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几个典型的代数系统
第六章几个典型的代数系统
本章讨论几类重要的代数结构:
半群、群、环、域、格与布尔代数等.我们先讨论最简单的半群.
6.1半群
定义6.1称代数结构为半群(semigroups),如果*运算满足结合律.当半群含有关于*运算的么元,则称它为独异点(monoid),或含么半群.
例6.1,
半群及独异点的下列性质是明显的.
定理6.1设为一半群,那么
(1)的任一子代数都是半群,称为的子半群.
(2)若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点.
证明简单,不赘述.
定理6.2设,是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态.对半群同态有
(1)同态象
(2)当为独异点时,则
定理6.3设为一半群,那么
(1)
(2)存在S到SS的半群同态.
证(l)是显然的.
为证
(2)定义函数h:
S→SS:
对任意a∈S
h(a)=fa
fa:
S→S定义如下:
对任意x∈S,
fa(x)=a*x
现证h为一同态.对任何元素a,b∈S.
h(a*b)=fa*b(l1-1)
而对任何x∈S,
fa*b(x)=a*b*x=fa(fb(x))=fa○fb(x)
故fa*b=fa○fb,由此及式(l1-1)即得
h(a*b)=fa*b=fa○fb=h(a)○h(b)
本定理称半群表示定理。
它表明,任一半群都可以表示为(同态于)一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
这里同构于
6.2群
群是最重要的代数结构类,也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的.
6.2.1群及其基本性质
定义6.6称代数结构
(1)
(2)
(3)
或者说,群是每个元素都可逆的独异点.群的载体常用字母G表示,因而字母G也常用于表示群.
定义6.7设
(1)若*运算满足交换律,则称G为交换群或阿贝尔群(Abelgroup).阿贝尔群又称加群,常表示为
*常被称为乘).加群的么元常用0来表示,常用-x来表示x的逆元.
(2)G为有限集时,称G为有限群(finitegroup),此时G的元素个数也称G的阶(order);否则,称G为无限群(infinitegroup).
例6.6
(1)(整数集与数加运算)为一阿贝尔群(加群),数0为其么元.
(2)(正有理数与数乘)为一阿贝尔群,1为其么元.
不是群,因为数0无逆元.
(3)
(4)设P为集合A上全体双射函数的集合,○为函数合成运算.那麽
为一群.A上恒等函数EA为其么元。
一般不是阿贝尔群.
群的下列基本性质是明显的.
定理1l.9设
(1)G有唯一的么元,G的每个元素恰有一个逆元.
(2)关于x的方程a*x=b,x*a=b都有唯一解.
(3)G的所有元素都是可约的.因此,群中消去律成立:
对任意a,x,y
S
a*x=a*y蕴涵x=y;x*a=y*a蕴涵x=y
(4)当G≠{e}时,G无零元.
(5)么元e是G的唯一的等幂元素.
证
(1),
(2),(3)是十分明显的.
(4)若G有零元,那么它没有逆元,与G为群矛盾。
(注意,G={e}时,e既是么元,又是零元.)
(5)设G中有等幂元x,那么x*x=x又x=x*e所以x*x=x*e
由(3)得x=e。
由(3)我们得知,特别地,当G为有限群时,*运算的运算表的每一行(列)都是G中元素的一个全排列.从而有限群
定理6.10对群
(1)(a-1)-1=a.
(2)(a*b)-1=b-1*a-1
(3)(ar)-1=(a–1)r(记为a–r)(r为整数).
证
(2)(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=e
(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=e
因此a*b的逆元为b-1*a-1,即(a*b)-1=b-1*a-1.
(3)对r归纳.
r=1时命题显然真.设(ar)-1=(a–1)r,即(a–1)r是ar的逆元.那么
ar+1*(a–1)r+1=ar*(a*a-1)*(a–1)r=ar*(a–1)r=e
(a–1)r+1*ar+1=(a–1)r*(a-1*a)*ar=(a–1)r*ar=e
故ar+1的逆元为(a–1)r+1,即(ar+1)-1=(a–1)r+1.归纳完成,
(2)得证.
