直线AB的斜率等于泄值.
線觀模獗题强褪
22
1.在椭圆C:
^+^=\(2b>a>b>0)±任取一点P(P不为长轴端点),连结卩斥、PF-并延长与a1lr
椭圆C分别交于点A、B两点,已知AAPF,的周长为8,△斥卩尸2面积的最大值为
(1)求椭圆C的方程:
2.已知椭圆C:
3卫+4b=12.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设A,B是四条直线x=±a,y=±l)所围成的两个顶点,p是椭圆C上的任意一点,若
OP=mOA+nOB»求证:
动点。
(〃山)在立圆上运动.
4.已知抛物线E:
y2=2px经过点P(4,4),过点Q(0,2)作直线/交E于A,B两点,PA.阳分别
4
交直线x=—一于M,N两点.
3
(1)求E的方程和焦点坐标;
(A\
(2)设D-亍0,求证:
|DM|・|QN|为建值.
5.已知抛物线C:
r=2px(p>0)上一点到焦点F的距离『鬥=2无.
(I)求抛物线c的方程:
6.已知椭圆C:
・+g=l(a>b>0)的左右顶点分别为外州,左右焦点为分别为许”,焦距为2,离心率为丄.
2
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若P为椭圆上一动点,直线A过点人且与*轴垂直,M为直线血P与厶的交点,N为直线人戶与
宜线M佗的交点,求证:
点N在一个泄圆上.
7.已知椭圆C:
罕+*=l(d>b>0)的离心率
(1)求椭圆C的标准方程;
8.已知椭圆C:
=+・=1的右焦点为(10),且经过点A(0J)・
crb1
(I)求椭圆c的方程;
22
9.椭圆C:
二+二=1(a>b>0)的左.右焦点分别为fM在椭圆上,AM斤几的周长为2腐+4,
trlr
面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程:
(2)直线y=kx(«>0)与椭圆C交于AB,连接AF2,刃;并延长交椭圆C于D、E,连接DE,探
索AB与DE的斜率之比是否为立值并说明理由.
10.已知直线/:
x=-2,点F(2,0),M是直线/上的动点,过点M作直线「丄线段A/F的垂直平分线交I’于点P,记点P运动的轨迹为E・
(1)求E的方程:
(2)已知且点D满足AF=2FD^经过£>的直线交E于5C两点,且D为BC的中点,证明:
IAFI+IBFI+ICFI为左值.
H.已知抛物线C;『2=2四过点4(1,1).
(1)求抛物线c的方程:
(2)过点卩(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为仏,k2,求证:
kck2为定值.
22
12•设椭圆c:
二+==l(G〉b>0)的左.右焦点分别为甘2,左项点为4上顶点为乩已知
a~b~
\AB\=^~\F}F,2\'
(1)求椭圆的离心率:
(2)设P为椭圆C上在第一象限内一点,射线P0与椭圆C的另一个公共点为0,满足QP=mAB,直线
BQ交x轴于点,的而积为2-72-
⑺求椭圆C的方程.
⑺)过点作不与V轴垂直的直线/交椭圆C于(异于点A)两点,试判断ZM4N的大小是否为泄值,并说明理由.
4
13.在平而直角坐标系xOy中,曲线C上的点S(x,y)到点M(、/WO)的距离与它到直线x==~f=的距离之
比为逅,圆o的方程为'+2=4,曲线c与*轴的正半轴的交点为A,过原点O且异于坐标轴的直线
2
与曲线C交于B,C两点,直线AB与圆0的另一交点为P,直线PD与圆0的另一交点为Q,其中》[一£,°
设直线AB,AC的斜率分别为/,心:
(1)求曲线C的方程,并证明S(X,y)到点M的距离+
(2)求《也2的值;
14.已知椭圆C:
二■+二=1(“">0)的左、右焦点分别为九F2,离心率为】,A为椭圆C上一点,且
a1b~2
3
丄FF,且IAF2I=-.
2
(1)求椭圆C的方程;
15.已知点M(、/10),戸是圆N:
(x+JT)2+〉,2=16上的一个动点,N为圆心,线段的垂直平分线
与直线PN的交点为Q.
(1)求点0的轨迹C的方程;
(2)设C与y轴的正半轴交于点D,直线l-.y=kx+m与C交于A.3两点(/不经过£>点),且4D丄BZX
证明:
直线/经过左点,并写出该上点的坐标.
16.已知动点P到泄直线/:
x=Y的距离比到泄点F(2,0)的距离大2.
(1)求动点P的轨迹C的方程:
(2)在x轴正半轴上,是否存在某个确左的点M,过该点的动直线/与曲线C交于A,3两点,使得
11
为泄值.如果存在,求岀点m坐标:
如果不存在,请说明理由•
IAmIIBMF
17.已知椭圆4+X=l(a>b>0)的焦距为2,离心率为迟,右顶点为A.
a2b22
(I)求该椭圆的方程:
(II)过点迈)作直线P0交椭圆于两个不同点只0求证:
直线AP.A0的斜率之和为泄值.
18.已知抛物线E:
x2=2/?
y(p>0),直线y=kx+2与E交于A.B两点,且OA-OB=2^其中0为原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)点Q坐标为(0,-2),记直线CA.仿的斜率分别为人,证明:
好+财一2疋为泄值.
