第21章一元二次方程.docx
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第21章一元二次方程.docx
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第21章一元二次方程
黄冈中学广州学校教学案
年级
九()
学科
数学
姓名
编号
1
课题
22.1一元二次方程
(1)
目标
1理解一元二次方程的概念;2.知道一元二次方程的一般形式;3.会把一个一元二次方程化为一般形式;4.会判断一元二次方程的项及系数.
重点难点
重点:
由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.
难点:
一元二次方程及其有关概念.
教、学材料
学习过程
一自主学习
1、只含有,并且,叫一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式是,其中二次项是,二次项系数是;一次项是,一次项系数是;常数项是.
二合作探究
【知识点1】一元二次方程的概念.
例1自学课本2页问题1、问题2,并完成下列各题:
问题1可列方程整理得
问题2可列方程整理得
【针对练习1】下列方程:
其中是一元二次方程的有:
(填序号)
【知识点2】一元二次方程的一般形式.
例2将方程2x(x-1)=3(x+5)-4.化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它们的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项.
解:
【针对练习2】将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)3x2-x=2;
(2)7x-3=2x2;
(3)(2x-1)-3x(x-2)=0
三综合练习
1(☆)1、判断下列方程是否是一元二次方程
(1)
()
(2)
()
(3)
()(4)
()
2(☆☆)将方程
化成一元二次方程的一般形式为
它的常数项为,二次项为,一次项系数为.
3(☆☆☆)要使关于x的方程:
是一元二次方程,则k=_______若该方程是一元一次方程,则k=.
四课堂检测(每小题20分,共100分)
1.关于x的方程(8m+17)x2+2mx+1=0是一元二次方程时,则m=
2.将(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式是.
3.有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形.如果假设剪后的正方形边长为x米,那么原来长方形长是______,宽是_____,根据题意得:
____.整理成一般形式
4.试写出一个一元二次方程,它的二次项系数为
,一次项系数为-3,常数项为15,这个方程是.
5.求证:
关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
黄冈中学广州学校教学案
年级
九()
学科
数学
姓名
编号
2
课题
一元二次方程
(2).
目标
1.了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根2.利用它们解决一些具体问题.
重点难点
学习重点:
判定一个数是否是一元二次方程的根;
学习难点:
运用一元二次方程根的概念解决相关问题.
教、学材料
学习过程
一、自主学习
使一元二次方程两边的叫做一元二次方程的解(也叫根).
二、合作探究
【知识点1】一元二次方程的根的概念.
例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
【针对练习1】方程x2-x-c=0有一个解是3,则c=
【知识点2】方程根的灵活运用
例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2015(a+b+c)的值
解:
【针对练习1】关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
三、综合练习
1(☆)你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)x2-64=0
(2)3x2-6=0(3)x2-3x=0
2(☆☆)方程x(x-1)=2的两根为().
A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=-1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=2
3(☆☆☆)已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0),则
=().
A.1B.-1C.0D.2
四当堂检测(每小题20分,共100分)
1.方程x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________.
2.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.
3.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值.
4.请解答这个问题:
印度一本书中有这样的一首诗:
“一群猴子分两队,高高兴兴来游戏,八分之一(总猴子数)再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮。
告我总数有多少,两队猴子在一起。
”(列出方程即可)
5.已知一元二次方程:
-2x2-
x+3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是a、b、c,求
的值.
黄冈中学广州学校教学案
年级
九()
学科
数学
姓名
编号
3
课题
21.2.1配方法——直接开平方法
目标
1、会用直接开平方法解形如
=p(p≥0)或(mx+n)
=p(p≥0,m≠0)的方程;2、通过解一元二次方程,体会转化的思想方法
重点难点
重点:
掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤.
难点:
理解并运用直接开平方法解特殊的一元二次方程.
教、学材料
学习过程
一自主学习
1.若x2=9,则x=.
2.若x2=a(a≥0),则x=.
3.关于x的方程(mx+n)
=p(p≥0,m≠0),的解为:
4.解一元二次方程的思想是.
二合作探究
【知识点1】解形如x2=a(a≥0)的方程
例1解下列方程:
(1)x2-2=0;
(2)16x2-25=0.
