斯坦福ICME微讲座文字福利世毕.docx
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斯坦福ICME微讲座文字福利世毕
斯坦福ICME微讲座文字福利(世毕盟留学)
斯坦福ICME微讲座文字福利
大家下午好!
今天很荣幸受到世毕盟邀请,给大家讲讲应用数学方向的学习、科研和申请方面的一些话题,也聊聊我自己的科研以及在StanfordICME的学习生活。
我待会儿要讲的都只是来自我有限的见闻和理解,有些可能只适用于ICME,Stanford或者湾区,如果有所偏颇,还请大家指出。
首先请允许我做一个简单的自我介绍。
我在北大期间曾于2012、2013和2014年连续获得国家奖学金,于2012年获校三好学生称号,于2013年获校三好学生标兵称号,并于2014年获北京大学创新奖,还曾获得包括丘成桐大学生数学竞赛团体银奖、美国大学生数学建模竞赛一等奖等多项荣誉。
科研方面,我曾先后在张平文教授的指导和国家创新立项基金的资助下完成准晶数值模拟和风电功率预测两项研究,其中后者目前已开始软件化并处于上线测试阶段。
我还曾先后担任校学生工作宣传骨干中心基础公文部部长和院文艺部部长、院本科生2011级党支部宣传委员、院青年志愿者协会秘书长、院本科生2011级党支部组织委员和院本科生2011级4班团支书记、院本科生2011级党支部书记、院团委学术科创部部长。
目前,我正在StanfordICME项目以StanfordGraduateFellowshipScholar的身份攻读Ph.D。
那么在接下来的时间里,我打算主要讲三个问题,其中也将穿插我的一些科研经历和ICME的方向的介绍:
1.应用数学到底是什么,学应用数学有必要出国么?
2.应用数学方向的科研应该怎么做?
3.应用数学方向的申请有哪些需要注意的地方?
1.应用数学到底是什么,学应用数学有必要出国么?
广义地来讲,应用数学是可以把任何“应用了数学”的学科涵盖进来的,也就是说只要将数学工具和某个专门领域结合起来,就能算作一个应用数学的分支。
在这个意义下,生物数学、金融数学等自然都可以算在应用数学的名下。
但无论是从课程设置还是从教授研究方向来看,大学所开设的应用数学方向都通常要更局限一些。
如果一个项目标榜自己是做AppliedMathematics的,那么通常就等同于是在说自己大多数时间都是在和Ax=b以及偏微分方程打交道的了。
事实上,无论是北大还是斯坦福,应用数学Faculty们最常见的研究方向都离不开物理和工程,譬如计算流体力学和数值偏微分方程就是非常主要的方向,而在这些领域中,数值线性代数和PDE都是基石。
有趣的是,应用数学(尤其是研究生项目)的生源和出路却远远不止于此。
事实上,应用数学的学生来源往往极其多样,涵盖了从数学、CS、EE、物理到生物等诸多学科;而与此相应的,学生在出路上也往往十分有着非常多样的选择。
应用数学的综合性和复杂性在ICME体现的尤其明显。
以我们的六门博士生资格考试的核心课程为例,包括了数值代数、理论PDE、数值PDE、离散数学、随机模拟和数值优化等方差非常大的课程。
这不仅仅是对申请者的挑战,也是对在读博士生的挑战。
ICME所招收的博士生生源极其丰富,包括数学、物理、生物、计算机等等,这也使得不少博士生无法通过资格考试(ICME的博士生资格考试有两次机会,如果第二次也没有通过全部课程,但fail的课程比较少,则可以通过选修相关课程并获得A类等级来弥补)。
而对申请者而言,无论是为了挤进ICME及类似的应用数学项目,还是为了之后的学业和科研,我都建议大家不要有所偏颇,对数学的方方面面都要有所涉猎。
