中考数学专题复习全攻略第一节 统计.docx
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中考数学专题复习全攻略第一节统计
第一节统计
知识点一:
数据收集、整理
1.数据收集
数据收集常用方法
全面调查:
所要考察对象的全体叫做总体.
抽样调查:
采用调查部分对象的方式来收集数据根据部分来估计整体的情况,叫做抽样调查.
优点是调查范围小,节省时间,人力,物力和财力,但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。
为了获得较为准确的调查结果,抽样时要主要样本的代表性和广泛性。
收集数据时常见的统计量
(1)总体:
要考察的全体对象;
(2)个体:
组成总体的每一个考察对象;
(3)样本:
被抽查的那些个体组成一个样本;
(4)样本容量:
样本中个体的数目.
变式练习:
为了了解某校3800名学生视力情况,从中测试了400名学生视力进行分析,在这个问题中,总体是某校3800名学生视力情况,样本容量是400.
知识点二:
反映数据集中程度的量
1.平均数
一般地,如果有n个数
那么,
叫做这n个数的平均数,
读作“x拔”。
2.加权平均数
注意:
计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数,两者计算方法有差异,不能混淆.
如果n个数中,
出现
次,
出现
次,…,
出现
次(这里
),那么,根据平均数的定义,这n个数的平均数可以表示为
,这样求得的平均数
叫做加权平均数,其中
叫做权。
变式练习1:
某商品共10件,第一天以25元/件卖出2件,第二天以20元/件卖出3件,第三天以18元/件卖出5件,则这种商品的平均售价为20元/件.
变式练习2:
某公司内设四个部门,2015年各部门人数及相应的每人所创年利润如表所示,求该公司2015年平均每人所创年利润.
部门
人数
每人所创年利润/万元
A
1
36
B
6
27
C
8
16
D
11
20
解:
该公司2015年平均每人所创年利润为
=21,答:
该公司2015年平均每人所创年利润为21万元
3.中位数
一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,
(1)如果数据的个数是奇数,则称处于中间位置的数为这组数据的中位数;
(2)如果数据的个数是偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
(3)如果在一组互不相等的数据中,小于和大于这个中位数的数据各占一半。
变式练习:
某公司的拓展部有五个员工,他们每月的工资分别是3000元,4000元,5000元,7000元和10000元,那么他们工资的中位数是( )
A.4000元 B.5000元 C.7000元 D.10000元
【解析】B将5个工资数由小到大排列,位于最中间,即第3个数是5000元,故中位数为5000元.
4.众数
一组数据中出现次数最多的数据.一组数据的众数可能有多个,也可能没有.
(1)众数是一组数据的峰值,它是一种位置代表值,不易受极端值的影响,其缺点是具有不唯一性。
(2)众数是一组数据中出现次数最多的数据,是一组数据中的原数据,而不是相应的次数.
(3)一组数据中的众数有时不只一个,如数据2、3、-1、2、1、3中,2和3都出现了2次,它们都是这组数据的众数。
变式练习1:
一组数据:
1,2,1,0,2,a,若它们的众数为1,则这组数据的中位数为1.
变式练习2:
数据8、8、6、5、6、1、6的众数是( )
A.1 B.5 C.6 D.8
【解析】C6在这组数里出现了3次,次数最多,是众数.
变式练习3:
在以下数据75,80,80,85,90中,众数、中位数分别为( )
A.75,80 B.80,80 C.80,85 D.80,90
【解析】80出现两次,次数最多,于是众数为80,按由小到大排序后,最中间的数是80,于是这一组数的中位数为80,故选B.
5.比较平均数、中位数、众数的优劣:
平均数:
所有数据参加运算,能充分利用数据所提供的信息,因此在现实生活中常用,但容易受极端值影响;
中位数:
计算简单,受极端值影响少,但不能充分利用所有数据的信息;
众数:
各个数据如果重复次数大致相等时,众数往往没有特别的意义。
变式练习:
甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成下列两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
(1)写出表格中a,b,c的值;
(2)分别运用表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛,你认为应选哪名队员?
