沪科版八年级数学下册第十九章四边形专题训练Word格式.docx
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4.如图5-ZT-5,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=30°
,则∠E=________°
.
图5-ZT-5
6.已知:
如图5-ZT-6,在正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE分别交DC,BD于点F,G,H为EF的中点.
(1)∠DAG=∠DCG;
(2)GC⊥CH.
图5-ZT-6
类型之三 判断或证明四边形的形状
7.在平面中,下列命题为真命题的是( )
A.四个角都相等的四边形是矩形
B.对角线垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.四边相等的四边形是正方形
8.如图5-ZT-7,在△ABC中,AC=BC,D,E分别是边AB,AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°
得△CFE,则四边形ADCF一定是( )
图5-ZT-7
A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形
9.如图5-ZT-8,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.
(1)求证:
△BOE≌△DOF;
(2)若OD=
AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形?
请证明你的结论.
图5-ZT-8
类型之四 有关特殊平行四边形的开放探究题
10.如图5-ZT-9,矩形ABCD的面积为20cm2,对角线交于点O;
以AB,AO为邻边作▱AOC1B,对角线交于点O1;
以AB,AO1为邻边作▱AO1C2B;
…,依此类推,则▱AO4C5B的面积为( )
图5-ZT-9
A.
cm2B.
cm2C.
cm2D.
cm2
11.如图5-ZT-10,在矩形ABCD中,AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1,第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2,…,第n次平移将矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向向右平移5个单位,得到矩形AnBnCnDn(n>2).
图5-ZT-10
(1)求AB1和AB2的长;
(2)若ABn的长为56,求n的值.
专题训练(三) 特殊平行四边形中的折叠
类型之一 把一个顶点折叠到一条边上
1.如图6-ZT-1所示,在矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC上的点F处.若AE=5,BF=3,求CD的长.
图6-ZT-1
2.如图6-ZT-2,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.求证:
以A,G,E,F四点为顶点的四边形是菱形.
图6-ZT-2
类型之二 把一条边折叠到对角线上
3.如图6-ZT-3所示,在矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使边AB与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
图6-ZT-3
A.3B.4C.5D.6
4.如图6-ZT-4,在正方形纸片ABCD中,对角线AC,BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后折痕DE分别交AB,AC于点E,G,连接GF,EF,给出下列结论:
①∠ADG=22.5°
;
②四边形AEFG是菱形;
③S△AGD=S△OGD;
④BE=2OG.其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填写在横线上).
图6-ZT-4
5.准备一张矩形纸片,按图6-ZT-5所示操作:
将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的点M处.将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的点N处.
四边形BFDE是平行四边形;
(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.
图6-ZT-5
类型之三 把一个顶点折叠到另一个顶点上
5.如图6-ZT-6所示,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF.若AB=1,BC=2,则△ABE和△BC′F的周长之和为( )
图6-ZT-6
A.3B.4C.6D.8
6.把一张矩形纸片ABCD按图6-ZT-7所示方式折叠,使顶点B和D重合,折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积为________cm2.
图6-ZT-7
8.如图6-ZT-8所示,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,求折痕EF的长.
图6-ZT-8
9.如图6-ZT-9所示,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点C与点A重合,折痕交AD于点E,交BC于点F,连接CE.
四边形AFCE为菱形;
(2)设AE=a,ED=b,DC=c.请写出a,b,c三者之间的数量关系,并说明理由.
图6-ZT-9
类型之四 沿一条直线折叠
10.如图6-ZT-10,已知正方形ABCD的对角线长为2
,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为( )
图6-ZT-10
A.8
B.4
C.8D.6
11.如图6-ZT-11,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是( )
图6-ZT-11
A.2
-2B.6C.2
-2D.4
12.如图6-ZT-12,将矩形纸片ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EH=12cm,EF=16cm,则边AD的长是________.
图6-ZT-12
13.如图6-ZT-13,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作FG∥CD,交AE于点G,连接DG.