对群
a0=e,对任何正整数m,am+1=am*a,又据定理6.1O,在群中可引入"负指数幂"'的概念:
a-m=(a-1)m,且容易证明:
定理6.11对群
(l)am*an=am+n
(2)(am)n=amn
如果我们用aG和Ga分别表示下列集合
aG={a*g|g∈G},Ga={g*a|g∈G}
那么我们有以下定理.
定理6.12设
特别地,当G为有限群时,*运算的运算表的每一行(列)都是G中元素的一个全排列.
证aG⊆G是显然的.
设g∈G,那么a–1*g∈G,从而a*(a–1*g)∈aG,即g∈aG.因此G⊆Ga.
aG=G得证.Ga=G同理可证.
这一事实的一个明显推论是:
当G为有限群时,*运算的运算表的每一行(列)都是G中元素的一个全排列.从而有限群
表6.2
*
e
*
e
a
*
e
a
b
E
e
e
e
a
e
e
a
b
a
a
e
a
a
b
e
b
b
e
a
对群还可以引入元素的阶的概念.
定义6.8设
例6.7
(1) 任何群G的幺元e的阶为1,且只有幺元e的阶为1。
(2) 中幺元0的阶为1,而整数a10时,a有无限阶.
(3)
关于元素的阶有以下性质.
定理6.13有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数|G|.
证设a为G的任一元素,考虑e=a0,a1,a2,…,a│G│
这|G|+1个G中元素.由于G中只有|G|个元素,因此它们中至少有两个是同一元素,不妨设
ar=as(0≤r
于是as-r=e,因此a有有限阶,且其阶数至多是s-r,不超过群G的阶数|G|.
定理6.14设
证先证充分性.
设ak=e,k整除n,那么n=kr(r为整数),因为ak=e,所以an=akr=(ak)r=er=e。
再证必要性.
设an=e,n=mk+r,其中m为n除以k的商,r为余数,因此0≤r<k。
于是
e=an=amk+r=amk*ar=ar
因此,由k的最小性得r=0,k整除n.
定理6.15设
证只要证a具有阶n当且仅当a-1具有阶n。
由于逆元是相互的,即(a-1)-1=a,同此只需证:
当a具有阶n时,a-1也具有阶n。
设a的阶是n,a-1的阶是m。
由于(a-1)n=(an)-1=e-1=e
故m≤n。
又因为am=((a-1)m)-1=e-1=e
故n≤m。
因此,n=m。
6.2.2子群、陪集和拉格朗日定理
定义6.9设
子群有下列特征性(判别法).
定理6.16设
(l)G的么元e∈H.
(2)若a,b∈H,则a*b∈H.
(3)若a∈H,则a-1∈H.
证先证必要性.
设H为子群.那么
(2)是显然的(因H为子代数).为证(l),设
由于在G中只有e是等幂元,故e’=e,e∈H得证.为证(3)设
充分性是明显的.事实上只要条件
(2),(3)便可使
(2)(3)蕴涵条件(l).因此,可用
(2),(3)来判别非空子集H是否构成G的子群
显然,对任何群G,<{e},*>及
例6.8
(l)群
<{0,3},+6>和<{0,2,4},+6>
(2)设E⊆I,E为偶数集。
那么
对于有限群,子群的判别更为简单.
