141用空间向量研究直线平面的位置关系.docx
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141用空间向量研究直线平面的位置关系
1.4空间向量的应用
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
基础过关练
题组一空间中点、直线和平面的向量表示
L己知0(0,0,0),N(5,」2),A(4,2,-1),若而二乔,则点B的坐标为(
C・(l,・3,3)D.(-9,-l,-l)2.(2020北京一O—中学高二上期中)若A(-l,0,2),B(l,4,10)在直线1上,则直线I的一
个方向向量为(
C.(2,l,4)D.(4,2,l)3•己知A,B,C三点不共线,对于平而ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与
点A,B,C—定共而的是(
*1*1*1*
B・OM=4O4+;OB匸0C
236
**]*1*
C・0M=04#0B+f0C
23
D•而=2UX而祝
4•已知空间三点坐标分别为A(l,l,l),B(0,3,0),C(-2,-l,4),点P(-3,x,3)在平面ABC内,
则实数X的值为(
A.1B.-2C.0D.-1
题组二平面的法向量
5•已知向量乔n2,4,x),平面a的一个法向量n=(l,y3),若AB丄(1,则(
A.x=6,y=2B・X=2,y=6
C・3x+4y+2=0D・4x+3y+2=06•若已知两个向勒lBni23MCn321),则平面ABC的一个法向量为(
7•已知直线1的一个方向向量d=(2,3,5),平面a的一个法向量u=(-4,m,n),若1丄a侧m+n=
题组三空间中直线、平面的平行问题&若直线1的方向向量为g平面a的法向量为n,则可能使l||a的是(
A.m=(lA0),n=(-2A0)
C.111=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D・m=(1r1,3),n=(031)9.已知两个不重合的平面a与平而ABC,若平而a的法向暈为ni=(2,-3,l),向量45=(1,
A.平而all平面ABC
B.平而a丄平而ABC
C・平而a、平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能10.己知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线h,3的方向向量,若11也则(
A・x=6,y=15B・x=3,y=15
C.x=|,y=yD.x=6,y=y
题组四空间中直线、平面的垂直问题
H.设直线h」2的方向向量分别为a=(U2,-2)X-2,3,m),若I』©则实数m等于(
A.1B.2C-3D.412•设u=(22,t)w(6,45)分别是平面卯的法向鼠若a邛,则实数t的值是(
A.3B.4C.5D.613.(2019吉林长山二中高二期中)已知直线1与平而a垂直,直线1的一个方向向量
为u=(lr3,z),向量v=(3<2J)与平ffla平行,则实数Z等于(
A.3B.6C.-9D.914•己知点A(0,l,0),B(・lAJ),C(2」,l),P(x,0,z),x,zwR,若PA丄平面ABC,则点P的坐标为(
A・(lg)B・(1O2)
C・(・1O2)D・(2OJ)15.(2020山东青岛高三上联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩
形,aAPB是以zAPB为直角的等腰直角三角形,平面PAB丄平而ABCD.
证明:
平面PAD丄平面PBC・
能力提升练
题组一用空间向量研究平行问题
1.(*)如图所示,在正方体AiBiCiDi-ABCD中,棱长为a,M,N分别为ABAC上的点,AiM=AN=^,KiJMN与平面BB1C1C的位置关系是()
A.斜交
B.平行
C・垂直
D.MN在平面BBjCiC内
2,(2020山东聊城高二期中,*)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂
1;,AB=V2,AF=1,M在EF上,且AM||平而BDE则点M的坐标为(
111逅一畀竝〒返F返畀迈〒空"fvz(\
RcD
3.(2020河南郑州第一中学高三联考,*)在长方体ABCD-AiB,C,Di
中,AD=DDi=hAB=73,E,F,G分别是棱AB,BC,CC,的中点,P是底而ABCD(不含边界)内的动点,若直线D]P与平面EFG平行,求^BBiP的而积的最小值.
D/
E
4.(2020河南八市重点高中联盟高三联考,★:
)如图,在四棱锥P-ABCD中,平而
PAD丄平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA丄PD,AD丄CD,zBAD=60o,M,N分别为AD,PA
的中点,证明:
平而BMNII平面PCD.
P
f)
5.(2020黑龙江佳木斯第一中学高二上期中,*)如图,在多面体ABCDEF中,平面
ADEF丄平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且
AD||BC,aABD是边长为1的等边三角形,BC=3.问:
线段BD上是否存在点N(不包括端点),使得直线CE1I平面AFN?
