初一升初二暑假数学教材.docx
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初一升初二暑假数学教材
1讲
平方根
月日姓名:
【学习目标】
1、了解算术平方根与平方根的概念,并且会用根号表示;
2、会进行有关平方根和算术平方根的运算;
3、理解算术平方根与平方根的区别和联系,培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】
1、算术平方根:
如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做的算术平方根,记作“a”,读作“根号a”。
注意:
(1)规定0的算术平方根为0,即0=0;
(2)负数没有算术平方根,也就是a有意义时,a一定表示一个非负数;(3)a0(a0)。
2、平方根:
如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根)。
注意:
(1)一个正数a必须有两个平方根,一个是a的算术平方根“a”,另外一个是“-a”,读作“负根号a”,它们互为相反数;
(2)0只有一个平方根,是它本身;
(3)负数没有平方根。
3、开平方:
求一个数a的平方根的运算。
其中a叫做被开方数。
a(a0)
(a0)
观察二者的特征,注意他们的区别与联系。
典型例题】
例1、求下列各数的算术平方根与平方根
1)5
2)100
3)
(4)0
例2、计算
(1)81
5)94
6)7
2)
3)-16
例3、计算
(1)(64)2
3)(7.2)2
4)(-2)2
5)
a+2例4、当aa+-22
有意义时,
a的取值范围是多少?
经典练习】
1、求下列各数的算术平方根和平方根
1)16
2)121
225
3)12
5)(-5)2
4)0.01
2、计算
2)(-0.5)2
3)
64+49
4)0.25
)
)
()
()
()
()
D.±a=±m
3、判断
1)-52的平方根为-5
2)正数的平方根有两个,它们是互为相反数
3)0和负数没有平方根
4)4是2的算术平方根
5)9的平方根是±3
6)因为116的平方根是±14,所以116=±14
4、1-x-2x-1有意义,则x的范围
5、如果a(a>0)的平方根是±m,那么()
A.a2=±mB.a=±m2C.a=±m
【课后作业】
1、
下列各数中没有平方根的数是(
)
C.a0
D.-(a2+1)
A.-(-2)3
B.3-3
2、
a2等于()
A.a
B.-a
C.±a
D.以上答案都不对
3、
若正方形的边长是
a,面积为S,那么
()
A.S的平方根是a
B.a是S的算术平方根
C.a=±S
D.S=a
4、当x时,1-3x是二次根式.
5、要使x+1有意义,则x的范围为
x-2
6、计算
(1)-64
(2)32+42
169
记一记
102=
100
112=
121
122
=144
132
=169
142=
196
152=
225
162=
256
172
=289
182=
324
192
=361
202=
400
252
=625
第6讲立方根
月日姓名:
【学习目标】
1.掌握立方根的概念,并会用根号表示一个数的立方根。
2.能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根,并理解两者之间的互逆关系,同时掌握立方根与平方根的区别。
3.熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。
4.会用立方根解决简单的实际应用问题,提高学生的应用能力。
【知识要点】
1、立方根的概念:
如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(或叫做三次方根)。
2、立方与立方根的关系:
若有x3=a成立,则a是x的立方,x就是a的立方根。
注:
任何数均有立方根,立方根是唯一的;任何数不一定有平方根,平方根是不唯一的。
3、开立方的概念:
求一个数a的立方根的运算叫做开立方,a叫做被开方数。
注:
3a3=a,(3a)3=a
4、正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数注:
正数的立方根大于负数的立方根,0是介于两者之间。
【典型例题】
例1、
(1)由于(-3)3的-27,则是的立方根。
(2)若=b成立,则是的立方;是的立方根。
例2、
(1)2的立方等于多少?
是否有其他的数,他的立方等于8?
(2)-3的立方等于多少?
是否有其他的数,它的立方也是-27?
例3、求下列各数的立方根
3
(1)512
(2)-33(3)0(4)-0.216
8
例4、比较三个数的大小:
3-59,0,36
例5、若a+4+b-12=0,则b-a的立方根是多少?
★例6、已知x=m-nm+n+3是m+n+3的算术平方根,y=m-2n+3m+2n是m+2n的立方根,求y-x的立方根.
【经典练习】姓名:
成绩:
一、填空题:
1、若(0.5)3=0.125,则是的立方根.
2、64的立方根是.
3、-3-8的立方根是二、判断并加以说明.
1、-1的立方根是1;()
82
2、-5没有立方根;()
3、1的立方根是1;()
2166
28
4、-2是-8的立方根;()9729
5、负数没有平方根和立方根;()
6、
a的三次方根是负数,a必是负数;
7、
立方根等于它本身的数只能是0或1;
8、
如果x的立方根是-2,那么x=-8;
9.
