第1章机构静力分析基础.docx
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第1章机构静力分析基础
第1章机构静力分析基础
学习目标
正确理解力的概念及静力学基本定理;
理解常见的约束及约束力的特点;
掌握物体受力分析的方法,能画出研究对象的受力图;
掌握力投影的概念及求法、合力投影定理;
会求解平面汇交力系合成的解析法;
熟悉力对点之矩的概念,合力矩定理,力对点之矩的求法,力偶及力偶矩的概念,力偶的性质;
掌握力的平移定理,平面任意力系的简化,固定端约束,不考虑摩擦的平面力系的平衡方程及应用。
1.1力的基本概念及其性质
1.1.1力的概念
人们在长期的生产实践活动中,经过不断地观察和总结,建立了力的概念。
1.定义
力是物体问相互的机械作用。
这种作用使物体的运动状态、形状或尺寸发生改变。
力使
物体的运动状态发生改变称为力的外效应;力使物体的形状或尺寸发生改变称为力的内效应。
例如:
用手推门时,手指与门之间有了相互作用,这种作用使门产生了运动;用空气锤锻打工件,空气锤和工件问有了相互作用,工件的形状和尺寸发生了改变。
2.刚体
在外力作用下不发生变形的物体称为刚体。
例如,用脚踢皮球,脚和球体之间产生了相互作用,球体的运动状态和形状尺寸同时发生了改变,力对球体的这两种效应并不是单独发生的,而是同时发生的。
当研究物体的运动规律(包括平衡)时,可以忽略不计形状尺寸改变对运动状态改变的影响,把物体抽象为不变形的理想化模型——刚体,这是将物体抽象化的一个最基本的力学模型。
3.力的三要素
力对物体的效应取决于力的三要素,即力的大小、方向和作用点。
力是一个既有大小又有方向的量,称为力矢量,用一个有向线段表
示。
线段的长度
按一定的比例尺表示力的大小;线段箭头的指向表示力的方向;线段的始端A(图1—1)或末端B表示力的作用点。
力的单位为牛顿(N)。
4.力系与等效力系
若干个力组成的系统称为力系。
若一个力系与另一个力系对物体的作用效果相同,那么这两个力系互为等效力系。
若
一个力与一个力系等效,则称这个力为该力系的合力,图1—1力矢量
而该力系中的各力称为这个力的分力。
把各分力等效代换成合力的过程称为力系的合成,把合力等效代换成分力的过程称为力的分解。
5.平衡与平衡力系
平衡是指物体相对于地球静止或匀速直线运动状态。
若一个力系使物体处于平衡状态,则称该力系为平衡力系。
1.1.2静力学基本定理
静力学定理是人们经过长期的观察和实验,根据大量的事实,概括和总结出的客观规律,它的正确性已被人们公认。
静力学的理论是建立在以下4个定理基础之上的。
1.力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力,可以合成为一个合力。
合力作用于该点,合力的大小和方向是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线。
如图1—2所示,FR是F1,F2的合力。
力的平行四边形定理符合矢量加法法则,即
FR=F1+F2
2.作用与反作用定理
两物体间的作用力与反作用力,总是同时出现,且大小相等、方向相反、作用线相同,分别作用在两个物体上。
简述为等值、反向、共线。
该定理也称为牛顿第三定律,它说明了力总是成对出现的。
应用定理时注意区别它与后面介绍的二力平衡的两个力是不同的,作用力与反作用力分别作用在两个物体上,而二力平衡的两个力则作用在同一个物体上。
图l一3中,AB杆B端受到的力FB与CD杆B点受到的力FR’就是一对作用力与反作用力。
图1—2力的平行四边形图1—3作用力与反作用力
3.二力平衡定理
作用于刚体上的两个力,使刚体保持平衡的必要和充分条件是:
这两个力的大小相等,方向相反,作用在一条直线上。
简述为等值、反向、共线。
