高三数学综合复习知识点整理.docx
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高三数学综合复习知识点整理
第1讲集合
1.集合:
某些指定的对象集在一起成为集合
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作;若
b不是集合A的元素,记作;
(2)集合中的元素必须满足:
确定性、互异性与无序
性;
确定性:
设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,
则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必
有一种且只有一种成立;
互异性:
一个给定集合中的元素,指属于这个集合的
互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复
出现同一元素;
无序性:
集合中不同的元素之间没有地位差异,集合
不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:
把集合中的元素的公共属性描述出来,写在
大括号{}内。
具体方法:
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N*或N+;
整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作Ro
2.集合的包含关系:
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或);
集合相等:
构成两个集合的元素完全一样。
若AB且BA则称
A等于B,记作A=B;若AB且导B,则称A是B的真子集,记作AB;
(2)简单性质:
1)AA2)A;3)若ABBC则AC;4)若
集合A是n个元素的集合,则集合A有2个子集(其中2-1个真子集);
3.全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为
全集,记作U
(2)若S是一个集合,AS,则,=称S中子集A的补集;
(3)简单性质:
1)()=A;2)S=,=S
4.交集与并集:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集。
交集。
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。
注意:
求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在
处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
5.集合的简单性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
(3)(AnB=(A)U(B),
(AUB)=(A)n(B)。
【典例解析】
题型1:
集合的概念
例1.(2009广东卷理)已知全集,集合和
的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有()
A.3个B.2个C.1个D.无穷多个
答案
B
解析
由得,则,有2个,选
B.
例2.
(2009山东卷理)集合”
若,则的值为()
.1C
答案
D
解析
故选D.
题型
2:
集合的性质
例3.
(2009山东卷理)集合,,
若,则的值为()
.1C
答案
D
解析
T,,二二,故选D.
1.设全集U=RA={x€N|Kx
12
<10},B={x€R|x+x-6=0}
2.已知集合
A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y〔6y+8<0},若AnB
=©,则实数a的取值范围为().
解:
由题知可解得A={y|y>a2+1或y 们不妨先考虑当ACB=©时a的范围.如图 由,得 二或. 即AnB=©时a的范围为或.而An时a的范围显然是 其补集,从而所求范围为. 注: 一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解,这就是“补集思想”例4.已知全集,A={1,}如果,则这样的实数是否存在? 若存在,求出,若不存在,说明理由 解: T; .: 即=0,解得 当时,,为A中元素; 当时, 当时, 二这样的实数x存在,是或。 另法: t …, •: =0且 二或。 点评: 该题考察了集合间的关系以及集合的性质。 分类讨论 的过程中“当时,”不能满足集合中元素的互异性。 此题的关 键是理解符号是两层含义: 。 变式题: 已知集合,“求的值。 解: 由可知, (1), 或 (2) 解 (1)得, 解 (2)得, 又因为当时,与题意不符, 所以,。 题型3: 集合的运算 例5.(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数的定义 域集合是A,函数的定义域集合是B (1)求集合A、B (2)若AB=B求实数的取值范围. 解 (1)A= B= (2)由AB=B得AB因此 所以,所以实数的取值范围是 例6.(2009宁夏海南卷理)已知集合,则() A.B. C.D. 答案A 解析易有,选A 题型4: 图解法解集合问题 例7.(2009年广西北海九中训练)已知集合M=N=贝U () A.B. C.D. 答案C 例8.设全集,函数的定义域为A,集合,若恰好有2个元素,求a的取值集合。 解: 时,二 当时,在此区间上恰有2个偶数。 题型7: 集合综合题 例11.(1999上海,17)设集合A={x||x-a|<2},B={x|<1}, 若AB,求实数a的取值范围。 解: 由|x—a|<2,得a—2 由<1,得<0,即一2 因为AB,所以,于是0三aw1。 第二讲函数概念与表示 1.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使 对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f: A-B为从集合A到集合B的一个函数。 记作: y=f(x),x€A。 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x€A}叫做函数的值域。 注意: (1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; (2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x 2.构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: 1自然型: 指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如: 分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等); 2限制型: 指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; 3实际型: 解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量X的实际意义。 (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能 用初等方法求一些简单函数的值域问题 1配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程);③不等式法(运用不等式的各种性质): ④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等)。 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。 当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。 因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。 4.区间 (1)区间的分类: 开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示 5.映射的概念 一般地,设AB是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素X,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f: AB为从集合A到集合B的一个映射。 记作“f: AB'。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件 “非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可 以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。 注意: (1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。 (2)“都有唯一”包含两层意思: 一是必有一个;二是只有 一个,也就是说有且只有一个的意思 6.常用的函数表示法 (1)解析法: 就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表 示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式; (2)列表法: 就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法: 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的 解析式不同,这种函数又称分段函数; 8.复合函数 若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值 域 【典例解析】 题型1: 函数概念 例1.21.(2009天津卷文)设函数则不等式的解集是() A.B. C.D. 答案A 解析由已知,函数先增后减再增 当,令 解得。 当, 故,解得 变式题: (2009北京文)已知函数若,则答案 解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由,无解,故应填. 例2. (1)函数对于任意实数满足条件,若则________; 解: (1)由得, 所以,则 题型二: 判断两个函数是否相同 例3.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f : (x)=, g(x)=; (2)f : (x)=, g(x)= (3)f : (x)=, g(x)=() 2n—1*、 (n€N); (4)f : (x)=, g(x)=; (5)f : (x)=x2 —2x—1,g (t)=t2—2t—1。 解: (1)由于f (x)==|x|, g(x)==x,故它们的值域及对 应法则都不相同,所以它们不是同一函数; (2)由于函数f(x)=的定义域为(―〜0)U(0,心),而g(x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数; (3)由于当n€N*时,2n±1为奇数, 二f(x)==x,g(x)=()2n_1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数; (4)由于函数f(x)=的定义域为{x|x>0},而g(x)=的定义域为{x|x<—1或x>0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同 一函数 点评: 对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才 表示同一函数若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然。 (1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对 函数的概念理解不透要知道,在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x2+1,f(t) =t2+1,f(U+1)=(U+1)2+1都可视为同一函数。 (2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数题型三: 函数定义域问题例4.求下述函数的定义域: (1); (2) 解: (1),解得函数定义域为. (2),(先对a进行分类讨论,然后对k进行分类讨论), 1当a=0时,函数定义域为; 2当时,得, 1)当时,函数定义域为, 2)当时,函数定义域为, 3)当时,函数定义域为; 3当时,得, 1)当时,函数定义域为, 2)当时,函数定义域为, 3)当时,函数定义域为。 点评: 在这里只需要根据解析式有意义,列出不等式,但第 (2)小题的解析式中含有参数,要对参数的取值进行讨论, 考察学生分类讨论的能力 变式题: 已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是() A.a>B.—12 D.a< 解:
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