-5的立方根是-35;
27
三、选择题:
10、
-1的立方根是没有意义;216
11、-1的立方根是-1;
3
1、
8的立方根是(
2、
3、
4.
A、2
B、-2
364的立方根是(
A、16
C、4
D、
+2
).
B、34
C、
D、
计算25-38的结果是().
A.3
B.7
C.-3
D.-7
下列叙述正确的是().
A.37是7的一个立方根
B.(3-11)的立方是11
C.如果x有算术平方根,则x>0
D.如果x有平方根,它一定有立方根
四、计算题
1、
已知a3+64+b3-27=0,
求(a+b)b的立方根。
★2、若3x+1的平方根是+4,求9x+19的立方根.
)
C、+
x是6-x的立方根,那么(
B、x=6C、
成绩家长签名
()
()
()
()
)
3mD、3-m
)
x6D、x是任意实数
课后作业】姓名
、判断题:
1255
1、125的立方根是+5
7299
2、负数没有立方根
3、-37是-7的立方根
4、若3x=3y,则x=y
5、若xy,则3x3y.选择题
1、若m<0,则m的立方根是(
A、3mB、-3m
2、如果36-
A、x<6
、填空题
1、若x<0,x2=,3x3
2、比较大小:
323-5
3、(-4)2的算术平方根与(-4)3的立方根的乘积是
4、若x=(3-5),则-x-1=
四、求下列各数的立方根.
1)-1
2)1
1000
3)-343
4)1585
五、能力拓展题。
已知7+11=a+b,7-11=c+d,(a,c为整数,b,d为正的纯小数),求b+d的平方根。
第7讲平方根和立方根的应用
月日姓名:
学习目标】
1、进一步了解理解平方根,算术平方根,立方根和开立方的概念;
2、会用根号表示一个数的平方根,算术平方根,立方根,掌握三者的基本运算以及它们与相反数、倒数、绝对值相结合的简单运算;熟练掌握一些基本数的平方和立方,以便解决开平方和开立方的运算。
3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用,让学生知道数学来源于实际生活,增强学生数学的学习兴趣。
知识要点】
1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系:
(1)区别:
A、根指数不同:
平方根的根指数为2,且可以省略不写;立方根的根指数为3,且不能省略不写。
B、被开方的取值范围不同:
平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以是任何数。
C、结果不同:
平方根的结果除0之外,有两个互为相反的结果;算术平方根只有一个,且是正数;立方根的结果只有一。
(2)联系:
二者都是与乘方运算互为逆运算。
特别注意:
(a)2=aa2=a3a3=a(3a)3=a
2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。
3、比较两个无理数的大小:
(1)>b0a>b
(2)a>b3a>3b或a3>b3
4、含有二次根号式子取最小值时,当且仅当被开方数为0,且被开方数为非负数有意义。
5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。
【典型例题】
例1、下列说法,正确的有()
(1)只有非负数才有平方根和立方根;
(2)如果a有立方根,那么a一定是正数;
(3)如果a没有平方根,那么a一定是负数;(4)立方根等于它本身的数是0;(5)一个正数的平方根一定大于它的立方根。
A.1个B2个C3个D4
例2、a.由于43=64,则是的立方;是的立方根。
b.若-a>0,则(a2)2=;3a3=
例3、3-1的相反数是;-2的绝对值是;3(-1)3的倒数是。
例4、A.若a=-32,b=-∣-2∣,c=-3(-2)3,则a、b、c的大小关系是().
A.a>b>c
B.比较大小:
C.b>a>c
D.c>b>a
33m2+1
例5、多项选择题:
下列各数没有算术平方根的是(),有立方根的是()
A.-﹙-2﹚
B.(-3)3
C.(-1)2
D.11.1
例6、如果3x-5+1有意义,则x可以取的最小整数为,若有意义,最小值是。
例7、A、解方程(2x-1)3=-8
B、若a+b-8=0,则ba的立方根是多少?
经典练习】姓名:
成绩:
、判断题
(1)只有正数才有平方根、算术平方根和立方根;()
2)如果a没有平方根,那么a也没有立方根;()
3)如果a有立方根,那么a也有平方根;()
4)算术平方根等于它本身的数为0;()
5)a的三次方根是负数,a必是负数;()
(6)344=434()
6363
、填空题
1、81的平方根是
__,4的算术平方根是
___,10-2的算术平方根
是;
2、a+1+2的最小值是,此时a的取值是。
3、若一个正数的平方根是2a-1和-a+2,则a=,这个正数是;
4、当m时,3-m有意义;当m时,3m-3有意义;
5、5-2的相反数是;-333的倒数是;
选择题
1、
2x+1的算术平方根是2,则x=
()
3
3
1
1
A.-
B.
