平行四边形.docx
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平行四边形.docx
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平行四边形
八年级数学下册导学案(二十一)
杨成超
八年级数学下册——平行四边形的判定二导学案
【教学目标】:
1.掌握平行四边形的判定定理,并能与性质定理、定义综合应用
2.使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系.
3.会根据简单的条件画出平行四边形,并说明画图的依据是哪几个定理.
【教学重难点】:
三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法)
【自学指导】:
Ø学生看P97---P99注意以下问题:
✧回忆平行四边形的性质(从边、角、对角线的角度考虑平行四边形的性质)。
✧如何准确地画出一个平行四边形?
什么样的四边形才是平行四边形?
回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件。
✧你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的吗?
✧平行四边形的判定定理3、定理4是怎么来的?
定理的条件是什么?
结论是什么?
定理的符号语言和图形语言分别是什么?
✧一个三角形的中位线共有几条?
三角形的中位线与中线有什么区别?
✧三角形的中位线与第三边有怎样的关系?
【自学检测】:
1.下面几组条件中,不一定能判定一个四边形是平行四边形的是().
A.两组对边相等;B.两条对角线互相平分C.两组对边平行;D.两组对角相等
E.一组对边平行,一组对角相等F.一组对边平行,一组对边相等
2.BD是平行四边形ABCD的对角线,点E、F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,可以添加的一个条件是_________.
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,P1、P2是对角线BD的三等分点,求证:
四边形AP1CP2是平行四边形.
4.已知:
如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF经过点O并且分别和AB、CD相交于点E、F,又知G、H分别为OA、OC的中点.求证:
四边形EHFG是平行四边形.
【师生共同探究,总结】:
.
✓
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
还可以总结为
边:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
角:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
✓要求此四边形的周长,先判断此四边形的形状,再依据平行四边形的性质解决.
✓
(1)一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.
(2)三角形的中位线与第三边的关系:
三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半。
✓
✓平行四边形判定与性质:
✓平行四边形的性质和判定
类别
性质
判定
边
角
对角线
对称性
边
角
对角线
平行四边形
①对边平行②对边相等
①对角相等
②邻角互补
对角线互相平分
中心对称
①两组对边分别分别平行的四边形是平行四边形
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形
①对边平行②对边相等
四个角都是直角
①对角线互相平分
②对角线相等
中心对称,轴对称
①有一个角是直角的平行四边形是矩形
②有三个角是直角的四边形
对角线相等的平行四边形是矩形
菱形
①对边平行②四边相等
①对角相等②邻角互补
①对角线互相垂直平分
②对角线平分每一组对角
中心对称,轴对称
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形
②四条边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形
①对边平行
②四边相等
四个角都是直角
①对角线互相垂直平分
②对角线平分每一组对角
中心对称,轴对称
一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
等腰梯形
①两底平行②两腰相等
同一底上的两个角相等
对角线相等
轴对称
两腰相等的梯形是等腰梯形
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
对角线相等的梯形是等腰梯形
【提高练习】:
一、选择题
1.下列说法正确的是().
A.有两组对边分别平行的图形是平行四边形
B.平行四边形的对角线相等
C.平行四边形的对角互补,邻角相等
D.平行四边形的对边平行且相等
2.能够判定四边形是平行四边形的条件是()
A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相平分D.一条邻角互补
3.以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形,最多能作()
A.4个B.3个C.2个D.1个
4.下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.1:
2:
3:
4 B.2:
2:
3:
3C.2:
3:
2:
3 D.2:
3:
3:
2
二、填空题
1.过
的顶点
,
分别作对角线
的垂线,垂足是
,
,则四边形
是__________.
2.一组平行线有三条直线,另一组平行线也有三条直线,这两组平行线相交所围成的平行四边形有________个.
3.一个四边形的四边长分别是
,
,
,
,且有
,则此四边形是__________.
4.已知平行四边形的面积是216cm2,相邻两边上的高分别为8cm和9cm,则这个平行四边形的周长为________.
三、解答题
1.如图4,将□ABCD的对角线
向两个方向延长至点
和点
,使
,求证四边形
是平行四边形.
2.在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以1厘米/秒的速度由A向D运动,Q以2厘米/秒的速度由C向B运动,几秒后四边形ABQP成为平行四边形?
