高等数学 课后习题答案第九章.docx
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高等数学课后习题答案第九章
习题九
1.求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向角为
的方向导数。
解:
2.求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点A(5,1,2)到B(9,4,14)的方向导数。
解:
的方向余弦为
故
3.求函数
在点
处沿曲线
在这点的内法线方向的方向导数。
解:
设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ,它是第三象限的角,因为
所以在点
处切线斜率为
法线斜率为
.
于是
∵
∴
4.研究下列函数的极值:
(1)z=x3+y3-3(x2+y2);
(2)z=e2x(x+y2+2y);
(3)z=(6x-x2)(4y-y2);(4)z=(x2+y2)
;
(5)z=xy(a-x-y),a≠0.
解:
(1)解方程组
得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).
zxx=6x-6,zxy=0,zyy=6y-6
在点(0,0)处,A=-6,B=0,C=-6,B2-AC=-36<0,且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.
在点(0,2)处,A=-6,B=0,C=6,B2-AC=36>0,所以(0,2)点不是极值点.
在点(2,0)处,A=6,B=0,C=-6,B2-AC=36>0,所以(2,0)点不是极值点.
在点(2,2)处,A=6,B=0,C=6,B2-AC=-36<0,且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.
(2)解方程组
得驻点为
.
在点
处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值
.
(3)解方程组
得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).
Zxx=-2(4y-y2),
Zxy=4(3-x)(2-y)
Zyy=-2(6x-x2)
在点(3,2)处,A=-8,B=0,C=-18,B2-AC=-8×18<0,且A<0,所以函数有极大值z(3,2)=36.
在点(0,0)处,A=0,B=24,C=0,B2-AC>0,所以(0,0)点不是极值点.
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