数与形教学实录与评析Word文件下载.docx
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因为穿上高跟鞋,女人看起来很美。
生2:
因为芭蕾舞演员踮起脚尖转得快。
(再出示黄金分割点0.618)因为穿上高跟鞋和踮起脚尖以后,看起来就更高挑、更优美。
其实,在人们追求“美”的背后,实际上是在追求黄金分割点0.618,也就是在人体上身和下身的比例达到百分之六十一点八的时候,人的形体是最美的。
看来,使我们生活如此美妙的数与形之间真的还有许多的秘密!
同学们想不想继续探究?
(学生兴趣高涨地回答“想”)这节课,老师就带领同学们一起研究“数与形”,齐读一遍。
“与”)
二、溯本求源、数形结合,植入策略
1.依形思数,依数思形。
(1)依形思数.
要探讨“数与形”的秘密,先让我们从简单的开始吧。
(出示课件)你看到了什么?
我看到了16根小棒.
我看到了4个正方形。
生3:
我看到了4个“口”字。
生4:
我看到了每个正方形里都有4个90度。
生5:
我看到了每个正方形里有4根小棒。
生6:
我还看到了每个正方形里都有360度。
小结:
从“形”能够看到许多的数,这就是一种智慧,那么,由数你能想到一些形吗?
(2)依数思形。
你能让数字1说话吗?
(出示课件)
1张嘴。
1个太阳。
1把椅子。
4个1就组成一张口,一张口就可以说话。
......
1张桌子、1把椅子、1个太阳、1个同学、1棵大树、1架飞机......最后就把这些“形”抽象成一个数学符号“1”表示。
可是,数字“1”说:
“我不是你们说的那些,我的形体是1个正方形。
”结果数字“3”也跑来说:
“我的形体是3个正方形。
”那么,同学们能否根据他们的形体,用图形表示“1+3”吗?
它是一个正方形,正方形的面积等于(边长乘边长)。
数字“5”也不甘示弱:
“我的形体是5个正方形。
”大家会用图形表示“1+3+5”吗?
它又是一个正方形,正方形的面积等于(边长乘边长)。
通过刚才的那个“口”的形状,我们看出来许多数,透过数字“1”,我们又能说出许多的形状,也就是:
当只有形的时候,就让数来说说话,当只有数的时候,就让形来帮忙表达。
如果该节课能够在数与形之间建立一种联系,引导学生穿梭在数与形之间,游走在数形结合里。
那么,这节课的学习一定是成功的!
2.策略求形,植入策略。
(1)出示特大数列,设置矛盾冲突、激发探究欲望。
课件:
10秒算结果:
1+3+5+7+9+11+…+99997+99999=?
老师计时,……5、4、3、2、1、停。
(课件出示结果)(学生是无法做出的,意在设置矛盾冲突)想知道吗?
我告诉你,因为99999接近10万,10万的一半就是5万,5万的平方就是25亿(2500000000)。
想知道我是怎样算出来的吗?
(学生异常兴奋地说出“想”)我们今天学习的是什么?
(“数与形”),那么,这些数字,我们就用图形来帮助表达一下嘛!
但是,这个天外来物(指题目)的大数据,能画这么大的图形吗?
肯定不能,那怎么办呢?
就采用“数形结合”“以小见大”(板书:
“数形结合”“以小见大”)的策略吧!
我们不看后面很大的数,只要分别用图形表达出前面的几个数,就能找出这组数计算的规律啦!
大家想不想试试?
(学生兴高采烈地说“想”)
(2)借助提供信息,创造以小见大,体现数形结合。
(出示课件并齐读)根据以下信息,用彩笔创造一个“数形结合”“以小见大”的几个图形分别表示1,1+3,1+3+5,1+3+5+7……就知道下面题目怎么计算了。
(展示学生创造的数形结合图形如下)
11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9
(3)展示数形结合,寻找数列规律,构建数学模型。
①为了在点子图上摆出更具体直观的图形,我送你们一张点子图(贴到黑板上)来体现“以小见大”的策略,老师先摆这列数的第一个数“1”,这是一个方格,这个方格是正方形,正方形的面积等于(边长乘边长),也就是1乘1得1的平方。
(如图一,板书:
1=12)
②为了体现这列数的前两个数的图形,老师再接着摆第二个数字“3”,所有磁块的个数就是“1+3”,(如图二)它又组成了一个正方形,这个正方形的面积等于?
(2乘2得2的平方)(贴板书:
1+3=22)
③同学们,老师就摆到这里。
下面你们敢仿照老师的摆法往下摆吗?
(学生摆出图三)你摆出的总个数怎样记录?
(贴板书:
1+3+5=32)
④谁还敢往下摆?
(学生摆出图四)你摆出的总个数又怎样记录?
1+3+5+7=42) ⑤谁敢再往下摆并且记录总个数?
(学生摆出图五,贴板书:
1+3+5+7+9=52)
……
⑥教师出示课件讲解:
老师也用“以小见大”的策略摆出了一些图形,想不想看看?
课件演示请同学们一边数,一边帮着记录小正方形的总个数。
1=1=12;
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52……
⑦观察数列,构建模型。
观察1+3+5+7+9=25=52:
a.你是做加法加得25、还是做乘法,乘得25?
(做乘法五五二十五)。
那么,为什么一道加法算式题你却用乘法来做呢?
(因为用加数的个数相乘比较简便)
b.你发现“加数的个数”与“结果”之间有什么规律?
我发现有几个连续的奇数相加,他们的和就等于几的平方。
c.什么样的一列数具有这种算法呢?
