八年级数学下册直角三角形角平分线的性质角平分线性质定理的应用练习新版湘教版.docx
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八年级数学下册直角三角形角平分线的性质角平分线性质定理的应用练习新版湘教版
课时作业(八)
[1.4 第2课时 角平分线性质定理的应用]
一、选择题
1.下列说法:
①在△ABC中,AB的垂直平分线是A,B两点的对称点;②角的两边关于角平分线所在的直线对称;③在等腰三角形ABC中,两腰AB,AC关于∠A的平分线所在的直线对称;④在角的内部,到角两边距离相等的点一定在这个角的对称轴上;⑤一个角的对称轴上的点到这个角的两边的距离相等.其中正确的有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
2.如图K-8-1,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC交CD于点E,BC=7.5,DE=2,则△BCE的面积为
( )
图K-8-1
A.10B.7C.7.5D.4
3.在正方形网格中,∠AOB的位置如图K-8-2所示,到∠AOB两边距离相等的点应是( )
图K-8-2
A.点M B.点N C.点P D.点Q
4.如图K-8-3,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧相交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则有下列说法:
①AD平分∠BAC;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正确的有( )
图K-8-3
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图K-8-4,△ABC的面积等于6,边AC=3.现将△ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的点C′处,点P在直线AD上,则线段BP的长不可能是( )
图K-8-4
A.3B.4C.5D.6
二、填空题
6.如图K-8-5,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若两平行线间的距离为6,则OE=________.
图K-8-5
7.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是________.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,O是三个内角平分线的交点,AC=3,BC=4,点O到三边的距离r=________.
三、解答题
9.如图K-8-6,某新建住宅小区里有一块三角形绿地,现准备在其中安装一个照明灯P,使它到绿地各边的距离相等.请你在图中画出安装照明灯P的位置.
图K-8-6
10.如图K-8-7,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,且DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:
∠1=∠2.
图K-8-7
11.如图K-8-8,AE平分∠BAC,BD=DC,DE⊥BC,EM⊥AB,EN⊥AC,垂足分别为D,M,N.求证:
BM=CN.
图K-8-8
12.如图K-8-9,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点.PD⊥OA交OA于点D,PE⊥OB交OB于点E,F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:
DF=EF.
图K-8-9
13.如图K-8-10,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
求证:
AD垂直平分EF.
图K-8-10
分类探究观察、猜想、探究:
在△ABC中,∠ACB=2∠B.
(1)如图K-8-11①,当∠C=90°,AD平分∠BAC时,求证:
AB=AC+DC;
(2)如图K-8-11②,当∠C≠90°,AD平分∠BAC时,线段AB,AC,DC之间又有怎样的数量关系?
(3)如图K-8-11③,当AD平分△ABC的外角时,线段AB,AC,DC之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.
图K-8-11
详解详析
课堂达标
1.[解析]B 在△ABC中,AB的垂直平分线是A,B两点的对称轴,故①错误;②③④⑤都正确.
2.[解析]C 过点E作EK⊥BC于点K.
∵BE平分∠ABC,CD⊥AB,
∴EK=DE=2,
∴△BCE的面积=
BC·EK=
×5×2=5.
故选C.
3.A
4.[解析]D 根据作图的过程可知,AD平分∠BAC.故①正确;
∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=
∠BAC=30°,
∴∠ADC=90°-∠CAD=60°.故②正确;
∵∠BAD=∠B=30°,∴AD=BD,
∴点D在AB的垂直平分线上.故③正确;
∵在Rt△ACD中,∠CAD=30°,
∴CD=
AD,
∴BC=CD+BD=
AD+AD=
AD.
∵S△DAC=
AC·CD=
AC·AD,S△ABC=
AC·BC=
AC·
AD=
AC·AD,
∴S△DAC∶S△ABC=(
AC·AD)∶(
AC·AD)=1∶3,故④正确.
综上所述,正确的结论是①②③④,共4个.
5.[解析]A 如图,过点B作BE⊥AC于点E,BE′⊥AC′于点E′,易知AB平分∠DAC,先利用三角形的面积公式求出BE=4,得BE′=4,由垂线段最短可知BP≥BE′,可得正确答案.
6.[答案]3
[解析]如图,过点O作OF⊥AB于点F,OG⊥CD于点G.
∵∠ACD与∠BAC的平分线相交于点O,
OE⊥AC,
∴OE=OF=OG.
∵FG=6,
∴OE=3.
故答案为3.
7.[答案]4∶3
[解析]如图,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,D为∠BAC的平分线AD上一点,则DE=DF.由AB=4,AC=3,△ABD的面积为
AB·DE,△ACD的面积为
AC·DF,从而得到△ABD与△ACD的面积之比即AB与AC之比,故答案为4∶3.
8.1
9.解:
∵照明灯到绿地各边的距离相等,∴照明灯P的位置为△ABC的角平分线的交点,如图.
10.证明:
如图,连接AD.
∵AB=AC,D是BC边的中点,
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
∴∠1=∠2.
11.证明:
如图,连接BE,EC.
∵BD=DC,DE⊥BC,
∴BE=CE.
∵AE平分∠BAC,EM⊥AB,EN⊥AC,
∴EM=EN,∠EMB=∠ENC=90°.
在Rt△BME和Rt△CNE中,
∵BE=CE,EM=EN,
∴Rt△BME≌Rt△CNE,
∴BM=CN.
12.证明:
∵点P在∠AOB的平分线OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE,∠DOP=∠EOP,∠PDO=∠PEO=90°,
∴∠DPF=90°-∠DOP,∠EPF=90°-∠EOP,
∴∠DPF=∠EPF.
在△DPF和△EPF中,
∵PD=PE,∠DPF=∠EPF,PF=PF,
∴△DPF≌△EPF,
∴DF=EF.
13.证明:
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°,
∴△AED≌△AFD,
∴AE=AF,
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
又∵DE=DF,
∴点D在线段EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF.
素养提升
解:
(1)证明:
过点D作DE⊥AB,垂足为E.
∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∵AD=AD,DC=DE,
∴Rt△ACD≌Rt△AED,
∴AC=AE.
∵∠ACB=2∠B,∠C=90°,
∴∠B=45°.
∵DE⊥AB,
∴∠BDE=45°,
∴BE=DE=DC.
∵AB=AE+BE,
∴AB=AC+DC.
(2)AB=AC+DC.
理由:
在AB上截取AG=AC,连接DG.
∵AD平分∠BAC,
∴∠GAD=∠CAD.
在△ADG和△ADC中,
∵AG=AC,∠GAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ADG≌△ADC,
∴DG=DC,∠AGD=∠ACB.
∵∠ACB=2∠B,∴∠AGD=2∠B.
又∵∠AGD=∠B+∠GDB,
∴∠B=∠GDB,
∴BG=DG=DC,
则AB=BG+AG=DC+AC.
即AB=AC+DC.
(3)AB=DC-AC.
证明:
在AF上截取AG=AC,连接DG.
∵AD平分∠FAC,
∴∠GAD=∠CAD.
在△ADG和△ADC中,
∵AG=AC,∠GAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ADG≌△ADC,
∴DG=DC,∠AGD=∠ACD,
即∠ACB=∠FGD.
∵∠ACB=2∠B,
∴∠FGD=2∠B.
又∵∠FGD=∠B+∠GDB,
∴∠B=∠GDB,
∴BG=DG=DC,
则AB=BG-AG=DC-AC.
即AB=DC-AC.
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