若存在,求出器的值喏不存在,请说明理由.神^
BD
题组二用空间向量研究垂直问题
6.(2020天津一中高二月考,*)如图,已知正方体ABCD-A,BiC,D,的棱长为4,P是
AA1的中点,点M在侧而AAiBiB(含边界)内,若DiMlCP,则aBCM面积的最小值为
<1/
I).
A.8B.4C.8V2D.寥
7.(2019河北辛集中学高二期末*)如图,在四棱锥P-ABCD中,底而ABCD是平行
四边形,且AB=1,BC=2,^ABC=60^PA±平面ABCDAE丄PC于E.给岀下列四个结论:
①AB丄AC;②AB丄平而PAC;③PC丄平面ABE;④PC丄BE,其中正确的个数是(
D
A.1B.2C-3D.48・(多选)(*)已知点P是平行四边形ABCD所在的平而外一点,若乔=(2,丄.
4MD=(420)/P=(・12・l),则下列结论正确的有(
A.AP丄AB
BAPxAD
C.丽是平而ABCD的一个法向量
D丽莎
9・(*)如图,在直三棱柱ABC-A,BiC,中,zBAC=90^AB=:
AC=a,AA,=b,点EF分别在BBuCCi上,且BE=iBBi,CiF=icCh设九」•若平面AEF丄平而A|EF,求Z的值•
33a
C,
C
10・(2020北京~学校高二上期中,*)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA±底面ABCD,且PA=ADF是棱PD的中点,E是棱CD的中点.
⑴证明:
EFII平面PAC;
⑵证明:
AF丄PC・
H.(*)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA丄平面ABCD,点E
在线段PC上(不含端点).
(1)是否存在点E,使PC丄平面BDE?
(2)是否存在点E,使平面PCD丄平面AED?
錚度貓
i)
答案全解全析
基础过关练
1.B因为而滴,丽=丽-02,所以^=O/V+O4=(5,-1,2)+(4,2,-1)=(9,1,1).故选B.
2・A由已知得4B=:
(1A10)(102)=(2,4,8)=2(124),故选项A中的向星与AB共线,
故选A.
3.B由空间平而ABC的向量表示式知,空间一点M位于平面ABC内的充要条件
是存在实数xy使0M=04+x力B+y4C,可以变形为0M=(l・x・y)04+x0B+y0C,注意到丽,而0?
的系数和为1,满足这个条件的只有选项B,故选B.
4・A丽=(「2,1)3?
=<2-4,4),^=(・3,x・3,3),可设丽=y^+z就(y,zwR),则
y・2z=-3,(Z=1,・2y・4z=x-3,=>jy=・1,故选A.
y+4z=3L=1.
5.A因为AB丄a,所以乔||n,由红■冷得x=6,y=2,3x+4y+2=28,4x+3y+2=32・故选A.
1y3
6.A设平而ABC的法向量n=(x,y,z),由乔丄nN?
丄n,得:
所以
瞋2,令x7解得農7
所以2(-1,2,-1),故选A.
7.答案-16
解析Vl±a,/.d||u,又d=(2,3,5),u=(-4,m,n),得m=-6,n=-10,/.m+n=-16.
235
&D
因为l||ot,所以m丄n,即nrzO,满足条件的只有选项D,故选D,
9・A
因为nr45=0,nr4C=0,ABnAC=A,所以m也是平而ABC的法向量,又平面a
与平而ABC不重合,所以平ffla与平面ABC平行,故选A.
TPA丄平而ABC,
••间乔形况=0,・••胃a
解得{;:
f
二点P的坐标为(-1,0,2).故选C.
15证明取AB的中点O,CD的中点M,连接OM,则0M丄AB,又平面PAB丄平而ABCD,平面PABn平面ABCD=AB,/.OM丄平面PAB,又PA=PB,/.PO±AB,/.以点O为原点建立空间直角坐标系,如图.
设AP=Qa,AD=b,则A(O,-a,O),B(O,a,O),P(a,O,O),C(O,a,b),D(O,-a,b),.:
AD=(O,O,b),AP=(a,a,O),BC=(O,O,b),BP=(a,-a,O).
设nF(X],yi,zi)是平而PAD的法向量,出二凶也也)是平面PBC的法向暈:
,则由叶辰Om丽=0得隐;爲=0令xR,则{:
Z右即咕(1,-1,0),
同毗爲二0令E可得借金即血=(1,1,0).
'.'nrn2=l-l=0,
二平而PAD丄平面PBC.