(1)求椭圆C的方程:
(2)若点P(心0)为椭圆C的长轴上一动点,过P且斜率为[的直线/交椭圆C于久B两点,求证IP
2
刖+|阳2为左值.
22
20.已知椭圆r:
L+—=l(G>b>0)的左、右顶点分别为UD,且过点(V2J),P是椭圆上异于C.
tr/r
D的任意一点,直线PC,PD的斜率之积为-]・
2
(1)求椭圆r的方程:
(2)0为坐标原点,设直线CP交泄直线X=于点M,当加为何值时,亦•而为左值.
21・已知抛物线C:
x2=2py(p>0)经过点P(2,l),过点Q(l,0)的直线/与抛物线C有两个不同的交点
且直线E4交x轴于点直线阳交犬轴于点N.
(1)求直线/的斜率的取值范朗:
(2)设O为原点,QM=AQO,QN=jliQO^求证-~+~为定值.
22.已知椭圆£.+22=1(«>^>0)的离心率e=—,且椭圆过点(、/11).aly2
(1)求椭圆C的标准方程;
23-已知椭圆c各卜|(小>。
)的上顶点沁左焦点杯离心率呼,直线盼圆x2+y2=亍相切.
24•如图,已知椭圆C:
—+y2=m左、右顶点为九人,上.下顶点为3”B-记四边形4&人艮
4
的内切圆为C-
(1)求圆C?
的标准方程;
(2)已知圆C?
的一条不与坐标轴平行的切线/交椭圆q于尸,"两点.
(i)求证:
OP丄OM;
(ii)试探究丄+—^是否为左值.
OP-OM2
9
25.如图,已知椭圆叫+心的右焦点为尸,点毗分别是椭圆。
的上、下顶点,点P是直线心一2
上的一个动点(与y轴交点除外),直线pc交椭圆于另一点m・
(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时,求△F3M的而积:
(2)记直线BM.BP的斜率分别为kg求证:
3他为定值.
26.已知点P是椭圆C上任一点,点P到宜线人:
x=-2的距离为心,到点F(-hO)的距离为心,且
(2)当人为椭圆与y轴正半轴的交点时,求直线/的方程:
27.已知椭圆r:
W+g=l(a>b>0)的左右焦点分别为斥,F2,点7'(-2,馆)在椭圆厂上,且
阿+|昭|=8.
(1)求椭圆的方程;
(2)点P,0在椭圆r上,O为坐标原点,且宜线0P,52的斜率之积为土,求证:
|O/f+|OQf为泄
值:
28.已知椭圆C:
4+r=1(a>l)的禽心率为逅•
矿3
(I)求椭圆C的方程:
(II)设直线/过点M(1,O)且与椭圆C相交于AB两点•过点人作直线x=3的垂线,垂足为D•证明直线
BD过x轴上的泄点.
222
29.已知椭圆C:
二+・=l(G〉b>0)的右焦点为F(1,O),且点P(1丄)在椭圆C上.crlr2
(1)求椭圆C的标准方程:
(2)当点人(忑刃在椭圆C的图像上运动时,点Q
33
在曲线S上运动,求曲线S的轨迹方程,并
指出该曲线是什么图形:
22
30.给立椭圆C:
^+^=\(a>b>0),称圆心在原点O,半径为册+严的圆是椭圆C的"准圆二若椭
crlr
圆c的一个焦点为F(Vl0),其短轴上的一个端点到F的距离为
(D求椭圆C的方程和其“准圆'方程:
(II)点户是椭圆c的“准圆”上的一个动点,过点P作直线人」2,使得A,‘2与椭圆C都只有一个交点,且厶丿2
分別交其“准圆“于点M,N.
(1)当P为“准圆''与)'轴正半轴的交点时,求厶,厶的方程;
(2)求证:
LMNI为立值.
31.已知椭圆了的中心在坐标原点,且经过点|1,耳,它的一个焦点与抛物线E.y1=4x的焦点重合.
(1)求椭圆了的方程:
(2)斜率为R的直线过点(1,0),且与抛物线E交于两点,设点P(—l,k),△PAB的面积为4血,
求R的值:
(3)若直线I过点M(0,加)(加H0),且与椭圆了交于C,D两点,点C关于〉'轴的对称点为0,直线0D
的纵截距为",证明:
加为泄值.
32.设O为坐标原点,椭圆C:
二+二=l(d>b>0)的焦距为4石,离心率为举,直线
l:
y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P(O・1),=求证:
直线/过泄点,并求岀宦点的坐标.
22
在椭圆E上,▲分别为E的左右
33•椭圆£:
^+^-=1(«>/7>0)的上顶点为小点Bcrb・
焦点,ZF}AF2=12O\
(1)求椭圆E的方程:
34.已知椭圆二+二=1(〃>b>0)的左、右焦点分别为心斤,短轴两个端点为A5且四边形F\ARB是a~b~
边长为2的正方形.
(I)求椭圆的方程:
(II)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MD丄CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:
而•丽为宦值.
35.已知椭圆C:
^+^=\(a>b>0)的左、右焦点分别为幵斤,点M(0,2)是椭圆的一个顶点,△/lr
%皿是等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的方程:
(2)设点F是椭圆C上一动点,求线段PAf的中点W的轨迹方程;
(3)过点M分别作直线MV,交椭圆于■乳3两点,设两直线的斜率分别为禺,且«+怠=8,探究:
直线是否过泄点,并说明理由.