如图1—4(a)所示,物体置放在水平面上,受到重力G和水平面的作用力FN作用而处于平衡状态,所以,这两个力必等值、反向、共线。
如图1—4(b)所示,电灯吊在天花板上,无论初始时电灯偏向什么位置,最后平衡时必满足二力平衡条件,即G和FT等值、反向、共线。
工程实际中,一些构件的自重和它所承受的载荷比较起来很小,可以忽略不计。
本书中的构件没有特别说明或没有表示出
自重的,一律按不计自重处理。
图1—4二力平衡
在两个力作用下处于平衡状态的构件通常称为二力构件。
如图1—3(a)所示托架中,杆AB不计自重,在A端和B端分别受到作用力FA,FB而处于平衡状态,此两力必过这两个力的作用点A,B的连线,AB杆就是二力构件,也称为二力杆。
4.加减平衡力系定理
在一个已知力系上加上或减去一个平衡力系,不改变原力系对刚体的作用效果。
这个定理对研究力系的简化问题很重要,在推导许多定律时会经常用到。
该定理只适用于刚体。
1.1.3力的性质的推论
1.力的可传性
作用于刚体上某点的力,沿其作用线移动,不改变原力对刚体的作用效果。
如图1—5所示的小车,在A点作用力F和在B点作用力F对小车的作用效果相同。
力对刚体的效应,取决于力的大小、方向和作用线。
力的可传性原理只适用于刚体。
2.三力平衡汇交定理
构件在三个互不平行的力的作用下处于平衡,这三个力的作用线必共面且汇交于一点。
作用有三个力并处于平衡的构件称为三力构件。
三力构件上三个力的作用线交于一点。
若已知两个力的作用线,则可以确定另一个未知力的作用线。
如图l一3(b)中所示的杆件CD,在C,B,D三点分别受力作用处于平衡,C点的力F。
必过B,D两点作用力的交点H。
再如图1—6所示的杆件AB,A端靠在墙角,B端用绳索BC系住,A端受到的墙角的作用力FN。
必过G和FT的交点。
图1—5力的可传性图1—6三力平衡汇交
1.1.4集中力和分布力
力作用在物体上时,总是作用在一定的面积或体积内,因此称为分布力(或分布载荷)。
当力作用的范围或体积很小时,可以近似地看成是作用在一个点上,该点称为力的作用点,作用于一点的力称为集中力。
当力均匀地分布在某一线段上时,称为线均布载荷;当力均匀地分布于某一面上时,称为面均布载荷;当力均匀地分布在某一体积上时,称为体均布载荷。
通常用载荷集度q来表示均布载荷的强弱程度,q的单位是N/m(或N/m2,N/m3。
)。
载荷集度为q的均布载荷,其合力的大小等于载荷集度与分布区域的乘积,即Fq=ql(或Fq=qA,Fq=qV),合力的作用线过分布区域的几何中心,方向与均布载荷的方向相同。
1.1.5力系的分类
力系按作用线的分布情况,可以分为两种类型。
各力的作用线都在一个平面内的力系称为平面力系;各力的作用线不在一个平面内的力系称为空问力系。
平面力系中各力的作用线相交于一点的力系称为汇交力系;各力的作用线相互平行的力系称为平行力系;各力的作用线不全相交于一点的力系称为一般力系。
1.2约束和约束力
机械设备和工程结构中的构件,都是既相互联系又相互制约的。
甲构件对乙构件有作用,就会受到乙构件的反作用,这种反作用对甲构件的运动起到了限制作用。
例如:
火车轮对铁轨进行了作用,就会受到铁轨对火车轮的反作用,这种反作用限制了车轮只能沿其轨道运动。
门与合页相互联系,合页对门的运动起到了限制作用。
这种限制物体运动的周围物体
称为约束。
物体受的力可以分为主动力和约束力,能够促使物体产生运动或运动趋势的力称为主动力。
这类力有重力,或一些作用载荷。
主动力通常都是已知的。
当物体沿某一个方向的运动受到约束限制时,约束对物体就有一个作用力,这个限制物体运动或运动趋势的作用力称为约束力。
约束力的方向与它所限制物体的运动或运动趋势的方向相反,其大小和方向一般随主动力的大小和作用线的不同而不确定,是一个未知力。
下面介绍几种常见的约束。
1.2.1柔性体约束
由绳索、链条、皮带等柔性物形成的约束都可以简化为柔性体约束模型。