能力提升练
1-B建立如图所示的空间直角坐标系,由于A,M=AN=^,
3所以阀亿£9取(¥罟总),所以顾=(冷,0罟).
又C,Di±平面BBiCiC,
所以丽l(O,a,O)为平面BBiCiC的一个法向量.
因为硕石万#0,所以硕丄石瓦,
又MNC平而BB1C1C,
所以MNII平面BB,C,C.
故选B.
2.C连接OE.设点M的坐标为(x,y,l),
因为ACnBD=O,
所以0(乎严,0),
又E(O,O,1),A(a/2,Ao),
所W^=(-y,-y,l)jM=(x-V2,y-V2,l),
因为AM||平而BDE所以西II丽,
fx-Vz=-y,(X=Y,
所以伍詔i
(y・V2=•丁[y=->
所以M点的坐标为(¥,¥」)•
故选C.
3•解析如图,建立空间直角坐标系,则
A(l,0,0),B(l,V5,0),C(0,V5,0)Qi(0,0,l),Ci(0,V5,l),・・・Ea¥,0),FGV5,0),G(0^》,.•.丽=(土,¥,0),就=(-利).
设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则n•丽=0,n7g=0,代入坐标计算得
・?
x+yy=0,
令x=\/5,则y=hz=V3,/.n=(y/3,l,y/3).
设P(m,s,O)(Ovmv1,0<3<\/5),贝忆1P=(m,s,-1),
BP=(m-l,s-V3,0),
VDiPII平面EFG,
/.n丄qP,/.n-DiP=V3ni+s-V3=0,/.s=V3^-V3ni,
易知BBi=l,
虽pWbBixBP^xIxJ(m-l)2+(s-V3)2=i\/4m2-2m+1=^”仙-扩+j当mW时,Sa££iP取得最小值乎.
""——
:
y
丄——
<卜:
R
4.证明连接BD,PM,•/AB=AD,zBAD=60。
,
・•・△ABD是等边三角形,・•・BM±AD,又PA=PD,M为AD的中点,・•・PM1AD,又•・•平而PAD丄平面ABCD,平面PADn平而ABCD=AD,/.PM±¥jfilABCD,・•・以M为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设PA=PD=2屈a,CD=b,则B(2V5aA0),C(b2a,0)Q(0,2a,0),P(0,0,2a),M(0Q0),N(0,・a,a),/.顾=:
(0,・a,a)Jt?
^=(2V5aQ0)J?
=(b2a,・2a),^=((X2a,・2a),
设咕(X],yi,zJ是平而BMN的法向量,n2=(X2,y2,Z2)是平而PCD的法向ft,则由M/V-ni=0,M5-ni=0,
-avi+azi=0.,
2辰X]=0,之yiT则xEqT,
/.ni=(0,l,l)是平而BMN的一个法向量,同理佔20,而□=(),得鵲;2警莖"令y2=l,可得X2=0,Z2=l,
/.n2=(0,l,l)是平而PCD的一个法向量.
Tn尸112,「•平而BMNII平面PCD.
5.解析存在.理由如下:
T平而ADEF1平面ABCD,四边形ADEF为正方形,/.AF±平而ABCD.过点D作DG±BC于点G・
H/G
如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),bG¥,0),C(・
貯,0),0(0,0,0)疋(0,0,1),巩1,0,1),・・・乔=(0,0,1),据€・¥,1)丽=(・賢,0)而=(・[阿
设九°VX1,则丽=舔=(•扣7入°)侧刁匚乔+丽=(弓势,7■臥
设n=(x,y,z)是平而AFN的法向量,则$竺=①
S・AN=0,
(Z=0,
叫(十汕+(空彷"
.(Z=0,
•/孔1•入)y=(1+入)X,
X二"贝gy二]2'••n=(血罟e)是平而afn的一个法向量.rtln-C?
=——x—=0,W九丄,符合题意,即存在点N,使得直线CE||平面AFN,此时
221-A3
BN2
BD3*
方法归纳利用向量法证明线面平行的一般步骤是先求直线的方向向量,然后求平而的法向量,证明直线的方向向星与平面的法向星垂直.
6.D以D为原点,DA所在直线为X轴QC所在直线为y轴,DD|所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,
C,
则P(4,0,2),C(0,4,0),D(0,0,4),B(4,4,0),
设M(4,a,b)(a,bG[0,4])侧丽=(4玄1>4),丽=(4,-4,2),
VDiMxCP,
・••丽•乔=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,
/.M(4,a,2a-4),
/.BMf/(4・4)2+04)2+(23・4)2
曲卄,
当a』时,IBMI取最小值蚁
55
易知BC=4,
AS.bcm的最小值为婕x4x±二座.