解:
【针对练习1】解方程:
3x2-1=5
【知识点2】解形如(mx+n)
=p(p≥0)的方程
例2解方程(x+1)2-4=0;
解:
【针对练习2】解方程12(2-x)2-9=0.
三综合练习
1.(☆)方程45-x2=0的解为:
.
2.(☆☆)方程(t-2)(t+2)=0的解为:
.
3.(☆☆☆)解方程x2+2x+1=16
四课堂检测(每小题20分,满分100分)
1.方程x2=169的解为
2.方程3x2-
=0的解为
3.解方程9x2+6x+1=4
4.求双曲线
与直线y=2x的交点坐标.
5.在实数范围内定义运算“&”,其法则为a&b=a2-b2,试求方程(4&3)&x=24的解.
黄冈中学广州学校教学案
年级
九()
学科
数学
姓名
编号
4
课题
21.2.1配方法
(2)
目标
1.了解配方法的概念,掌握配方法解一元二次方程的步骤,体会转化的数学思想.
重点难点
学习重点:
用配方法解一元二次方程;
学习难点:
配方的过程.
教、学材料
学习过程
一自主学习
1.在下列各式中的括号里填上适当的数,使其变为完全平方式.
(1)x2+6x+()=(x+)2;
(2)x2-8x+()=(x-)2;
(3)x2+
x+()=(x+)2;
2.(自学P6-7)我们把方程x2+6x+4=0变形为(x+3)2=5,它的左边是一个含有未知数的式,右边是一个数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
3.试总结配方的步骤:
二合作探究
【知识点1】配方法的步骤
例1.用配方法解方程x2-6x-7=0
解:
【针对练习1】用配方法解方程2x2+1=3x
解:
三综合练习
1.(☆)设x2+8x+6=(x+b)2+c,则c的值为.
2.(☆☆)用配方法解下列方程:
3.(☆☆☆)解方程x(x+4)=8x+12
四课堂检测(每小题20分,满分100分)
1.方程x2+2x-3=0的解为
2.2.方程3x²+6x-4=0的解为
3.解方程x2+4x-9=2x-11
4.解方程(1+x)2+2(1+x)-4=0
5.把代数式x2-2x-3化为(x-m)2+k的形式,期中m、k为常数,则m+k=
黄冈中学广州学校教学案
班级
学科
使用者
编号
5
课题
22.2.2公式法
目标
1、经历推导求根公式的过程,加强推理技能训练,培养学生的逻辑思维能力;2、会用公式法解简单系数的一元二次方程;
3、进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法.
重点难点
重点:
用公式法解简单系数的一元二次方程
难点:
推导求根公式的过程
教学材料
感悟和批注
学习过程
一自主学习
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是:
利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法.
二合作探究
【知识点1】求根公式的推导
例1.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
【针对练习1】.试推导方程x2+px+q=0的求根公式.
【知识点2】求根公式的运用
例2,用公式法解方程2x2+x-6=0
【针对练习2】用公式法解方程5x2-4x=12
三综合练习
1.(☆)方程2x
-3x+1=0中,a=,b=,c=
2.(☆☆)应用公式法解下列方程:
x2+4x=2;
3.(☆☆☆)应用公式法解下列方程4x2+4x+10=1-8x.
四课堂检测(每小题20分,共100分)
应用公式法解方程:
1.x2-6x+1=0;2.2x2-x+7=6;
3.4x2-3x-1=x-2;4.(x-2)(x+5)=8.
5.3x(x-3)=2(x-1)
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班级
学科
使用者
编号
6
课题
一元二次方程的根的判别式
目标
掌握一元二次方程根的判别式及其应用.
重点难点
学习重点:
根的判别式的应用
学习难点:
判别式的灵活运用
教学材料
学习过程
一自主学习
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是:
,该方程有实数根的条件是;有不相等的两个实数根的条件是;有相等的两个实数根的条件是;没有实数根的条件是.
二合作探究
【知识点1】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的初步运用.
例3.已知关于x的方程3x2-2x-2m=0,分别求出符合下列条件的m的取值范围.
(1)有不相等的两个实数根;
(2)有相等的两个实数根;(3)没有实数根;
【针对练习1】已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况;
(2)当m=﹣3时,求方程的根.