解:
(1)甲的平均成绩a=
=7(环),
∵乙射击的成绩从小到大从新排列为:
3,4,6,7,7,8,8,8,9,10,
∴乙射击成绩的中位数b=
=7.5(环),其方差c=
×[(3-7)2+(4-7)2+(6-7)2+2×(7-7)2+3×(8-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=
×(16+9+1+3+4+9)=4.2
(2)从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环,从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙,从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多,从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定;综合以上各因素,若选派一名学生参加比赛的话,可选择乙参赛,因为乙获得高分的可能更大
知识点三:
反映数据离散程度的量
1、方差的概念方差公式
在一组数据
中,各数据与它们的平均数
的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。
通常用“
”表示,即
公
式:
设x1,x2,…,xn的平均数为
,则这n个数据的方差为s2=
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2].
注意:
(1)方差反映一组数据的波动程度,若该组每个数据变化相同,则方差不变.若数据a1,a2,……an的方差是s,
则数据a1+b,a2+b,……an+b的方差仍然是s,数据ka1+b,ka2+b,……kan+b的方差是k2s
(2)用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.方差主要应用在平均数相等或接近时。
方差意义
方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,越稳定.
变式练习:
一组数据2,4,a,7,7的平均数x=5,则方差s2=__3.6__.
2.极差:
一组数据中的最大数据与最小数据的差。
极差=最大值-最小值.
极差能够反映数据的变化范围.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量,但它受极端值的影响较大.
知识点四:
数据的整理和描述
1、频率分布的意义
在许多问题中,只知道平均数和方差还不够,还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布。
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念
(1)研究样本的频率分布的一般步骤是:
①计算极差(最大值与最小值的差)
②决定组距与组数
③决定分点
④列频率分布表
⑤画频率分布直方图
(2)频率分布的有关概念
①极差:
最大值与最小值的差
②频数:
落在各个小组内的数据的个数
③频率:
每一小组的频数与数据总数(样本容量n)的比值叫做这一小组的频率。
.
变式练习:
某校对1200名学生的身高进行了测量,身高在1.58~1.63(单位:
m)这一个小组的频率为0.25,则该组的人数是300.
3.统计图
(1)条形统计图能够显示每组中的具体数据.
(2)扇形统计图能够显示部分在总体中的百分比.
(3)折线统计图能够显示数据的变化趋势.
(4)频数分布直方图能够显示数据的分布情况.
变式练习:
空气中由多种气体混合而成,为了简明扼要地介绍空气的组成情况,较好地描述空气中各种成分所占的百分比,最适合采用的统计图是扇形统计图
4.画频数分布直方图的步骤
(1)计算最大值与最小值的差;
(2)决定组距与组数;
(3)决定分点;
(3)列频数分布表;
(4)画频数分布直方图.
变式练习1:
一组数据的最大值与最小值的差是23,若组距为3,则在画频数分布直方图时应分为8组.
变式练习2:
某学校准备开展“阳光体育活动”,决定开设以下体育活动项目:
足球、乒乓球、篮球和羽毛球,要求每位学生必须且只能选择一项.为了解选择各种体育活动项目的学生人数,随机抽取了部分学生进行调查,并将通过调查获得的数据进行整理,绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据统计图回答问题:
第2题图
(1)这次活动一共调查了________名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于______度;
(4)若该学校有1500人,请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是________人.
解:
(1)250;
【解法提示】用选择“足球”项目的人数除以它占抽查总数的百
分比,便可得这次活动一共调查的学生数,即80÷32%=250(名).
(2)补全条形统计图如解图所示:
第2题解图
【解法提示】选择“篮球”项目的人数为:
250-80-40-55=
75(人).
(3)108;
【解法提示】用选择篮球项目的人数除以总人数再乘以360°就可
以得到选择篮球项目的人数所占扇形圆心角的度数:
×360°
=108°.
(4)480.
【解法提示】用总人数乘以选择足球项目的人数所占的百分比就
可得到该学校选择足球项目的学生人数:
1500×32%=480(人).
变式练习3:
某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况(每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目),进行了随机抽样调查,并将调查结果统计后绘制成了如表和图所示的不完整统计图表.