必须是连续的奇数。
必须是从1开始的连续的奇数。
对,从1开始的连续奇数相加,他们的和等于连续奇数个数的平方。
三、进行训练、应用模型,巩固策略
1.数形结合、逆向训练。
下面各数分别是哪些数相加的和?
敢挑战吗?
(课件出示)
(1)1+3+5+7+9+11+13=()
【72=49】
(2)8?
=哪些数相加?
()(扳着手指算一算:
就是从1+3+5+7+9+11+13+15=82=64,就是从1开始,共有8个连续奇数相加。
)
(3)10?
()(再扳着手指算一算就是:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=100,就是从1开始,共有10个连续奇数相加。
72、82、102其实就是边长是7、8、10的正方形的面积。
102等于从1开始的10个连续奇数相加的和,即:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=100。
同时,我们还可以这样思考:
1~20中,1+3+5+7+9+11+13+15+17+19这一半正好是奇数。
而另外一半的数字看不到,看不到的一半(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)则是偶数。
那么,请问:
1~100中从1开始的连续奇数有几个?
(50个)连续偶数有几个呢?
(50个)
2.依数解形、前后呼应。
难题解答(出示(贴的)板书:
逐一覆盖最后两个数)
(1)1+3+5+7+9+11+……+97+99=?
(2)1+3+5+7+9+11+……+997+999=?
(3)1+3+5+7+9+11+……+9997+9999=?
(4)1+3+5+7+9+11+……+99997+99999=?
(1)小题:
因为1至100中有100个数,其中一半是从1开始的连续奇数到99,所以等于502=2500。
(2)小题:
因为1至1000中有1000个数,其中一半是奇数,所以等于5002=250000。
(3)小题:
因为1至10000中有10000个数,其中一半是奇数,所以等于50002=25000000。
(4)小题:
因为1至100000中有100000个数,其中一半是奇数,所以等于500002=2500000000。
3.变式练习、画龙点睛。
(出示(贴)板书:
逐一覆盖最后一个数字)
(1)1+3+5+7+9+11+……+199=?
(2)1+3+5+7+9+11+……+299=?
(3)1+3+5+7+9+11+……+599=?
同学们,我们结合黑板上大家摆的正方形点子图认真观察:
刚才的几道题是不是就是正方形的边长分别是50、500、5000、50000和边长分别是100、150、300的正方形的面积?
确实是这样,难怪我国数学家华罗庚感概地说数无形时少直觉,形少数时难入微。
“数形结合百般好,隔离分家万事休。
”
四、数形相依、强化结合,提升策略
1.图形趣变。
刚才同学们摆的正方形,如果碰一下会怎么样呢?
请看!
(课件出示)那么如果再碰一下又会怎么样呢?
哟!
又变成如此美丽的图案,在这美丽的图案背后还有数学思考呢!
2.趣味填数。
根据下面的图形说一说第5、6、7个数分别是()、()、()。
你是根据怎样的排列规律得出的结果?
第100个数是()。
13610()()()……()
第1个数234567……第100个数
第5、6、7个数分别是15、21、28,我是根据从第二个数开始依次加上2、3、4、5、6、7得到的。
我不是这样填,我是根据第几个数,就用几加到1,比如:
第一个图形=1
第二个图形=2+1=3;
第三个图形=3+2+1=6;
第四个图形=4+3+2+1=10;
所以,
第五个图形=5+4+3+2+1=15;
第六个图形=6+5+4+3+2+1=21;
第七个图形=7+6+5+4+3+2+1=28;
第100个数就是第100个图形=100+99+98+97+……+5+4+3+2+1。
3.梯形与高斯。
你真了不起。
你的这种方法是最好最棒的!
要计算100+99+98+97+……+5+4+3+2+1等于多少?
方法很多:
方法一:
可以用今天学习的知识加上“转化思想”(板书:
转化思想)就能算出来。
把100分成单数和双数:
100+99+98+97+…+5+4+3+2+1。
方法二:
还可以用梯形的面积公式来计算。
请看:
(1)计算第一个梯形里有多少根木头?
木头的根数=(3+7)×
5÷
2=25
(2)计算和在一起有多少根木头?
木头的根数=(3+16)×
14÷
2=133根
(3)如果再在上面再加两层,一直堆到100层,一共有多少根木头?
其实,求1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+………+99+100等于多少?
就是求梯形的面积,根据梯形的面积公式=(上底+下底)×
高÷
2。
所以100层木头的总根数=(1+100)×
100÷
2=5050,数学家高斯在8岁时就会计算了。
当时,他并没有学过梯形的面积公式,他用数形结合、以小见大的思想方法来直观解决这一数学难题的。
即:
高斯求和=(首项+末项)×
项数÷
2=(1+100)×
2=5050。
高斯求和)
五、总结全课、课外拓展,延伸策略
1.名言创改。
(课件出示)通过今天的学习,大家是不是真正体验了当只有“形”的时候,就让“数”来说说话,当只有“数”的时候,就让“形”来帮忙表达。
这节课真正实现了让我们的思维随时穿梭在数与形之间,游走在数形结合里,所以,我非常欣赏华罗庚的名言:
“数形结合百般好,隔离分家万事休”。
但是许老师今天要为同学们改一改:
“数形结合百般好,以小见大万事通。
2.课文拓展。
(课件出示)选择你喜欢的□、○或线段图等,用“数形结合”的思想,把单位“1”逐一平均分成一半、一半、再一半……,思考并且见证“以小见大”解题策略的奇迹!
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