C.
D.-
2
2
2
2
2、
若一个实数的算术平方根等于它的立方根,
则这个数是(
)
A.0
B.1
C.0和
1D.
-1和1
3、
若-a-b>0,则
(a+b)2=(
).
A.-a-b
B.a+b
C.a-bD.
a+b
4、比较大小:
A.若a=-(-5),b=-∣-1∣,c=-3(-2)3,则a、b、c的大小关系是().
A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a
5、若a<0,则下列各数有平方根的是()
A.-aB.-aC.-aD.--a
四、计算题
1、解方程:
(1)4(x+1)2=8
(2)8(1-x)3=27
2、若a>0,a2-4+b2-3=0成立,则b2a-2a的算术平方根、平方根及立方根分
别是多少?
家长签名
课后作业】姓名
一、判断题:
1、
下列说法中正确的是(
A、-4没有立方根
C、1的立方根是1
6
36
B、1的立方根是±1
D、-5的立方根是3-5
2、
在下列各式中:
3227
30.001=0.1,30.01
=0.1,-3(-27)3=-27,其中正
确的个数是(
3、
A.1
B.
C.3
D.4
下列说法中,正确的是
A、一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数
B、一个有理数的立方根,不是正数就是负数
C、负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是-1,0,1
4、
有意义,则3x=
、.判断下列各式是否正确成立.
(1)若|a|>b,则a2>b2
2)若a>b,则a>b,且a3>b3
(2)33236=33·3236
1、平方根是它本身的数是;立方根是其本身的数是
)
)
)
;算术平方根是其本身
的数是。
2、若a<0,则(3-a)-3=.
3、若a2=1,则3a=.
4、π的5次方根是.
5、若±a=3a,则a是。
6、-0.008的立方根的平方等于.
四、解方程(x-1)=-64.
第8讲实数
月日姓名:
学习目标】
1、了解实数的意义,能对实数按要求进行分类。
2、了解实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义,了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。
理解数轴上的点与实数一一对应关系,并能用数轴上的点来表示任何一个无理数。
3、能利用化简对实数进行简单的四则运算。
在探索分类、化简、运算的过程中,获得解决问题的方法和经验。
知识要点】
1、实数的概念:
有理数和无理数统称为实数,实数有两种分类方法。
按定义分:
实数可以分为有理数和无理数;整数和分数都是有理数,即有限小数或无限循环小数;无理数是无限不循环小数
按正负分:
实数可以分为正实数、0、负实数;正实数分为正有理数和正无理数;正有理数分为正整数和正分数。
负实数分为负有理数和负无理数;负有理数分为负整数和负分数。
注:
(1)对实数进行分类时,可以有不同的方法,但要按同一标准,做到不重不漏。
(2)π也是无理数
2、实数的性质(重点):
有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。
(1)a与b互为相反数a+b=0,且互为相反数的两个数的绝对值相等。
(2)与b互为倒数ab=1,正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,零没有倒数。
(3)绝对值的非负性:
a0
3、比较两个实数的大小:
做差法;平方法;取近似值法;倒数法在数轴上,右边的数总比左边的数大;正数大于负数;正数大于0;负数小于0;两个负数相比较,绝对值大的反而小。
4、实数的四则运算及化简注:
(1)有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用(交换律、结合律、分配律)
(2)化简遵循无理数的化简原则,一直化为最简的为止。
典型例题】
例1、把下列各数按要求分别填入相应的集合内:
2,1,7,9,π,
4
-5,32,20,-5,-38,0,4,0.37377377737777…,0.373773773773773…
有理数集合:
无理数集合:
正数集合:
负数集合:
2
例2、
(1)-2的相反数是,倒数是,绝对值是;
2
(2)在数轴上离原点距离是5的点表示的数是.
(3)-125的立方根是,8的立方根是,0的立方根是。
正数的立
方根是数;负数的立方根是数;0的立方根是。
例3、比较下列各组数的大小:
(1)-3+1与-5+1
(2)35与211
3)11-13与10-14
4)
-22与-4
例4、计算下列各式
2)(3-2)(3+2)
4)(3+2)2(5-26)
3)(-4)2-32+82+62-132-52
例5、若y=2-x+x-2-1,则x是多少?