四边形DEFG为菱形;
(2)若CD=8,CF=4,求
的值.
图6-ZT-13
14.如图6-ZT-14,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,沿EC折叠矩形ABCD,使点B落在点P处,折痕为EC,连接AP并延长AP交CD于点F,连接BP.
四边形AECF为平行四边形;
(2)若△AEP是等边三角形,求证:
△APB≌△EPC;
(3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求△CPF的面积.
图6-ZT-14
专题一
1.19cm [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.
由题意得(OA+OB+AB)-(OB+OC+BC)=8cm,
∴AB-BC=8cm.
又∵AB+BC=30cm,
∴AB=19cm,BC=11cm.
故答案为19cm.
2.
[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=8cm,OA=OC=
AC.
∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°
,
∴AC=
=
=6(cm),
∴OC=3cm,
∴OB=
(cm).
3.证明:
连接AF,CE,如图.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵BE=DF,
∴AB+BE=CD+DF,即AE=CF.
∵AB∥CD,∴AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴OE=OF.
4.解:
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°
,∠AEB=∠DAE.
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE.
∵AE=BE,∴△ABE是等边三角形,
∴∠B=60°
,∴∠BCD=120°
∴▱ABCD各内角的度数分别为∠B=∠D=60°
,∠BAD=∠C=120°
5.证明:
∴AB∥CD.
∵F为DC的延长线上的一点,
∴AB∥DF,
∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA.
∵E为BC的中点,∴BE=CE.
在△BAE和△CFE中,∵
∴△BAE≌△CFE(AAS),∴AB=FC.
又∵AB∥FC,
∴四边形ABFC是平行四边形,
∴∠BAC=∠BFC.
6.证明:
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADF=∠CBE.
∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD,
即DF=BE,
∴△ADF≌△CBE,
∴∠AFD=∠CEB,∴AF∥CE.
(本题还可以连接AC,FC,AE,证明四边形AFCE的对角线互相平分,从而证明四边形AFCE是平行四边形,问题得证)
7.证明:
如图,连接EG,FH.
∴OA=OC,AB∥CD,
∴∠EAO=∠HCO.
又∵∠AOE=∠COH,
∴△AOE≌△COH(ASA),
∴OE=OH.
同理OG=OF,
∴四边形EFHG是平行四边形,
∴EF∥GH.
专题二
1.C [解析]∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC.
又∵∠B=60°
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=4,
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×
4=16.
故选C.
2.8 [解析]∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形CODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=
AC=2,OD=
BD,AC=BD,
∴OC=OD=2,
∴四边形CODE是菱形,
∴DE=CE=OC=OD=2,
∴四边形CODE的周长为2×
4=8.
(1)∵AE∥CD,CE∥AB,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵∠ACB=90°
,D为AB的中点,
∴CD=
AB=AD,
∴四边形ADCE为菱形.
(2)∵四边形ADCE为菱形,∴AC⊥DE.
,∴AC⊥BC,∴DE∥BC.
又∵CE∥AB,
∴四边形BCED是平行四边形,
∴DE=BC.
5.B [解析]连接PA,如图所示.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ADP=∠CDP=
∠ADC=36°
,BD所在的直线是菱形的对称轴,
∴PA=PC.
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P,
∴PA=PD,
∴PD=PC,
∴∠PCD=∠CDP=36°
∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°
5.15 [解析]如图,连接AC.
∴AD∥BE,AC=BD,且∠CAD=∠ADB=30°
∴∠E=∠DAE.
又∵BD=CE,∴CE=CA,
∴∠E=∠CAE.
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE,
∴∠E+∠E=30°
,即∠E=15°
(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=CD,∠ADB=∠CDB=45°
又∵DG=DG,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCG.
(2)∵四边形ABCD为正方形,∴AD∥BE,
∴∠DAG=∠E.
又∵∠DAG=∠DCG,
∴∠E=∠DCG.
