IGV・IHIG」+IG、.I 重复例,但是用函数/(r)=2A(-W/4 对你的结果和例子中的结果之间的任何不同,解释原因。 解: W=J弔lAe'^dt ~4 W —■ 4 旳八V ~2~ (肆-" sin0 2; 傅立叶变换的幅值是不变的;由于周期不同, /(“)=匸兀)不曲力 X n=—X Xf 证明式()=工[J⑴旳-泌厂)厂力中的刊“)在 ”=一00 00 /i=-x 两个方向上是无限周期的,周期为1/A7 证明: (1)要证明两个方向上是无限周期1/A7,只需证明 戸(卩+引1/△: T])=戶(“)f0T上=0,±1,±2,… 根据如下式子: 戶(“)=F(“)★$(“)=£F(r)S(“-T)dT 可得: 〃=—OO\/ 00 P(p+A: [l/AT]) 1F(k_n 〃=一8' iOC/、 =ATSF(—烽) m=-ooKy =p(") 其中上式第三行,由于k,n是整数,且和的极限是关于原点对称。 (2)同样的需要证明 戸(卩+灯△T)=戸(卩)上=0,±1,±2,… 根据如下式子: 孙〃)=匸兀)小琢力=匚i泌"-如力 ”=Y =L匸于⑴》('一泌厂)小琢力 /! =-00 00 —力力£一_/2勺"丛77 /! =-00 可得: 00 F^+k/^T) =工J'iie-j24n+k/AT)nSTn=—oo 00 _e~j2^n^Te~i2nkii n=-0G 00 =工仏戶2钟Z舁=一00 =s -jl/rkn 其中第三行由于k,n都为整数,所以幺=lo 可以证明(Brancewel1(2000])loS⑴和1<=>J(Z)o 使用前一个性质和表中的平移性质,证明连续函数/(r)=cos(2^r)的傅立叶变换 是F(“)=(l/2)[5(“+/? )+5(“-n)],其中是一个实数。 证明: 根据一维傅里叶变换公式: co.2帀7 丁⑴辽cQ 〃二一s rr/2-洛 糸数 J=J7? /(必dt n-0,±l,±2,•… 可得: F(u)=「fggdt J-x 00 cos(27int)e^j27rutdt _8 =-f"leJ27rnt+ =-['ej2nate~Mdt+-「e~j2nate~Mdt2J-®2 根据傅里叶变换性质可得: 心02如qf(“—卩界 根据一个常数f(t)=i的傅里叶变换是一个脉冲响应可得: (1)小%“。 (06@_卩0)所以可得如下两个等式: (10咖=5(“一町 (1)0左巾”=5("+“) 所以: F(u)=|[<5(〃+门)+8{u一/? )] 考虑连续函数/(/)=cos(2/n“)(a)/(/)的周期是多少(b)/(/)的频率是多少 (a)根据2血=2托,所以周期为/=l/n (b)频率为”,给泄的正弦波的连续傅立叶变换如在图。 (a)(见习题),采样数据(示出了几个期间)的变换所示的一般形式的如图(b)(虚线框是一个理想的过滤器,将允许重建如果该正弦函数进行釆样,采样泄理满意)。 (a)证明式(4.4-4)和式(4.4-5)组成傅里叶变
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