尤其是很多同学会在连续类型(例如分析、微分方程)和离散类型(例如组合数学、图论)的数学分支方面有所偏科(例如我就不太擅长离散数学),但建议大家无论自己是否适应,都要努力同时听两方面的课程(哪怕只是旁听)。
下面我就简单的来讲讲我对攻读应用数学Ph.D.需要准备哪些方面知识的建议,大家如果之后想要申请ICME或者类似的项目,不妨在阅读、选课和科研时参考参考
在我的理解中,应用数学可以分成两个部分——基础部分和发展部分。
在基础部分,有三大工具和两大方法论。
三大工具即数值线性代数、微分方程/积分变换以及数值最优化,而两大方法论即建立模型和设计算法。
先说说三大工具:
第一大工具,数值线性代数,几乎是整个应用数学的基础——微分方程/积分变换和优化问题的(迭代)计算求解最终也通常是归结到求解一系列的Ax=b的。
事实上,一般的连续问题和一些看似基于计数(counting)的组合数学问题,也离不开数值线性代数。
连续问题离散化之后,其中的数据几乎总能以矩阵的形式存储下来,例如大家在手机、电脑等媒介上看到的图片,本质上也就是一个矩阵,每一个位点都有一个数值表示颜色。
而组合数学问题则很多时候可以转化为等价的或近似的优化问题,最后又归结到线性方程组的求解,这一点具体我们下面再讲。
第二大工具,微分方程/积分变换,则是应用数学在自然科学和工程领域的主要接口——从物理规律、化学反应到生物种群,从电子元件到工程结构,人们已经发展出数以千记的偏微分方程和常微分方程来对规律进行刻画,并且在定性和定量的研究上都取得了长足的进展。
而包括Radon变换和Fourier变换在内的诸多积分变换,则为图像处理、电子元件设计甚至医疗(例如CT以及核磁共振)等领域提供了坚实的基础。
第三大工具,优化,则是衔接应用数学和社会科学的纽带——优化带有某种行为科学的含义,通常和“决策”紧密相连。
也因此,如何设置红绿灯以减少交通事故,如何安排服务人员以减少等待时间,以及如何进行投资组合以实现利润最大化,这些都可以用优化来解决。
值得一提的是,微分方程和优化也有非常紧密的关系。
事实上,物理上的很多微分方程都有对应的变分问题,而变分问题本质上就是一个无穷维的优化问题。
再谈谈两大方法论。
一是建立模型。
建立模型,实际上就是在各类数学建模竞赛中做的那些事情,相信很多同学都已经有不少的经验了。
但要做出一个好的模型,既要有在背景问题方面的丰富知识和直觉,又要能将其联系到一个合适的数学问题,实在是一门艺术,而其中前者的重要性往往会为我们这些学数学的人所忽视。
这也是为什么大多数举世闻名的模型,尤其是在物理学和经济学领域,都是由有着较强数学背景的相应专业领域的人做出来的。
例如核磁共振,虽然有着相当完整的数学理论,但其创造者却是地地道道的物理学家和化学家。
二是设计算法。
设计算法,则是从来自各种模型的问题中提炼出共同的问题,再将其化归为典型的问题,并进行求解。
近年来,做算法越来越倾向于以结构性非常强、非常特殊的问题为对象,并将一些现有的高效算法进行修改和组合了——这也使得本科生也能比较容易的进入到这个领域中来,做出一些不错的研究。
当然,毫无疑问的是,跳出框架来从头设计原创的算法,往往才是大突破的不二法门。
不过,在学术界,对现有算法的理论对比分析变得越来越受到推崇了。
以我现在所做科研的主要方向——优化算法来讲,去年获得INFORMSFinalist大奖的paper就是关于随机排序ADMM算法的期望收敛性的理论证明的。
而且,我也了解到几名13级的学弟学妹做出了很多现有算法的理论分析,并获得了国外教授的赞同。
可见这样的“硬”科研我们本科生也是可以尝试挑战的。