样本人数分布表
类别
人数
百分比
排球
3
6%
乒乓球
14
28%
羽毛球
15
篮球
20%
足球
8
16%
合计
100%
(1)请你补全样本人数分布表和条形统计图;
(2)若七年级学生总人数为920人,请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数.
解:
(1)补全样本人数分布表如下所示,补全条形统计图如解
图所示;
样本人数分布表
类别
人数
百分比
排球
3
6%
乒乓球
14
28%
羽毛球
15
30%
篮球
10
20%
足球
8
16%
合计
50
100%
【解法提示】样本容量=
=
=50(人);
喜欢羽毛球百分比=
=
=30%;
喜欢篮球人数=样本容量×喜欢篮球的百分比=50×20%=
10(人).
(2)所抽取50人中,喜爱羽毛球运动的同学占30%,用样本频率
估算总体频率可知,920人中喜爱羽毛球运动的约占30%,
∴920×30%=276(人).
答:
七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数大约有276人.
变式练习4:
李老师为了解班里学生的作息时间,调查了班上50名学生上学路上花费的时间,他发现学生所花时间都少于50分钟,然后将调查数据整理,作出如下频数分布直方图的一部分(每组数据含最小值不含最大值).请根据该频数分布直方图,回答下列问题:
(1)此次调查的总体是什么?
(2)补全频数分布直方图;
(3)该班学生上学路上花费时间在30分钟以上(含30分钟)的人数占全班人数的百分比是多少?
解:
(1)此次调查的总体是班上50名学生上学路上花费的时间;
(2)补全频数分布直方图如解图所示:
第4题解图
【解法提示】路上时间花费在30~40分钟(不含40分钟)的人数
为:
50-8-24-13-1=4(人).
(3)路上花费时间在30分钟以上(含30分钟)的人数占全班人数的
百分比是
×100%=10%.
变式练习5:
为了解中学生最喜欢做哪种类型的英语客观题,某市抽取部分中学生对英语客观题的“听力部分、单项选择、完型填空、阅读理解、口语应用”进行了问卷调查.要求每位学生都自主选择其中一个类型,并将调查结果绘制成如下的统计图表(问卷回收率为100%,并均为有效问卷).
被调查学生选择意向统计表
题型
所占百分比
听力部分
a
单项选择
35%
完型填空
b
阅读理解
10%
口语应用
c
根据统计图表中的信息,解答下列问题:
(1)求本次被调查的学生总人数及a、b、c的值;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)全市参加这次调查的中学生共有42000人,试估计全市中学生中最喜欢做“单项选择”这类客观题的学生有多少人?
解:
(1)由题图和表可知,最喜欢做单项选择的
人数有280人,占被调查人数的35%,
∴被调查的总人数为:
280÷35%=800(人),
∴最喜欢阅读理解的人数为:
800×10%=80(人),
∴最喜欢听力的人数为:
800-(280+160+80+40)=240(人),
∴a=
×100%=30%,b=
×100%=20%,
c=
×100%=5%;
(2)补全条形统计图如解图所示:
被调查学生选择意向条形统计图
(3)42000×35%=14700(人),
∴估计全市中学生中最喜欢做“单项选择”这类客观题的学生
有14700人.
变式练习6:
某校为了了解全校学生上学期参加社区活动的情况,学校随机调查了本校50名学生参加社区活动的次数,并将调查所得的数据整理如下:
参加社区活动次数的频数、频率分布表
活动次数x
频数
频率
0<x≤3
10
0.20
3<x≤6
a
0.24
6<x≤9
16
0.32
9<x≤12
6
0.12
12<x≤15
m
b
15<x≤18
2
n
根据以上图表信息,解答下列问题:
(1)表中a=__12__,b=__0.08__;
(2)请把频数分布直方图补充完整(画图后请标注相应的数据);
(3)若该校共有1200名学生,请估计该校在上学期参加社区活动超过6次的学生有多少人?
解:
(1)由题意可得:
a=50×0.24=12(人),∵m=50-10-12-16-6-2=4,∴b=
=0.08
(2)补图略
(3)由题意可得,该校在上学期参加社区活动超过6次的学生有1200×(1-0.20-0.24)=672(人),答:
该校在上学期参加社区活动超过6次的学生有672人
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