∵H为Rt△CEF的斜边EF的中点,
∴CH=HE=
EF,
∴∠HCE=∠E,
∴∠DCG=∠HCE.
又∵∠FCH+∠HCE=90°
∴∠FCH+∠DCG=90°
即∠GCH=90°
,∴GC⊥CH.
7.A [解析]A项,根据四边形的内角和得出,四个角都相等即四个角都是直角,故此四边形是矩形,故此选项正确.
B项,对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,故此选项错误.
C项,对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故此选项错误.
D项,四边相等的四边形是菱形,故此选项错误.
故选A.
8.A [解析]∵△ADE绕点E旋转180°
得到△CFE,
∴AE=CE,DE=EF,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC=BC,D是边AB的中点,
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCF是矩形.
9.解:
(1)证明:
∵O是AC的中点,
∴OA=OC.
又∵AE=CF,∴OE=OF.
∵DF∥BE,∴∠OEB=∠OFD.
∵在△BOE和△DOF中,∵
∴△BOE≌△DOF(ASA).
(2)四边形ABCD是矩形.
证明:
∵△BOE≌△DOF,
∴OB=OD.
又∵OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵OD=
AC,OD=
BD,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
10.B [解析]设矩形ABCD的面积为S.
∵O为矩形ABCD的对角线的交点,
∴▱AOC1B的边AB上的高等于BC的
∴▱AOC1B的面积=
S.
∵▱AOC1B的对角线交于点O1,
∴▱AO1C2B的边AB上的高等于▱AOC1B的边AB上的高的
∴▱AO1C2B的面积=
×
S=
…
依此类推,▱AO4C5B的面积=
(cm2).
故选B.
11.解:
(1)∵AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1,
第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2,
∴AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1,
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11,
AB2=5+5+6=16.
(2)由AB1=2×
5+1=11,AB2=3×
5+1=16,
可知ABn=(n+1)×
5+1=56,解得n=10.
专题三
1.解:
根据折叠的性质,得EF=AE=5.
根据矩形的性质,得∠B=90°
在Rt△BEF中,∠B=90°
,EF=5,BF=3,
根据勾股定理,得
BE=
=4,
∴CD=AB=AE+BE=5+4=9.
2.证明:
连接AF,由折叠的性质可得AG=EG,∠AGF=∠EGF.
∵DC∥AB,
∴∠EFG=∠AGF,
∴∠EFG=∠EGF,
∴EF=EG.
又∵AG=EG,∴EF=AG,
∴四边形AGEF是平行四边形.
又∵AG=EG,∴▱AGEF是菱形,
即以A,G,E,F四点为顶点的四边形是菱形.
3.D
4.①②④ [解析]①由四边形ABCD是正方形,可得∠GAD=∠ADO=45°
,又由折叠的性质,可求得∠ADG=22.5°
,故结论①正确.
②由折叠的性质可知∠EFD=∠EAD=90°
,∠AGE=∠FGE,AG=GF,又∵AC⊥BD,∴EF∥AC,∴∠FEG=∠AGE,∴∠FEG=∠FGE,∴GF=EF,∴AG=EF且AG∥EF,∴四边形AEFG是平行四边形.
又∵AG=GF,∴四边形AEFG是菱形,故结论②正确.
③由AG=GF>OG,可得△AGD的面积>△OGD的面积,故结论③错误.
④易得△EFB和△GOF都是等腰直角三角形,由勾股定理得BE=
EF=
GF,GF=
OG,∴BE=2OG,故结论④正确.
则正确结论的序号是①②④.
5.解:
∴∠A=∠C=90°
,AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
又由折叠的性质,知∠ABE=∠EBD,∠CDF=∠FDB,
∴∠EBD=∠FDB,∴EB∥DF.
又∵ED∥BF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
(2)∵四边形BFDE是菱形,
∴BE=ED,∠EBD=∠FBD=∠ABE.