当然,这几位同学的共同特点是都有非常扎实的数学基础(例如冬令营的金牌)。
说完了基础部分,接下来再简单说说应用数学的发展部分。
发展部分事实上就是应用数学基础部分和其他学科进行真正的对接之后产生的交叉领域。
例如和电子工程方向的合作,就催生了让傅里叶分析大放异彩的元件设计和图像处理领域。
而和概率统计方向的合作,则催生了运筹学中的许多大领域,而且中尤其以排队论和Markov决策过程的应用最为广泛。
而大家耳熟能详的各种“学习”,例如机器学习、统计学习和加强学习(ReinforcementLearning,比较浅显的理解就是“左右互搏”),也是应用数学的基础部分(尤其是优化)和计算机、统计等诸多领域共同作用的结果。
ICME这个系诞生的动机之一就是这些交叉学科的产生。
在我们系的所有教授目前都有双重affiliation,而作为博士生的我们则可以在全校范围内(包括商学院)选择教授进行科研。
在Stanford,甚至有教授专门研究法律相关的算法,而研究kidneyexchangenetwork的教授则更是不计其数。
下面,请容我就学习应用数学是否有必要出国(这里主要是指美国)来妄议几句。
首先,总体来说,在美国,尤其是硅谷附近做应用数学最大的优势,就是学术界和业界的相互渗透极其充分。
在斯坦福,教授们开公司或担任公司顾问已经成为一种常态,而学生们即使是以拿教职为目标的也往往会去各种公司做暑期实习。
另一方面,在硅谷,各种公司几乎都有自己的研究实验室,例如MicrosoftResearch,WalmartLab(没错就是那个超市沃尔玛)以及GoogleResearch等等。
这些实验室的研究水平往往丝毫不比斯坦福等学校从事的研究逊色,而且业界在研究方面超过学界的例子也屡见不鲜(例如Google的围棋AIAlphaGo),毕竟事实上两者已经在某种程度上融为一体了。
事实上,业界在硬件设备(如微软的Azure,Nvidia的DirectX)和数据方面都掌握着极大的优势,这一点无论在美国还是中国都是一样的。
但国内最大问题题还是业界和学术界脱节现象普遍严重,公司所使用的工具往往非常滞后,这在我本科生科研和公司进行项目合作时就深有体会。
当然,最近一两年,国内也有了不少新气象。
例如鄂维南老师主导的普林科技以及叶荫宇老师主导的内点公司,就在给学生们提供实习机会和科研机会的同时,也极大地推动了科研成果的转化。
除此之外,由冯康先生引领的数值计算研究,也使得国内在计算数学的这部分领域,包括数值线性代数、计算流体力学以及诸多和物理关系紧密的领域,都在国际上也处于相对领先的地位。
这些都是留在国内学习应用数学的优势。
但是不得不承认,国内在优化和运筹等领域则是相对滞后的——不过,在袁亚湘院士的牵头下,加上近几年不少杰出的青年学者被引进回国,目前这一领域在国内也处于蓬勃发展的状态。
除此之外,上财管科学院也给国内运筹界的发展带来了新的生机。
当然,在某些产业上,应用数学在美国能施展拳脚的范围仍然是国内无法比拟的。
例如影视产业方面,在国内你或许很难想象北大的教授会参与到“美人鱼”的制作,但在斯坦福我们级的一个同学的老板就是从皮克斯动画工作室来的。
另外,国内的一些由政府主导的行业,例如航空航天,很大程度上是禁止一般研究者的参与的。
而在美国,这些领域都有不少的私人企业,例如SpaceX。
当然,这些我的了解也不多,如果说的不对还请大家指正。
当然,说了这么多,最重要的四个字,还是“因人而异”。
你的未来规划、人际交往的习惯以及英语水平都应该成为决定你是否出国的重要标准。
毕竟总的来说,我们这些本科毕业之后才来到异国他乡的人,还是不太能和外国人玩起来的。
2.应用数学方向的科研应该怎么做?