这类约束只承受拉力,不承受压力。
约束力沿柔性体的中线,背离受力物体,用符号FT表示。
如图1—7(a)所示,起重机吊起重物时,重物通过钢绳悬吊在挂钩上,钢绳AC,BC对重物的约束力沿钢绳的中线,且背离物体[图1—7(b)]。
若柔性体包络了轮子的一部分,如图1—8(a)所示的链传动或带传动等,通常把包络在轮上的柔性体看成是轮子的一部分,从柔性体与轮的切点处解除柔性体。
约束力作用于切点,沿柔性体中线,背离轮子。
图1—8(b)所示为传动轮带约束力的画法。
图1—7起吊重物图1—8带传动
1.2.2光滑面约束
物体相互作用的实际接触面,并不是完全光滑的。
为研究问题方便,可忽略不计接触面问的摩擦,且不计接触面问的变形,把物体的接触面看成是完全光滑的刚性接触面,简称为光滑面约束。
光滑面约束只限制了物体沿接触面公法线方向的运动,所以其约束力沿接触面的公法线方向,且指向被约束的物体,用符号FN表示。
如图l一9(a)所示,重为G的圆柱形工件放在V形槽内,在A,B两点与槽面接触,其约束力沿接触面公法线指向工件。
如图1—9(b)所示,重为G的工件AB放入凹槽内,在A,B,C点处分别与槽接触。
其约束力沿接触面公法线指向工件。
图1—9光滑面约束
1.2.3铰链约束
如图1—10(a)所示,用圆柱销钉联接的两构件称为铰链。
对于具有这种特性的联接方式,忽略不计其变形和摩擦,就可得到理想化的约束模型——刚性光滑铰链。
铰链约束通常用图l—l0(b)所示的平面简图表示。
1.中间铰链约束
中间铰链约束也称为中问铰链,只限制构件销孔端的相对移动,不限制构件绕该端的相对转动。
2.固定铰链约束
把圆柱销联接的两个构件中的一个固定起来,称为固定铰支座,如图1—l0(c)所示。
该约束限制了构件销孔端的随意移动,不限制构件绕圆柱销这一点的转动。
图1—l0(d)所示的柱销与销孔在构件主动力作用下,是两个圆柱光滑面在K点的点接触,其约束力必沿接触面K点的公法线过铰链的中心。
由于主动力的作用方向不同,构件销钉的接触点K就不同,所以约束力的方向不能确定。
综上所述,中间铰链和固定铰链支座约束的约束力过铰链的中心,方向不确定。
通常用两个正交的分力FNx,FNy来表示[图1—10(b)(e)]。
图1—10铰链约束
当中间铰链或固定铰链约束的是二力构件时,其约束力满足二力平衡条件,沿两约束力作用点的连线。
如图1—ll(a)所示的结构,AB杆中点作用力F,杆件AB,BC不计自重。
杆BC在B端受到中间铰链约束,约束力的方向不确定;在C端受到固定铰链支座约束,约束力的方向不确定,但BC杆受此两力作用处于平衡,是二力构件,且该二力必过B,C两点的连线[图1一11(b)]。
杆AB在中点受主动力F作用处于平衡状态,是三力构件。
力F的方向已确定,杆AB在B点受到BC杆B端的反作用力F’NB,方向也确定。
A端固定铰链约束的约束力必过F和F’NB的交点[图l—1l(c)]。
因此,当中间铰链或固定铰链约束的是三力构件时,其约束力的方向也是确定的。
I
图1—11铰链约束及二力构件
3.活动铰链约束
如图1—12(a)所示,在固定铰链约束的下边安装上滚动体称为活动铰链约束。
活动铰链约束只限制构件沿支承面法线方向的运动,所以活动铰链约束约束力的作用线过铰链中心,且垂直于支承面,一般按指向构件画出,用符号FN表示。
图1—12(b)为活动铰链约束的几种力学简图及约束力画法。
图1—13(a)所示杆件AB,在主动力F的作用下,其A,B两端铰链约束的约束力如图1—13(b)所示。
图1—12活动铰链约束图图1—13铰链约束的约束力
1.3物体的受力分析及受力图
求解静力学问题时,首先要分析物体受到哪些力的作用、每个力的作用线的位置及其方向,这个过程称为物体的受力分析。
进行受力分析时,针对求解的问题,确定一个或几个物体作为研究对象,并将研究对象从与其联系的物体(约束)中分离出来,单独画出其简图,这个过程称为取分离体。
