知识梳理与自测人教A版文科数学《24幂函数与二次函数》.docx
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知识梳理与自测人教A版文科数学《24幂函数与二次函数》
§2.4 幂函数与二次函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=
的图象,了解它们的变化情况.
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
以幂函数的图象与性质的应用为主,常与指数函数、对数函数交汇命题;以二次函数的图象与性质的应用为主,常与方程、不等式等知识交汇命题,着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想,题型一般为选择、填空题,中档难度.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
图象
性
质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0,+∞)上单调递增
在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
公共点
(1,1)
2.二次函数的图象和性质
解析式
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
单调性
在x∈上单调递减;
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增;
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x=-对称
概念方法微思考
1.二次函数的解析式有哪些常用形式?
提示
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:
y=a(x-m)2+n(a≠0);
(3)零点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),写出f(x)≥0恒成立的条件.
提示 a>0且Δ≤0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[a,b]的最值一定是.( × )
(2)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.
( √ )
(3)函数y=
是幂函数.( × )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(5)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )
题组二 教材改编
2.[P79B组T1]已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α等于( )
A.B.1C.D.2
答案 C
解析 由幂函数的定义,知
∴k=1,α=.∴k+α=.
3.[P44A组T9]已知函数f(x)=x2+4ax在区间(-∞,6)内单调递减,则a的取值范围是( )
A.a≥3B.a≤3
C.a<-3D.a≤-3
答案 D
解析 函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x=-2a,由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x=-2a的左侧,
∴-2a≥6,解得a≤-3,故选D.
题组三 易错自纠
4.幂函数f(x)=
(a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则a等于( )
A.3B.4C.5D.6
答案 C
解析 因为a2-10a+23=(a-5)2-2,
f(x)=
(a∈Z)为偶函数,
且在区间(0,+∞)上是减函数,
所以(a-5)2-2<0,从而a=4,5,6,
又(a-5)2-2为偶数,所以只能是a=5,故选C.
5.已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则y的最小值是______.
答案 -1
解析 函数y=2x2-6x+3的图象的对称轴为x=>1,∴函数y=2x2-6x+3在[-1,1]上单调递减,
∴ymin=2-6+3=-1.
6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)________0.(填“>”“<”或“=”)
答案 >
解析 f(x)=x2-x+a图象的对称轴为直线x=,且f
(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),∴m-1<0,∴f(m-1)>0.
题型一 幂函数的图象和性质
1.若幂函数的图象经过点,则它的单调递增区间是( )
A.(0,+∞)B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)
答案 D
解析 设f(x)=xα,则2α=,α=-2,即f(x)=x-2,它是偶函数,单调递增区间是(-∞,0).故选D.
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.d>c>b>aB.a>b>c>d
C.d>c>a>bD.a>b>d>c
答案 B
解析 由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d,故选B.
3.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)
(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( )
A.-3B.1C.2D.1或2
答案 B
解析 由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意,故选B.
4.(2018·潍坊模拟)若(a+1)
<(3-2a)
,则实数a的取值范围是____________.
答案 (-∞,-1)∪
解析 不等式(a+1)
<(3-2a)
等价于a+1>3-2a>0或3-2a 思维升华 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. (3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 题型二 求二次函数的解析式 例1 (1)已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________________. 答案 f(x)=x2-2x+3 解析 由f(0)=3,得c=3, 又f(1+x)=f(1-x), ∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称, ∴=1,∴b=2, ∴f(x)=x2-2x+3. (2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________. 答案 x2+2x 解析 设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0), 所以f(x)=ax2+2ax,由=-1, 得a=1,所以f(x)=x2+2x. 思维升华求二次函数解析式的方法 跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________. 答案 x2+2x+1 解析 设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0), 又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1, 故f(x)=x2+2x+1. (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=________. 答案 x2-4x+3 解析 因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),又f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3. 题型三 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的图象 例2(2018·重庆五中模拟)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( ) 答案 C 解析 若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而-<0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故应排除B,选C. 命题点2 二次函数的单调性 例3函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( ) A.[-3,0)B.(-∞,-3] C.[-2,0]D.[-3,0] 答案 D 解析 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意. 当a≠0时,f(x)的对称轴为x=, 由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知 解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0]. 引申探究 若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=________. 答案 -3 解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0, 又=-1,∴a=-3. 命题点3 二次函数的最值 例4已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值. 解 f(x)=a(x+1)2+1-a. (1)当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去; (2)当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f (2)=8a+1=4,解得a=; (3)当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3. 综上可知,a的值为或-3. 引申探究 将本例改为: 求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值. 解 f(x)=(x+a)2+1-a2, ∴f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-a. (1)当-a<即a>-时,f(x)max=f (2)=4a+5, (2)当-a≥即a≤-时,f(x)max=f(-1)=2-2a, 综上,f(x)max= 命题点4 二次函数中的恒成立问题 例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,若不等式f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,则实数m的取值范围为____________. 答案 (-∞,-1) 解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1,又f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x,所以a=1,b=-1,所以f(x)=x2-x+1.f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,令g(x)=x2-3x+1-m=2--m,x∈[-1,1],g(x)在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g (1)=1-3+1-m>0,所以m<-1. (2)函数f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为________. 答案 2 解析 令ax=t,因为a>1,x∈[-1,1],所以≤t≤a,原函数化为g(t)=t2+3t-2,t∈,显然g(t)在上单调递增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以a的最大值为2. 思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意: (1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论; (2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解). (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路: 一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域. 跟踪训练2 (1)函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是( ) A.b≥0B.b≤0C.b>0D.b<0 答案 A 解析 ∵函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数,∴图象的对称轴x=-在区间[0,+∞)的左边或-=0,即-≤0,得b≥0. (2)已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的值为________. 答案 -1或3 解析 由于函数f(x)的值域为[1,+∞), 所以f(x)min=1.又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4, 当x∈R时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1, 即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1. (3)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1 答案 解析 由题意得a>-对1 又-=-22+,<<1, ∴max=,∴a>. 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 研究二次函数的性质,可以结合图象进行;对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图象的影响,进行分类讨论. 例设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值. 解 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为x=1. 当t+1≤1,即t≤0时,函数图象如图 (1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数, 所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t<1 (2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f (1)=1; 当t≥1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2. 综上可知,f(x)min= 1.幂函数y=f(x)经过点(3,),则f(x)是( ) A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 答案 D 解析 设幂函数的解析式为y=xα,将(3,)代入解析式得3α=,解得α=,∴y= ,故选D. 2.幂函数y= (m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( ) A.0B.1 C.2D.3 答案 C 解析 ∵y= (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,
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