其实这个问题我实在是不太有资格说,毕竟我自己的研究也还没有什么真正拿得出手的好成果,本科生科研也更偏向应用项目而非基础研究。
但毕竟也做出了一些成功和失败的尝试,这里就拣一些和大家分享一下。
首先我简单介绍一下我做的几段科研,也许不典型,但希望也能给大家一些参考。
我的第一段科研是关于准晶(quasi-crystal)的模拟的。
这段科研可以说是一个纯粹的尝试,事实上到现在我都还没有办法清楚的对准晶做出数学上的定义。
不过这段科研带给我的收获确实巨大的——一是让我认识了我的老板,以为非常重量级的教授;二是让我和两位非常优秀的同学建立了非常紧密的合作交流关系;三是催促我读了很多书和paper,也尝试着读了一些代码写了一些程序做了一些数值实验。
不过这个科研从结果上来讲并不顺利。
而在这段科研进展缓慢的期间,我参加了PKU-PSU项目,并和PSU的一位教授合作进行了一个和超大矩阵的最小特征值近似求解算法的科研。
这个科研既让我进一步熟悉了MATLAB,也为我后来学习计算数学做了不少基础知识的准备(例如当时就读了不少BlockKrylovSubpaceMethod的文章,还包括一些有限元方法的后验分析的内容),同时也让我认识到数学在生物学中的巨大用途(这个科研就是解决蛋白质构型分析的)
在这两段短暂的学习性质的科研之后,我很幸运的经指导我准晶科研的教授介绍认识了一位做优化的年轻有为的教授,并在他们的共同指导下开始进行风力发电预测的项目科研。
在这段科研中,我担任项目的学生组长,和另外一位骨干一起很快就将这个组发展到二十余人的规模,并且这个组也成功的一直延续至今。
同时,因为数据来自外面的合作公司,我也很早就接触到和和公司进行research合作的方法。
非常幸运的是,我们的科研结果相当不错,我们的指导教授在国际会议上对我们的科研进行了介绍。
这些也自然成为了我的PS的亮点(例如在科研项目中的领导组织能力等等)。
这个科研的一个副产品则是我在今年春天和组里的一位博士后以及我们的两位指导教授合作的关于风速预测后处理的kernelregression的文章。
目前,我主要在进行两个科研。
其中一个科研是与国内的教授合作的,目前已经有一些阶段性成果,内容则是关于大数据分析中的随机拟牛顿方法的算法。
另一个则是与Stanford教授合作的关于一阶PotentialReduction方法的设计的科研,目前还在起步阶段。
说了这么多,我想总结三点:
科研是高尚的,做科研绝对是宜早不宜迟,本科生做科研不必太追求成果(事实上“攻略”教授刷好感度以及积累科研人脉(对申请者来说尤其是海外的人脉)才是关键)。
其实,事实上,如果只说成果,应用学科的科研成果其实是很难评判好坏的,关键还是是否被认可。
而人毕竟是感情动物,都会相信自己的眼睛、耳朵和感觉的,因为这些信息至少比一纸文书要来得可靠多了——何况要验证PS,CV里面的话是真是假还得多方征询,费时又费力。
我再简单说说和教授套辞的一些经验吧(虽然我自己其实根本没有真正套过辞)。
不过,根据我自己和我身边同学的经验,我觉得有两点是最重要的:
一是主动,二是灵活。
主动就是只要有科研机会而自己也有精力就马上上。
例如在风电项目开始阶段,我的指导教授曾经告诉我担任这个项目的发起人需要付出的努力,而我在稍稍犹豫之后便当场答应了。
而毫无疑问,这个项目也给我带来了甚至是意料之外的收获。
灵活就是说不要在一棵树上吊死。
做科研就像谈恋爱,强扭的瓜不甜。
如果一个问题做了一年还停留在文献综述的阶段而毫无进展,那么就没必要犹豫,该尝试一下新问题了。
我自己也曾经花了半年多的时间做准晶,在做不下去的时候幸而接触了优化和运筹领域,才得以顺利地进行之后的科研。
至于选教授的事儿,可以说也事实上没有任何的规律可循,跟找对象简直如出一辙。
不过,比起找对象容易的地方在于,教授组里往往还有一些认识的学长学姐。
所以可以先和学长学姐们聊一聊,感受一下教授的风格,包括是否push、是否关心学生、最近的研究兴趣等等,再做出选择。
但有一条大家都明白的道理,就是只要没有什么大问题,大牛教授总是最好的选择——毕竟这些牛人对问题的预见性、判断力往往是年轻教授们不能比的,再加上他们在科研界的影响力和人际圈,对学生的申请和就业的帮助之大可想而知。
3.应用数学方向的申请有哪些需要注意的地方?