525
故选D.
7.D由题意得,AC~AB2+BC2-2AB・BC・cos6O°,AAC=Jl+4・2X1X2X扌=VJ,而
AC^+AB-=BC^AB丄AC,®对;
又PA±平面ABCD,故以A为原点建立空间直角坐标系,如图,
设AP=a(a>0),则A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,V5,0),P(0,0,a),
・•・丽=(1,0,O),^=(O,A-a).
T丽•无=0,二屈应,・・・AB丄PC,又ACnPC=C,AAB丄平面PAC,②对;•/AB丄PC,AE丄PC,ABnAE=A,/.PC丄平面ABE,③对;
由③及BEU平面ABE得PC丄BE④对.
故选D.
8.ABCrAP'AB=-2-2+4=0,.'.APdJiS,AAP±AB,A对;•・•乔乔=-4+4+0=0,・••帀昴,・・・AP丄AD,B对;
•/AP丄AB,AP丄AD,ABnAD=A,/.AP丄平而ABCD,
・••乔是平而ABCD的一个法向量,C对;
_,(2=■入
丽=而-屈二(2,3,4),设丽=倔,即3=2九方程组无解Q错.
.4=•入
故选ABC.
9.解析在直三棱柱ABC-A,BiCi中,AA]丄平而ABC,
因为AB,ACu平而ABC,
所以AAi±AB,AAi±AC,
又因为zBACTO。
所以AB,AC,AAi两两垂直,
分别以AB,AC,AA,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则E(Q,0,》,F(Oa¥),A(0,0,0)A(0,0,b),
・••旋=(亿0,1乔=(0,亿¥),益=(仏0,・¥)而二@仏)
设平而AEF的法向量为n,=(x,y,z),
则叶忑=0,11「乔=0,
即ax+^=O,ay+^=O.
33
令z=l侧x=--,y=--.
3a3a
所以咕(・二・竺,1>(£二1丿・
\3a3a/33
同理心卜&?
1)是平而A|EF的1个法向量.
因为平而AEF丄平而A1EF,所以nrn2=0,B[J----+l=0>得九刍负值舍去).
992
所以当平而AEF丄平面A]EF时,后?
.
2
10.证明
(1)设PA=2,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直
角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(l,2,0),F(0,l,l),所以
丽=(0,0,2)亦(2,2,0),设平面PAC的法向量为"(xyz),则様談=o令xT则y=-l,z=O,SP11=(1,-1,0),又丽=(-1,」1),丽力=0,所以EFII平面PAC.
(2)由
(1)得乔=(0,1,1),死=(2,2,-2),因为乔•死=0,所以乔丄死,所以AF丄PC.
11.解析T底而ABCD为正方形,・•・AB丄AD,又PA丄平而ABCD,/.以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=a,AP二c,a>0,c>0,则A(0O0),B(aQ0),C(aa0)Q(0,a,0),P(0Oc)・
⑴设西=沅,0<入<1而gaO)瓦=(aa・c)■丽=(a,O,・c),西=西■丽=XPC■丽=Uaa-c)-(a,O,-c)=@a-a,na,c-nc),设n=(x,y,z)是平而BDE的法向量,
•ax+ay=0,
(Aa-d)x+Aay+(c-Ac)z=0,
(t-2aA
令x=l,贝ijy=l,z=—,
c-Ac
c-Ac
是平而BDE的一个法向量,若PC丄平而BDE,则无||n,得解得2券
c-Ac即存在点E满足PE=^PC,使得PC丄平而BDE.
(2)无=(a,a,-c),万5=(a,0,0),丙=(0,0,-c),设nj=(x,,y,,z,)是平面PCD的法向量,则卜匹=ax"松%"令yz则
(©•DC=axi=0,
/.ni=(0,c,a)是平面PCD的一个法向星,设呢=g^,0<|i Ui-AD=ay2=0,令X2=c,则y2=0,Z2=j^,An2=(-c,0,^)是平而AED的一个法向量.T平而AED丄平而PCD,・・・叶11尸0,即空=0,此方程无解, 1•“ ・••不存在点E使ni±n2, ・••不存在点E 使平而PCD丄平面AED. 解题反思立体几何中的存在性问题的思维层次性较高,分析问题时应特别注意,木题考查线而垂直、而而垂直的逆用,由题意设出点的坐标,求出平面的法向量是解题的关键.
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