三综合练习
1.(☆)(2012广西河池)一元二次方程
的根的情况是【】
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.无实数根
2.(☆☆)若一元二次方程
有实数解,则m的取值范围是【】A.
B.
C.
D.
3.(☆☆☆)如果关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是【】
A.k<
B.k<
且k≠0
C.﹣
≤k<
D.﹣
≤k<
且k≠0
四、课堂检测(每小题20分,满分100分)
1.一元二次方程x2+x+1/4=0的根的情况是【】
A、有两个不等的实数根B、有两个相等的实数根
C、无实数根D、无法确定
2.若关于
的方程
有两个不相等的实数根,则
的值是
3.当t取什么值时,关于
的一元二次方程2
2+t
+2=0有两个相等的实数根?
4.若函数
与一次函数
的图像没有交点,试求k的取值范围.
5、(2012湖北孝感)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
求证:
无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根。
黄冈中学广州学校教学案
班级
学科
使用者
编号
7
课题
22.2.3因式分解法
目标
1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.
2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.
重点难点
重点:
应用分解因式法解一元二次方程
难点:
灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
教学材料
学习过程
一自主学习
1将下列各题因式分解
am+bm+cm=;a2-b2=;
a2±2ab+b2=;x2-(p+q)x+pq=
2.因式分解的方法有:
3.
(1)对于一元二次方程,先因式分解使方程化为的形式,再使_________________________,从而实现_____,这种解法叫做__________________.
(2)如果
,那么
或
,这是因式分解法的根据.如:
如果
,那么
或,即
或________.
二合作探究
【知识点1】
例1用因式分解法解一元二次方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【针对练习1】用因式分解法解下列方程:
(1)x2-47x=0
(2)4x2-49=0
三综合练习1.(☆)用因式分解法解方程x2-2
x=0
2.(☆☆)用因式分解法解方程3x(2x+1)=4x2-1
3.(☆☆☆)方程x(x+1)(x-2)=0的根是()
A.-1,2B.1,-2C.0,-1,2D.0,1,2
四课堂检测(每小题20分,共100分)
1.方程
的根是.
2.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为()
A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0
C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=0
3.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1、x2,且x1>x2,则x1-2x2的值等于___
4.用因式分解法解方程
(1)
(2)
5.如果
,则
的值为_________________
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班级
学科
使用者
编号
8
课题
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
目标
1.理解并掌握根与系数关系:
,
;
2.会用根与系数的关系解题.
重点难点
学习重点:
理解并掌握根与系数的关系.
学习难点:
会用根与系数的关系解题.
教学材料
一自主学习
1.完成下列表格
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
2x2-3x-2=0
2
3x2-4x+1=0
1
仔细观察上表,思考一元二次方程两个根与系数的关系.
2.由上题的结论,猜想ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a、b、c的关系.
用语言表述为:
二合作探究
【知识点1】一元二次方程的根与系数的关系.
例1.利用求根公式推导根与系数的关系(韦达定理)
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1=,x2=
(前提条件是),计算下列两式的值
(1)x1+x2=
(2)x1x2=
【针对练习1】根据一元二次方程的根与系数的关系,不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:
⑴x2-3x-1=0⑵2x2+3x=5⑶
解:
三综合练习
1.(☆)方程2x2-3x-1=0的两根为x1、x2,则x1+x2=,x1x2=
2.(☆☆)已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.
3.(☆☆☆)不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:
⑴x2-5x-10=0⑵2x2+7x+1=0
⑶3x2-1=2x+5⑷x(x-1)=3x+7
四课堂检测(每小题20分,满分100分)
1.若方程x2+px+q=0的两根中只有一个为0,那么正确的是()
Ap=q=0BP=0,q≠0Cp≠0,q=0Dp≠0,q≠0
2两根均为负数的一元二次方程是()
A.7x2-12x+5=0B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x-8=0
3不解方程,求下列方程的两根和与两根积:
(1)(x+1)(x-1)=2x+5
(2)x(x-1)=3x+7
4若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值为
5在解方程x2+px+q=0时,甲同学看错了p,解得方程根为x=1与x=-3;乙同学看错了q,解得方程的根为x=4与x=-2,你认为方程中的p=,q=
黄冈中学广州学校教学案
年级
九()
学科
数学
姓名
编号
9
课题
22.3实际问题与一元二次方程
(1)
目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决一些具体问题.