最后,我再集中说说我对大家进行应用数学方向申请的建议。
因为关于申请流程等方面的资料实在太丰富了,光是北大我知道的就有未名BBS的飞跃手册,以及北大数院学长们合编的统计申请手册和计算数学生存手册等等在内的许多极好的资料,我这里就只简单说几个大家可能会忽视的方面吧。
首先是选校方面。
申请阶段大家可能会过度地被项目排名、学校综合排名以及Faculty群体这些账面因素所吸引,而忽略了读书也是生活的一部分这个事实。
其实读研究生,尤其是读Ph.D.是一个很长时间的事情,要在一个地方生活很久,气候、学校文化氛围、经济就业条件等等都是需要考虑的。
以美国为例,就气候而言,东部藤校聚集,有很多排名拔尖的项目,但整体来说气候寒冷且常常有暴风雪;而西部强校虽然主要就是斯坦福和加州大学的各个分校(尤其是伯克利和洛杉矶分校),但加州尤其是北加州的气候则十分温暖晴朗,说是四季如春也不为过。
就学校文化氛围而言,斯坦福大学就业氛围十分浓厚,相对的学术氛围也就没有那么强烈,更适合以业界为目标的同学;而加州理工大学、普林斯顿大学等大多数学校则相对要学术很多。
当然,客观的来讲,斯坦福大学还是非常学术的
再说说经济就业条件。
首先是奖学金——虽然学术还是要有情怀的,但毕竟正常人是要吃饭要娱乐的,而且正常人也不会跟钱过不去。
所以在差不多的条件下,钱也是选校应该考虑的因素之一。
其次是就业环境——美国的好学校其实很多都在村里,例如普林斯顿和康奈尔。
村里的治安一般非常不错,而且环境优美,但生活却常常不太方便,而且实习也需要去比较远的地方,所以如果不是潜心学术的话算是一个不小的缺点。
我觉得这很可能也是康奈尔现在在纽约开设CornellTech的原因。
而大城市的治安虽然往往糟糕,但就业却通常比较方便。
例如纽约大学和哥伦比亚大学就依托华尔街而为毕业生在金融方面提供了极好的出路(类似的还有依托芝加哥金融中心的西北大学)。
当然也有像斯坦福这样依托硅谷却又治安良好的特例,但一般来说还是鱼和熊掌不可兼得的。
还有一个重要的因素是,一般来说本校的Ph.D.毕业生是很难直接留在本校任教的,所以如果以学术为志向,除了看一看学校的FacultyPlacement,还需要想一想自己最终的目标是在哪里,申请的时候也许还得避开呢哈哈。
其次是要掌握独家信息,避开竞争。
最近两年,随着许多做优化和运筹的青年学者从美国名校毕业回国任教,应用数学的申请者们开始越来越多地向商学院和运筹学“进攻”了(虽然统计方向的同学们已经更早就开始留意这些项目了)。
事实上,即使只是两年之前,在北大数院应用数学最top的同学的dreamschool都几乎总是PrincetonPACM,NYUCourant,StanfordICME和Caltech等等——而从去年开始,PrincetonORFE,ColumbiaIEOR,StanfordMS&E等运筹项目,甚至是Stanford商学院、ChicagoBooth商学院以及ColumbiaDRO(商学院)也有了许多成功的案例。
事实上,这些在美国师从各领域巨擘的青年学者们既带来了新鲜的研究方向,也带来了相当可观的科研人脉。
而且从这两年的申请情况来看,运筹和商学院的资源还远远没有被充分挖掘,所以大家如果想申请应用数学的话,不妨多关注关注这两个方向,分散竞争。
当然这些独家信息也是可遇不可求的,而且随着时间流逝,两年前的独家信息如今也慢慢尽人皆知了(比如群里各位就都知道了哈哈)。
所以还是好好学习好好做科研,剩下的就只能水到渠成啦。
最后,说说英语这个事儿。
首先,英语这个事儿很重要——一方面大多数学院还是有底线的,比如托福如果只有70多,那其他方面再优秀都有可能在最后一关被学校层面拒掉,而且商学院的话还需要很高的托福;另一方面这也是来学校之后进行交流的需要,加上绝大多数同学都得做TA,如果英语不好还是会带来很多麻烦的(比如会需要经过比较长时间的培训和考核才能获得TA资格,也可能被同学给差评,之后找TA就比较困难了)。
其次,英语这个事儿不值得花比其他事情多的时间。
一是大多数学校只要托福能上100,口语能上22,GRE能有150多的Verbal和3.5的作文,就问题不大了,追求110+的托福对于大多数人来说其实是浪费时间。
二是英语还是讲究天赋和积累的——如果输在了起跑线上,也没必要太纠结,毕竟英语大多数时候也只是一个门槛,属于只要过了基本线就没人care了的东西。
最后的最后,说一句关于拿到offer之后的建议——一是可以拿已有的同等级offer向被waitlist的项目施压,二是可以厚着脸皮跟对方争取更多的奖学金,三是可以大胆地请对方介绍一些教授和学长学姐来聊。
当然,一定要注意礼貌,即使目的是咄咄逼人的,也要尽量从语言上让对方感受到尊重和舒适。
答疑环节:
EE微讲座-tangli:
学长说到读了很多书,能否推荐几本
张峻梓:
书的话应用数学的方面书太多啦,如果要说几本最基础的书的话,线性代数方面推荐GeneGolub的MatrixComputation和Horn的MatrixAnalysis,优化方面推荐Boyd的ConvexOptimization和Nocedal的NumericalOptimization,离散数学方面推荐Kleinberg的AlgorithmDesign。
还有袁亚湘院士的优化书还有一本好像叫“奇妙的计算”的科普书也很推荐.