定理6.17设
证由于G为有限群,H必为有限集.设|H|=r,a∈H.考虑
a1,a2,…,ar+1,…
它们都在H中(H对*运算封闭),因此必定有ai=aj(0≤i e∈H. 若H={e}, 若H≠{e},设a为H中任一不同于e的元素.同上可证,有k≥2使ak=e,从而有 a*ak-1=ak-1*a=e 因此,ak-1=a-1∈H. 据定理6.16, 由于我们采用的上述证明方法仅仅依赖H的有限性,可见本定理可加强为: 设 和子群概念直接相关的是陪集的概念. 定义6.10设 gH={g*h|h∈H},Hg={h*g|h∈H} 关于左(右)陪集我们有以下定理. 定理6.18设 (1)当g∈H时,gH=H(Hg=H)。 (2)对任意g∈G,|gH|=|H|(|Hg|=|H|). 证(l)由定理6.12立得. 为证 (2),只要证H与gH之间存在双射.定义函数f: H→gH如下: 对任何一h∈H, f(h)=g*h 设h1≠h2,那么f(h1)=g*h1,f(h2)=g*h2,若f(h1)=f(h2),那么由可约性即得h1=h2,与h1≠h2矛盾.f为单射得证.f为满射是显然的.因此f为双射.|gH|=|H|得证.同理可证|Hg|=|H|. 定理ll.19设 证设aH∩bH≠∅,那么有h1,h2∈H使得a*h1=b*h2.于是a=b*h2*h1-1。 为证aH⊆bH,设x∈aH。 那么有h3∈H,使得x=a*h3=b*(h2*h1-1*h3)∈bH.aH⊆bH得证. 同理可证bH⊆aH.于是aH=bH得证.对于右陪集Ha,Hb,同上可证平行的命题. 由于对每一元素g∈G,g∈gH(g∈Hg),gH⊆G(Hg⊆G),因此据以上讨论可以看出,子群H的全体左(右)陪集构成G的一个划分,且划分的各单元与H(亦即陪集eH,He)具有同样数目的元素.由此可导出下列重要的拉格朗日定理(Lagrangetheorem). 定理6.20设 证由以上讨论知|G|=k|H|,其中k为不同左(右)陪集的数目.定理得证. 注意,拉格朗日定理之逆不能成立。 我们将指出一个12阶群、它没有6阶的子群(见练习6.3第11题之(3)).因此,据此定理只可判别一子代数“非子群”,却不可用它来判别一子代数“是子群”。 例6.9拉格朗日定理可用于证明下列事实: (1)有限群 设a为G中任一元素,a的阶为r.那么<{e,a,a2,…,ar-1},*>必为G的r阶子群,因此r整除|G|。 (2)质数阶的群没有非平凡子群. 利用陪集还可定义陪集等价关系. 定义6.11设 定义G上H的左(右)陪集等价关系~。 对任意a,b∈G a~b当且仅当a,b在H的同一左(右)陪集中 显然,~确为一等价关系.关于~有下列事实。 定理6.21设~为群G上H的左(右)陪集等价关系,那么 a~b当且仅当a-1*b∈H 证设a~b,则有g∈G,使a,b∈gH,因而有hl,h2∈H,使得a=g*h1,b=g*h2.于是 a-1*b=(g*h1)-1*(g*h2)=h1-1*h2∈H 反之,设a-1*b∈H,即有h∈H使a-1*b=h。 因而b=a*h∈aH。 而a∈aH显然,故a,b在同一左陪集aH中,a~b真. 对右陪集等价关系同理可证上述定理. 6.2.3循环群 定义6.13称 元(generater). 例6.12 (1)为循环群,1或(-l)为其生成元. (2)令A={2i|i∈I},那么(·为数乘)是循环群,2是生成元. (3) 关于循环群的下列性质是明显的. 定理6.26设 (1)G为阿贝尔群. (2)G的h同态像是以h(g)为生成元的循环群. (3)G为无限循环群时必同构于. (4)G为有限循环群时,必有 G={e,g,g2,…,gn-1} 其中n=|G|,也是g的阶.从而n阶循环群必同构于 定理6.27循环群的子群都是循环群. 证设 (1)若H={e},显然H为循环群. (2)若H≠{e},那么H中有gi(i≠0).由于H为子群,H中必还有g-i.因此,不失一般性,可设i为正整数,并且它是H中元素的最小正整数指数.现证H为gi生成的循环群. 设gj为H中任一元素.令j=mi+r,其中m为i除j的商,r为剩余,0≤r<i.于是 gj=gmi+r=gmi*gr gr=g-mi*gj 由于gj,g-mi∈H,(因gmi∈H),故gr∈H,根据i的最小性,r=0,从而gj=gmi=(gi)m,H为循环群证讫. 根据上述定理,立即可以推得以下定理. 