∴∠ABC=90°
,∴∠ABE=30°
∵∠A=90°
,AB=2,
∴AE=
,BF=BE=2AE=
∴菱形BFDE的面积为
2=
6.C
7.
[解析]设ED=x,则根据折叠和矩形的性质,得
A′E=AE=5-x,A′D=AB=3.
根据勾股定理,得ED2=A′E2+A′D2,
即x2=(5-x)2+32,解得x=
∴S△DEF=
3=
8.解:
设BE=x,则CE=BC-BE=16-x.
∵沿EF翻折后点C与点A重合,
∴AE=CE=16-x.
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,
即82+x2=(16-x)2,解得x=6,
∴AE=16-6=10.
由翻折的性质,得∠AEF=∠CEF.
∵矩形ABCD的对边AD∥BC,
∴∠AFE=∠CEF,∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF=10.
过点E作EH⊥AD于点H,则四边形ABEH是矩形,
∴EH=AB=8,AH=BE=6,
∴FH=AF-AH=10-6=4.
在Rt△EFH中,EF=
=4
∴AD∥BC,∴∠AEF=∠CFE.
由折叠的性质,可得∠AFE=∠CFE,AF=CF,
AD′=CD,∠D′=∠D,D′E=DE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AF=AE,∴AF=CF=AE.
在△AD′E和△CDE中,∵
∴△AD′E≌△CDE(SAS),
∴AE=CE,
∴AF=CF=CE=AE,
∴四边形AFCE为菱形.
(2)a,b,c三者之间的数量关系式为a2=b2+c2.理由如下:
由
(1)知CE=AE.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°
∵AE=a,ED=b,DC=c,∴CE=AE=a.
在Rt△DCE中,CE2=DC2+ED2,
∴a,b,c三者之间的数量关系为a2=b2+c2.
10.C 11.A
12.20cm [解析]由折叠可知E,G分别是AB,DC的中点,
∴DG=BE.
∵∠DHG=
∠DHF=
∠BFH=∠BFE,∠B=∠D=90°
∴△DHG≌△BFE(AAS),
∴DH=BF,
∴AD=AH+DH=AH+BF=HF=
=20(cm).
13.解:
如图,由轴对称的性质得∠1=∠2,ED=EF,GD=GF.
∵FG∥CD,
∴∠1=∠3,则∠2=∠3,
∴EF=GF,
∴ED=EF=GD=GF,
∴四边形DEFG为菱形.
(2)设DE=x,由轴对称的性质得EF=DE=x,CE=8-x.
在Rt△EFC中,FC2+CE2=EF2,
即42+(8-x)2=x2,
解得x=5,∴CE=8-x=3,
∴
14.解:
在矩形ABCD中,AB∥DC.
∵E为AB的中点,∴AE=BE.
由翻折可知:
EC⊥BP,EP=BE=AE,
∴∠EAP=∠EPA,∠EPB=∠EBP.
在△ABP中,∠EAP+∠EPA+∠EPB+∠EBP=180°
∴∠EPA+∠EPB=∠APB=90°
∴EC∥AF,
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)证明:
∵△AEP是等边三角形,
∴AP=EP=AE,∠PAB=∠AEP=∠EPA=60°
∴∠PEC=∠BEC=60°
由折叠的性质可得∠EPC=∠EBC=90°
由
(1)知∠APB=90°
∴∠APB=∠EPC.
在△APB和△EPC中,∵
∴△APB≌△EPC(ASA).
(3)∵AB=6,BC=4,E是边AB的中点,
∴AE=BE=
AB=3.
在Rt△BEC中,EC=
=5.
∵四边形AECF为平行四边形,
∴AF=EC=5.
如图,设CE与BP交于点H.
∵BE·
BC=EC·
BH,
∴BH=
∴PH=BH=
∴BP=
在△BPA中,AP=
∴PF=
过点C作CG⊥AF交其延长线于点G,
∴CG=PH=
∴△CPF的面积S=
PF·
CG=
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