在分离体上画出全部主动力和约束力,用图形的方式表达出研究对象的受力情况,这种图形称为受力图。
对物体进行受力分析、画受力图的步骤和要点为:
(1)根据要分析的问题,确定研究对象。
,
(2)解除研究对象的约束,画出研究对象的分离体。
(3)在分离体上画出全部主动力。
(4)在分离体解除约束的地方画出约束力,约束力的方向或分量必须按约束的类型或性质画出。
画受力图时要注意:
(1)物体内部的作用力不必画出。
(2)作用与反作用的关系。
(3)同一个约束力,在整体或部分受力图中的方向要一致。
(4)正确判断二力构件,二力构件的受力必须在两力作用点的连线上。
例1—1如图1—14(a)所示的三铰拱桥,由左、右两半拱片铰接而成,试画左半拱片AB的受力图。
解:
(1)确定左拱片AB为研究对象,取分离体[图1—14(b)]
(2)在分离体上画出主动力F和约束力
左半拱片B端受右半拱BC的作用,由于BC受两力作用处于平衡,所以BC对左半拱B点的作用力FB,沿BC两点的连线。
左半拱A端受固定铰链约束,可用正交分力FAx,FAy表示[图1—14(b)]。
思考:
固定铰链A处的约束力能否用一个确定的力表示?
图1—14
1.4力在轴上的投影及合力投影定理
1.4.1力在轴上的投影
1.投影的定义
如图1—15所示,设已知力F作用于刚体平面内的A点,方向由A点指向B点,且与水平线的夹角为
。
相对于平面直角坐标轴Oxy,过力F的两端点A,B向x轴作垂线,垂足a,b在轴上截下的线段ab就称为力F在x轴上的投影,记作Fx。
同理,过力F的两端点向y轴作垂线,垂足在y轴上截下的线段a1b1称为力F在y轴上的投影,记作Fy。
2.投影的正负规定
力在坐标轴上的投影是代数量,其正负规定为:
若投影ab(或a1b1)的指向与坐标轴正方向一致,则力在该轴上的投影为正,反之为负。
若已知力F与x轴的夹角为
,则力F在x轴、y轴的投影表示为
Fx=±Fcos
Fy=±Fsin
3.已知投影求作用力
由已知力求投影的方法可推知,若已知一个力的两个正交投影F。
,F,,则这个力F的大小和方向为
式中
表示力F与x轴所夹的锐角,F的方向由Fx,Fy,的正负号决定。
图1—15力在轴上的投影图图1—16合力投影定理
1.4.2合力投影定理
由力的平行四边形定理可知,作用于刚体平面内一点的两个力可以合成为一个力,其合力符合矢量加法法则。
如图1—16所示,作用于刚体平面内A点的力F1,F2,其合力FR等于力F1和F2的矢量和。
即
FR=F1+F2
在力的作用平面建立平面直角坐标系Oxy合力FR在x轴上的投影FRx和分力F1,F2在x轴的投影分别为FRx=
d,F1x=ab,F2x=ac由图可见,
c=bd,
d=
b+bd。
所以FRx=
d=
b+bd=F1x+F2x
同理FRy=Fly+F2y
若刚体平面上的一点作用着n个力F1,F2,…,Fn按两个力合成的平行四边形法则依次类推,从而得出力系的合力等于各分力矢量的矢量和。
即
FR=F1+F2+…+Fn=∑F
则其合力的投影
FRx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx(1—3)
FRy=F1y+F2y+…+Fny=∑Fy
式(1—3)表明,合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和,此即合力投影定理。
式中的∑Fx是求和式∑Fy的简便表示法,本教材中的求和式均采用这种简便表示法。
1.5力矩和力偶
1.5.1力矩与合力矩定理
1.力对点之矩
从生产实践活动中人们认识到,力不仅能使物体产生移动,还能使物体产生转动。
工程中把力使物体产生转动效应的量度称为力矩。
例如用扳手拧螺母,扳手连同螺母一起绕螺母的中心线转动,其转动效应的大小不仅与作用力的大小和方向有关,而且与力的作用线到螺母中心线的相对位置有关。