经典练习】
1、填空题
(1)、在数轴上表示与3的点距离最近的整数点表示的数是。
(2)、已知数轴上两点A、B到原点的距离分别是2和2,则AB=。
(3)、若x+3+y-3=0,则(xy)2001=。
(4)、计算:
18-(2+1)=。
★(5).已知ABC的三边长为a,b,c,且a和b满足a-1+b2-4b+4=0,则c的取值范围为.
2、比较下列各组数大小
⑴14012⑵5-10.5⑶3.14
2
3、已知m,n为实数,且m-3+n-2=0,求mn
4、已知2-x+1-y=0,且x-y=y-x,求x+y的值.
【课后作业】
一、填空题
1、一个的算术平方根是8,则这个的立方根的相反数是.
2、若x2=64,则3x=.
3、2-3的相反数是;绝对值是.
4、化简
(1)2-5=;
(2)3-=.
5、若a,b互为相反数,c,d互为倒数,则a3+b3+3cd=.
6、比较大小:
(1)7667;
(2)1-51-3;
7、已知x-1+1-x有意义,则x的平方根为。
8、已知x-5+y+6+(z+8)=0,求3x+y-z+1的值。
9、若a-b+1与a+2b+4互为相反数,则(a+b)2006=。
二、解答题
1、已知x、y为实数,且y=x-9-9-x+4.求x+y的值.
、计算题
2)(8+13)(8-13)
3)(5-3)2+(1+3)(3-8)
第9讲二次根式的化简月日姓名:
学习目标】
1、本节的重难点是a2的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行,而a2的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质,还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识,在应用中常常需要对字母进行分类讨论。
2、能够利用二次根式的性质化简二次根式,且结果为最简二次根式。
3、通过二次根式的学习,让学生形成分类讨论的数学思想与方法。
知识要点】
1、二次根式的重要性质:
注1:
式子中a2=a中的a可以取任意实数,同时注意与(a)2=a的区别。
注2:
中a既可以是单个数字,单个字母,单项式,也可以是可进行因式分解
的多项式,等等,总之它是一个整体概念。
2、最简二次根式的概念:
满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式;
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3、同类二次根式的概念:
几个二次根式化为最简二次根式以后,如果被开方数相同,则
这几个二次根式成为同类二次根式
典型例题】
6)
例1、计算下列各题,并回答以下问题:
(1);
(2)
(4);(5)
7)
8)
1、各小题中被开方数的幂的底数都是什么数?
2、各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系?
3、用字母表示被开方数的幂的底数,将有怎样的结论?
并用语言叙述你的结论。
例2、填空题
时,
2、当时,
当时,
1、当
3、若(a-1)=1-a,则;
4、当时,
5、当a+2<0时,a2+4a+4的化简结果是;
6、
8m化为最简二次根式是n2
例3、选择题
1)如果-x2=x成立,那么()
(A)x=0(B)x<0
(C)x≥0(D)x≤0
2)下列各式中正确的是(
)
(A)
a2-1=a-1
(B)
ab=bab
(C)
(a+b)2=a+b
(D)
a4=a2
3)下列各组中,是同类二次根式的是()
(A)2与6(B3与9(C)2与8(D)3与6
例4、
(1)化简32a2()
2)若1≤a≤2,化简a2-2a+1+a-2
3)化简x2+8x+16-x2-2x+1(-4 【经典练习】姓名: 成绩: 一、填空题 1、当时,(a)2=a成立。 2、(x-2)= 3、若a>c,则(c-a)2= 4、若a>,则(3a-4)= 5、若a<0,则2a-a2+3a= 二、选择题 ★1、若24n是整数,则正整数n的最小值为()A、3B、4C、5D、6 2、(3-5)+1-3化简的结果为() 暑假培优教材 A、4B、23-6C、6-23D、6 3、若a=9-n(n0)是整数,则a的值是() A、0B、1C、9D、0和9 、化简题 1、若a -a+b-2(a-b) 2、实数a,b在数轴上所对应的点的位置如图 (1)所示,化简b-a-(a+b)2 图 (1) ★3、已知a、b、c为△ABC的三边长,请化简(a-b-c)2-(c+a-b)2。 课后作业】姓名 、选择题 成绩家长签名 1、 (a-1)2=a-1成立的条件是: A.a1 B.a1 C. a1 D.a1 3、 4、 2、 把 化成最简二次根式结果为: B.92 C. D. 已知t<1,化简1-t-t2-2t+1得: A.2-2t
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