【作业及其教学反思】:
一、选择题
1、如图,EF过
ABCD的对角线的交点O交AD于E,交BC于F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
2、能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )
A.AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠B,∠C=∠DC.AB=CD,AD=BC D.AB=AD,CB=CD
3、A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③CB∥AD;④CB=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
4、下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是( )
A.一组对边相等,另一组对边平行
B.一组对边平行,一组对角互补
C.一组对角相等,一组邻角互补
D.一组对角互补,另一组对角相等
5、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是( )
A.一组对角相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相平分 D.一对邻角和为180°
6.下列四个条件中,能判断四边形是平行四边形的是( )
A.一组对边平行,另一组对边相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线相等
D.一组对边平行,一组对角相等
7.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形,最多能作( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题
1、E是△ABC中线BD上任意一点,延长BE到F,使DF=ED,则四边形AECF是_____。
2、在
ABCD中,E,F分别为AB、DC的中点,连结DE、EF、FB,则图中共有______个平行四边形。
3、把边长为3cm,5cm,7cm的两个全等三角形拼成四边形,一共能拼成______种不同的四边形,其中有______个平行四边形。
4、如果一个四边形每相邻两角互补,那么这个四边形是________。
5、如图,△ABC是等边三角形,P是三角形内任一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC周长为12,PD+PE+PF=_____________。
三、判断题(正确的打“√”,错误的打“×”):
1、在四边形ABCD中,如果AB=BC,CD=AD,那么四边形ABCD一定是平行四边形。
2、如果四边形中,有一组对边相等,还有一组对角相等,那么这四边形一定是平行四边形。
四、解答题
1、
如图,
ABCD中,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,BG⊥AG于G,DH⊥AC于H。
求证:
GE=FH。
2、已知△ABC(如图),请用直尺(没有刻度)和圆规,作一个平行四边形,使它的三个顶点恰好是△ABC的三个顶点(只需作一个,不必写作法,但要保留作图痕迹)。
3、已知:
如图,在
ABCD中,DE平分∠ADC交CB延长线于E,BF平分∠ABC,交AD延长线于F。
求证:
四边形BFDE是平行四边形。
4、已知在
ABCD中,EF交AC于O,若AE=CF,BE=DF,求证:
EF与AC互相平分。
5、如图,BD是△ABC角平分线,DE∥BC,EF∥AC,求证:
BE=CF。
6.如图,
ABCD中,E,F在AC上,且AF=CE,EH⊥BC,FG⊥AD,垂足分别为H,G连GH交EF于点O。
求证:
GH与EF互相平分。
7、已知:
如图,AC是
ABCD的对角线,MN∥AC,分别交DA,DC的延长线于M,N交AB,BC于P,Q。
求证:
MQ=PB。
“复习”部分,创设生活情境,引起和维持学生的注意,且通过提问引导学生回忆与本课有关的原有知识,激发学习新知识的兴趣;“探究”部分,通过组织操作与讨论,运用投影、板书和讲解,合逻辑有层次地呈现了新的知识,学生充分体验“猜想——求证”的数学研究过程,进一步锻炼了推理能力;最后,通过练习,让学生巩固了新的知识,增强了解决问题的能力,提高了思维的灵活性和广阔性。
平行四边形的判定习题
班级姓名成绩
一、请你好好选,把正确的答案填在括号内。
(每题4分,共24分)
1.下列条件中,能判定四边形是平行四边形的条件是()
A.一组对边平行,另一组对边相等B.一组对边平行,一组对角相等
C.一组对边平行,一组邻角互补D.一组对边相等,一组邻角相等
2.如图4.4-11,EF过□ABCD的对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长是()
A.16B.14C.12D.10
3.两直角边不等的两个全等的直角三角形能
拼成平行四边形的个数()
A.4B.3C.2D.1
4.过不在同一直线上的三点,可作平行四边形的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.如图,已知□ABCD的对角线交点是O,直线EF过O点,且平行于BC,直线GH过且平行于AB,则图中共有()个平行四边形.
A.5B.6C.7D.10
6.以下结论正确的是()
A.对角线相等,且一组对角也相等的四边形是平行四边形
B.一边长为5cm,两条对角线分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形
C.一组对边平行,且一组对角相等的四边形是平行四边形
D.对角线相等的四边形是平行四边形
二、请你认真填,把正确答案填在横线上。
(每小题5分,共40分)
7.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形是.
8.□ABCD中,AB=2,BC=3,∠B,∠C的平分线交AD于E、F,则EF=.
9.□ABCD的周长为80cm,对角线AC、BD相交于O,若△OAB的周长比△OBC的周长小8cm,则AB=cm.
10.四边形中,任意相邻两个内角都互补,那么这个四边形是四边形.
11.延长△ABC的中线AD到E,使DE=AD,则四边形ABEC是四边形.
12.已知等腰三角形ABC的一腰,AB=9cm,过底边上任一点P作两腰的平行线分别交AB于M,交AC于N,则AM+AN=.
13.用两个全等三角形拼成的四边形,有下列说法①一定是平行四边形,②可能是平行四边形,③一定不是平行四边形,其中正确的说法是.
14.已知四边形ABCD中,AD∥BC,分别添加下列条件,①AB∥CD,②AB=DC,③AD=BC,④∠A=∠C,⑤∠B=∠C,能使四边形ABCD成为平行四边表的条件的序号是.
三、认真解答,写出解答步骤。
(15-16小题每题8分,17-20小题每题10分,共56分)
15.如图,已知AC是□ABCD的一
条对角线,BM⊥AC于M,DN⊥AC于N,
求证:
四边形BMDN是平行四边形.
16.在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,且OA=OC,OB=OD,△AOD的周长比△AOB的周长长4cm,AD∶AB=2∶1,求四边形ABCD的周长.
17.在□ABCD的对角线AC上取AF=CE,作EH⊥BC,垂足为H作FG⊥AD,垂足
为G,求证:
GH与EF互相平分.
18.在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD交于O,EF过O交AB于E,交CD
于F,且OE=OF,求证:
ABCD是平行四边形.
19.如图,H是□ABCD对角线上的点,且AG=CH,E、F分别是AB,CD的中点.
求证:
四边形EHFG是平行四边形.
20.如图,等边三角形ABC的边长为a,P为△ABC内一点,且PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,那么,PD+PE+PF的值为一个定值.这个定值是多少?
请你说出这个定值的来历.
参考答案
一请你选一选
1.B2.C3.B4.C5.D6.C
二、请你认真填
7.平行四边形8.113.169.平行10.平行11.9cm12.①13.①③⑤
三、训练平台
14.证△AND≌△CMB,由DN∥BM得证
15.易证:
AB=4cm,AD=8cm,周长=24c
16.提示:
证CFHE为平行四边形
17.提示:
证△AEO≌△CFO,得OA=OC,同理OB=OD
18.证△AEG≌△CFH,得EG∥HF
19.定值为a.提示:
过P作PG∥AC,PH∥BC分别交BC、AB于G、H,则PECG、BDPH为□,△PDG、△PHF为正三角形,∴PD+PE+PF=a
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