如图l一17所示,平面上螺母中线的投影点O称为矩心,力的作用线到矩心O点的距离d称为力臂,力使扳手绕O点的转动效应取决于力F的大小与力臂d的乘积及力矩的转向。
力对D点之矩记作MO(F),即
MO(F)=±Fd
力矩是一个代数量,其正负规定为:
力使物体绕矩心有逆时针转动效应时,力矩为正,反之为负。
力矩的单位是N·m。
2.合力矩定理
如图l一18所示,将作用于刚体平面上A点的力F,沿其作用线滑移到B点(B点为任意点O
图1—17拧螺母的扳手图1—18合力的矩
到力F作用线的垂足),不改变力F对刚体的效应(力的可传性原理)。
在B点将F沿坐标轴方向正交分解两分力Fx,Fy,即F=Fx+Fy。
分别计算并讨论力F和分力Fx,Fy对O点力矩的关系。
M0(Fx)=Fcos
dcos
=Fdcos2
M0(Fy)=Fsin
dsin
=Fdsin2
M0(F)=Fd=M0(Fx)+M0(Fy)
上式表明,合力对某点的力矩等于力系中各分力对同点力矩的代数和,这不仅适用于正交分解的两个分力系,对任何有合力的力系均成立。
若力系有n个力作用,则
M0(FR)=M0(F1)+M0(F2)+···+M0(Fn)=∑M0(F)(1—4)
式(1—4)即为合力矩定理。
求平面内力对某点的力矩,一般采用以下两种方法:
(1)用力和力臂的乘积求力矩,这种方法的关键是确定力臂d。
力臂d是矩心到力的作用线的垂直距离,即力臂一定要垂直力的作用线。
(2)在工程实际中,有时力臂d的几何关系较复杂、不易确定,此时可将作用力正交分解为两个分力,然后应用合力矩定理求原力对矩心的力矩。
1.5.2力偶及其基本性质
1.力偶
在生产实践中,作用力矩可以使物体产生转动效应。
另外,经常还可以见到使物体产生转动的例子,如图1—19(a)(b)所示,司机用双手转动方向盘,钳工用双手转动绞杠丝锥攻螺纹。
力学研究中,把使物体产生转动效应的一对大小相等、方向相反、作用线平行的两个力称为力偶。
通常把力偶表示在其作用平面内[图1—19(c)]。
图1—19力偶
力偶是一个基本的力学量,并具有一些独特的性质,它既不平衡,也不能合成为一个合力,只能使物体产生转动效应。
力偶中两个力的作用线所决定的平面称为力偶的作用平面,两力作用线之间的距离d称为力偶臂,力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。
力偶对物体的转动效应,取决于力偶中力与力偶臂的乘积,称为力偶矩,记作M(F,F’)或M,即
M(F,F’)=±Fd(1—5)
力偶矩和力矩一样,是代数量。
其正负号表示力偶的转向,通常规定,力偶逆时针转向时,力偶矩为正,反之为负。
力偶矩的单位是N·m或kN·m。
力偶矩的大小、转向和作用平面称为力偶的三要素。
三要素中的任何一个发生了改变,力偶对物体的转动效应就会改变。
2.力偶的性质
根据力偶的定义,力偶具有以下一些性质:
(1)力偶无合力,在坐标轴上的投影之和为零。
力偶不能与一个力等效,也不能用一力来平衡,力偶只能用力偶来平衡。
力偶无合力,可见它对物体的效应与一个力对物体的效应是不相同的。
一个力对物体有移动和转动两种效应;而一个力偶对物体只有转动效应,没有移动效应。
因此,力与力偶不能相互替代,也不能相互平衡。
可以将力和力偶看做是构成力系的两种不同的基本要素。
(2)力偶对其作用平面内任一点的力矩,恒等于其力偶矩,而与矩心的位置无关。
图1—20所示为一力偶M(F,F’)=Fd,对平面上任意点0的力矩,都可用组成力偶的两个力分别对0点力矩的代数和度量,记作Mo(F,F’),即
Mo(F,F’)=F’(d+x)-F’x=F’d=M(F,F’)
以上推证表明:
力偶对刚体平面上任意点0的力矩等于其力偶矩,与矩心到力作用线的距离x无关,即与矩心的位置无关。
3.力偶的等效性及等效代换特性