EE微讲座-tangli:
另外,paper都是到哪里去找的?
张峻梓:
paper的话建议翻墙,翻墙之后googlescholar就大多都能找到了。
还有就是充分利用可以拿到的国外大学的vpn(比如如果指导教授有国外教育背景,可以问一问能否帮忙下载)。
具体网站的话比如mathscinet就挺好的。
hanch:
除了matlab还需要什么编程上的工具吗?
张峻梓:
如果你可能做统计方面的科研,还建议通晓R。
其他的话,就是Python和C++一定要尽早学好,非常有用。
有空的话还可以刷刷leetcode,万一要面试码农类实习的话尽早准备一定不会后悔。
EE微讲座-tangli:
学长除了斯坦福,还录了哪些大学?
没有考虑过NYU吗?
张峻梓:
我当时其他正式录取的就是Columbia的IEOR了,因为Stanford的录取来的很早(一月底),所以我很快就把申请的所有其他学校都withdraw了,而这也是北大计算方向良好申请结果的保障(就是大家一旦拿到dreamschool就马上withdraw其他的,当然这也是通过我们非常有威望的计算数学方向的院长保障的)。
我没有考虑过NYU,原因有两个,一是我不太希望我所在的学校没有真正的校园(这个其实对很多同学来说并不重要),二是NYU的计算数学在我的印象中比较偏分析(就是比如PDE之类的),我感觉兴趣不太大。
ICME-陈文郁:
大牛问一下,我是做quanttrading的,本科的时候算是偏金融背景,之后工作基本上都是编程和简单统计机器学习的东西,如果我想申请icme的硕士,有希望么,你说的数值计算方面我都没什么背景。
张峻梓:
如果您想申请ICME的计算金融的硕士,我觉得您这种背景非常好,是很有希望的。
除此之外,BerkeleyIEOR也可以尝试尝试。
不过因为计算金融方向招生是独立的,所以建议您还是和ICME负责计算招生的人发邮件具体询问一下。
比较可惜的是,据我了解这个方向招的中国人很少,例如去年没有人,今年有一个北大12级学妹被录取了但最后选择了Columbia的MFE。
EE微讲座-tangli:
能否分享一下统计生存手册和计算数学手册?
张峻梓:
这个我现在电脑里没有存,也不太找的到了,如果您感兴趣的话可以在北大数院找找学长学姐看看他们有没有。
EE微讲座-tangli:
学长刚才提到哪六门核心课程。
张峻梓:
ICME的六门核心课程包括:
数值线性代数、理论偏微分方程、数值偏微分方程、离散数学、随机模拟、数值最优化。
hanch:
学长再问下在ICME的学生本科背景大概是怎样的呢?
比如CS,EE?
因为自己是学这方面的感觉其实也比较接近
张峻梓:
CS和EE的学生在博士和硕士中都是很多的,事实上ICME硕士的两个目前招中国人最多的方向应该是DataScience和ImagingScience,和CS以及EE专业非常接近。
而博士生做科研找CS和EE也是非常常见的,例如我现在找的指导教授就是EE的。
EE微讲座-tangli:
这六门学长本科阶段都学了?
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