重点难点
重点:
用“倍数关系”建立数学模型.
难点:
用“倍数关系”建立数学模型.
教、学材料
学习过程
一自主学习
用方程解应用题的步骤有:
①审题,②,③,④解方程,⑤检验作答.
二合作探究
【知识点1】应用一元二次方程解应用题
例1有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有人患了流感,第二轮后共有人患了流感.列方程得,整理的,
解方程,得x1=,x2=
根据问题的实际意义,x=
答:
每轮传染中平均一个人传染了个人.经三轮传染后有人.
【针对练习1】有一人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
经三轮传染后有多少人患流感?
解:
三综合练习
1(☆)用适当的方法解方程.
(1)x2+x-12=0
(2)x2-2x-0.25=0
2(☆☆).要组织一场篮球联赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
3(☆☆☆)两个相邻偶数的积是168,求这两个数.
四课堂检测(30+35+35,满分100分)
1.一个菱形的两条对角线长的和是14厘米,面积是24平方厘米,求菱形的周长.
2.(2013江苏)某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念,全班共送了2070张相片.全班有多少人?
3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:
设每个支干长出x个小分支,
黄冈中学广州学校教学案
年级
九()
学科
数学
姓名
编号
10
课题
22.3实际问题与一元二次方程
(2)
目标
1、进一步熟悉列一元二次方程解应用题的一般步骤;2、通过解决增长率(降低率)问题体会一元二次方程的应用.
重点难点
学习重点:
增长率类问题的方程模型.
学习难点:
方程模型的建立.
教、学材料
学习过程
一自主学习
平均增长(降低)率问题:
设最初基数为a,平均增长率为x,设最初基数为a,平均降低率为x,
则一次增长后的值为,则一次降低后的值为,
二次增长后的值为,二次降低后的值为,
三次增长后的值为,三次降低后的值为,
n次增长后的值为.n次降低后的值为.
二合作探究
【知识点1】增长率类的问题求解.
例1、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
解:
设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为元,两年后甲种药品成本为元,依题意得
解方程,得
答:
甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
针对练习上例中算一算:
乙种药品成本的年平均下降率是多少?
比较:
两种药品成本的年平均下降率.
三综合练习
1(☆)某工厂1月份的产值是50000元,3月份的产值达到60000元,这两个月的产值平均月增长的百分率是多少?
(精确到0.1%)
解:
2(☆☆)一种药品经两次降价,由每盒60元降至52元,记平均每次降价分率是x,那么可以列方程为.
3(☆☆☆)某网站由于采用新技术,对设备进行两次更新,由原来同时可有4万台电脑上网,到现在可以同时有6.76万台电脑上网,求网站的两次设备更新中平均使上网率增长的百分数.
四课堂检测
1.某校对2010届毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计,初一阶段有48人次获奖,之后逐年增加,到初三毕业时共有183人次获奖.设这两年中获奖人次的平均年增长率为
.则所列方程为()
A、
B、
C、
D、
2.某药品经两次降价,零售价降为原来的64%。
已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率。
3.某商店二月份营业额为50万元,春节过后三月份下降了30%,四月份有回升,五月份又比四月份增加了5个百分点(即增加了5%),营业额达到48.3万元.求四、五两个月增长的百分率.
黄冈中学广州学校教学案
年级
九()
学科
数学
姓名
编号
11
课题
22.3实际问题与一元二次方程(3)
目标
掌握面积,利润问题用一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
重点难点
学习重点:
建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
学习难点:
量与量之间的关系
教、学材料
学习过程
1、自主学习:
略
二、合作探究
问题一某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元,为了扩大销售、增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件,若商场平均每天盈利2100元,每件衬衫应降价多少元?
问题二如图所示,在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,(互相垂直),把耕地分成大小不等的六块试验田,要使试验田的面积为570m2,道路应为多宽?
三、综合练习
2(☆☆)如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹
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- 关 键 词:
- 21 一元 二次方程