从力偶的以上性质可知,同一平面内的两个力偶,如果它们的力偶矩大小相等、转向相同,则两个力偶等效,且可以相互代换,此即力偶的等效性。
由力偶的等效性,可以得出力偶的等效代换特性:
(1)力偶可在其作用平面内任意搬移,而不改变它对刚体的转动效应。
(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变,可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短,而不会改变力偶对刚体的转动效应。
需要注意的是,以上等效代换特性仅适用于刚体,不适用于变形体。
由力偶的性质及其等效代换特性可知,力偶对刚体的转动效应完全取决于其力偶矩的大小、转向和作用平面。
因此表示平面力偶时,可以不标明力偶在平面上的具体位置以及组成力偶的力和力偶臂的值,用一带箭头的弧线表示,,并标出力偶矩的值即可。
图1—21所示的是力偶的几种等效代换表示法。
图1—20力偶对任意点的矩图1—21力偶等效代换
1.6平面任意力系的简化与平衡方程
1.6.1力系向平面内任一点简化
作用在物体上的一个平面任意力系F1,F2,…,Fn,可以用平行四边形法则,将力系简化为一个合力和一个力偶。
当力系中的力较多时,这样简化会很麻烦,采用将力系向一点简化的方法,会比较简单。
1.力的平移定理
由力的可传性原理可知,作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动,而不改变其对刚体的作用效果。
现在的问题是,能否在不改变作用效果的前提下,将力平行移动到刚体的任意点呢?
图1—22描述了力向作用线外任一点的平行移动的过程。
欲将作用于刚体上A点的力F平行移动到刚体内任一点0,可在0点加上一对平衡力F´,F"并使F´=F"=F。
F和F"为一等值、反向、不共线的平行力,F,F"组成了一个力偶,称为附加力偶,其力偶矩为
M(F,F")=±Fd=M0(F)
此式表示,附加力偶矩等于原力F对平移点0的力矩。
于是,作用于平移点的F´和附加力偶M的共同作用就与作用于A点的力F等效。
由此可以得出:
作用于刚体上的力,可平移到刚体上的任一点,但必须附加一力偶,其附加力偶矩的大小等于原力对平移点的力矩,此即力的平移定理。
如图1—23所示,钳工用绞杠丝锥攻螺纹时,如果用单手操作,在绞杠手柄上作用力F,将力F平移到绞杠中心时,必须附加一力偶M才能使绞杠转动,平移后的F´会使丝锥杆变形甚至折断。
如果用双手操作,两手的作用力若保持等值、反向和平行,则平移到绞杠中心上的两个平移力相互抵消,绞杠只产生转动。
所以,用绞杠丝锥攻螺纹时,要求双手操作且均匀用力,而不能单手操作。
图1—22力的平移图图1—23用绞杠丝锥攻螺纹
2.平面力系向作用面内一点简化
设物体受平面任意力系F1,F2,…,Fn作用,如图l—24所示。
根据力的平移定理,可以简化为一个力和一个力偶,即
式中:
——力系的主矢,其大小和方向与简化中心的位置无关;
——力系的主矩,其大小与简化中心的位置有关。
综上所述,平面任意力系向平面内任一点简化,均得到一个力和一个力偶。
这个力等于原力系中各力的矢量和,称为平面任意力系的主矢;这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心力偶矩的代数和,称为平面任意力系的主矩。
主矢和主矩的共同作用与原力系的作用等效。
图1—24平面力系向一点简化
1.6.2平面力系的平衡条件和平衡方程
1.平衡条件和平衡方程
由上节的讨论可知,当平面任意力系简化的主矢和主矩均为零时,则力系处于平衡。
同理,若力系是平衡力系,则该力系向平面任一点简化的主矢和主矩都必然为零。
因此,平
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- 第1章 机构静力分析基础 机构 静力 分析 基础