定理6.28设 (1)若G为无限群,则G有无限多个子群,它们分别由g0,g1,g2,g3,…生成. (2)若G为有限群,|G|=n,且n有因子k1,k2,k3,…,kr,那么G有r个循环子群,它们分别由gk1,gk2,gk3,…生成.(注意这r个子群中可能有相同者.) 例6.13 (1)有循环子群: <{0},+>,<{0,2,-2,4,-4,…},+>,<{0,3,-3,6,-6,…},+>,<{0,4,-4,8,-8,…},+>,…, (2) <{0},+6>,<{0,2,4},+6>,<{0,3},+6>, 6.2.4置换群 定义6.14称有限集上的双射函数为置换.称任意集合上的双射函数为变换. 例6.14设A={l,2},那么A上有两个置换: 当A={1,2,3}时,A上有6个置换: 一般地,A={a1,a2,…,an}时,A上有n! 个置换.置换p满足p(ai)=aji时,可表示为 置换的合成运算通常用记号○表示之,对置换的独特表示形式计算它们的合成时,可像计算两个关系的合成那样来进行.例如: ○ = ○ = 因此,应当注意 (pi○pj)(x)=pj(pi(x)) 对于置换的合成运算而言,A上置换的全体中有么元----恒等函数,又称么置换,且每一置换都有逆置换,因此置换全体构成一个群。 定义6.15将n个元素的集合A上的置换全体记为S,那么称群 对置换群稍作推广便有变换群的概念. 定义6.16对任意集合A定义集合S S={f|f∈AA∧f为双射} 那么群 像定理6.3那样,可以证明下列群表示定理. 定理6.30每个群均同构于一个变换群,特别地,每一个有限群均同构于一个置换群. 证设 G→G如下。 fa(x)=a*x (请读者自行证明fa确为双射)令 F={fa|a∈G} 现证 (l)F对○运算封闭。 设fa∈F,fb∈F,那么a∈G,b∈G.考虑fa○fb。 : 对任意x∈G, fa○fb(x)=fa(fb(x))=a*b*x=fa*b(x) 即fa○fb=fa*b。 由于a*b∈G,fa*b∈F,故fa○fb∈F. (2)○运算显然满足结合律. (3)○运算有么元fe∈F.e为群G的么元。 (4)F中每一元素fa均有逆元fa-1.这是因为由a∈G知a-1∈G,从而fa-1∈F,并且对任意x∈G,fa○fa-1(x)=a*a-1*x=x=e*x=fe(x),即fa○fa-1=fe。 再证 G→F,使得对任一x∈G,h(x)=fx.显然h为双射(请读者自证).另仿 (1)可证h保运算,即对G中任意元素x,y,有 h(x*y)=fx*y=fx○fy=h(x)○h(y) 6.3环和域 这一节我们要讨论含有两个二元运算的代数结构,环和域. 6.3.1环 下文中符号+,·表示一般二元运算,分别称为加、乘运算(未必是数加和数乘),并对它们沿用数加、数乘的术语及运算约定,例如,a,b的积表示为ab,n个a的和a+…+a表示为na,n个a的积表示为an等. 定义6.17称代数结构 (1) (2) (5)乘运算对加运算可分配,即对任意元素a,b,c∈R, a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca 例6.16 (1)(I为整数集,+,·为数加与数乘运算)为一环. (2) a⨯k(b+kc)=a⨯k((b+c)modk) =(a(b+c)(modk))(modk) =(a(b+c))(modk) =(ab+ac)(modk) =ab(modk)+kac(modk) =a⨯kb+ka⨯kc (其中x(modk)表示x除以k的剩余)且同理可证(b+kc)⨯ka=b⨯ka+kc⨯ka. (3)所有整数分量的n⨯n方阵集合Mn与矩阵加运算(+)及矩阵乘运算(◦)构成一环,即, (4)所有实系数多项式(以x为变元)的集合R[x]与多项式加,乘运算构成环,即 (5)<{0},+,·>(其中0为加法么元、乘法零元)为一环,称为零环。 (其它环至少有两个元素.) (6)<{0,e},+,·>(其中0为加法么元、乘法零元,e为乘法么元)为一环. 环有下列基本性质. 定理6.31设 (1)0a=a0=0(加法么元必为乘法零元) (2)(-a)b=a(-b)=-ab(-a表示a的为n次对称群(symmetricgroup),它的子群又称为n次置换群(permutationgroup).及其子群称为变换群,其中○为函数的合成运算.
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