1年高考数学总复习-2-1-函数及其表示-新人教B版.doc
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函数及其表示
(一)
1.)函数y=的定义域为集合A,函数y=ln(2x+1)的定义域为集合B,则A∩B等于( )
A.(-,]B.(-,)C.(-∞,-)D.[,+∞)
2.函数y=的定义域为( )
A.B.C.(1,+∞)D.∪(1,+∞)
3.已知f(x)=则f(log23)的值是( )
A.B.C.24D.12
4.已知函数f(x)=若f(a)+f
(1)=0,则实数a的值等于( )
A.-3B.-1C.1D.3
5.设函数f(x)=,则满足f(x)=4的x的值是( )
A.2B.16C.2或16D.-2或16
6.设函数f(x)=,若f(x0)>1,则x0的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪(10,+∞)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)∪(-1,10)D.(0,10)
7.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则方程g[f(x)]=x的解集为( )
A.{1}B.{2}C.{3}D.∅
8.已知函数f(x)=,则f(x)+f()=________.
9.若f(a+b)=f(a)·f(b)且f
(1)=1,则+++…+=________.
10.(2011·武汉模拟)已知f(+1)=lgx,则f(x)=________.
11.设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=________.
12.已知定义在R上的函数f(x)满足:
f(x)·f(x+2)=13,若f
(1)=2,则f(2011)=________.
13.已知函数f(x)=,若f
(1)+f(a)=2,则a的值为____________;
函数及其表示
(二)
14.若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,+∞)B.(0,)C.(,+∞)D.[0,)
15.如果函数f(x)对于任意实数x,存在常数M,使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立,那么就称函数f(x)为有界泛涵.下面有4个函数:
①f(x)=1;②f(x)=x2;③f(x)=(sinx+cosx)x;④f(x)=.其中有两个属于有界泛涵,它们是( )
A.①②B.②④C.①③D.③④
16.对a,b∈R,记min{a,b}=函数f(x)=min{x,-|x-1|+2}(x∈R)的最大值为________.
17.函数f(x)=,则f()+f()+f()+f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=________.
18.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为________________;
19.已知函数f(x)=-1的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有________个.
20.已知函数f(x)=lg(x+-2),其中a是大于0的常数.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值;(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
21.某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120吨,(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?
最少水量是多少吨?
4
(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.
1.若f(x)=,则f(x)的定义域为( )
A.(-,0)B.(-,+∞)C.(-,0)∪(0,+∞)D.(-,2)
2.(2010·值域为{2,5,10},对应关系为y=x2+1的函数个数为( )
A.1 B.8
C.27 D.39
[答案] C
[解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况.当y=2,即x2=1时,x=1,-1或±1有三种情况,同理当y=5,10时,x的值各有三种情况,由分步乘法计数原理知,共有3×3×3=27种可能.故选C.
3.(2010·陕西理,5)已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a等于( )
A. B.
C.2 D.9
[答案] C
[解析] f(0)=20+1=2,f
(2)=4+2a=4a,∴a=2.
4.(2010·天津理,8)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
[答案] C
[解析] 解法1:
由图象变换知函数f(x)图象如图,且f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,∴f(a)>f(-a)化为f(a)>0,∴当x∈(-1,0)∪(1,+∞),f(a)>f(-a),故选C.
解法2:
当a>0时,由f(a)>f(-a)得,og2a>a,
∴a>1;
当a<0时,由f(a)>f(-a)得,(-a)>log2(-a),∴-1 5.a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f是M到N的映射,f(x)=x,则a+b的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 [答案] C [解析] ∵f(x)=x,∴f (1)=1=a,若f()=1,则有=1,与集合元素的互异性矛盾, ∴f()=0,∴b=0,∴a+b=1. 6.(2011·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( ) A.y=[] B.y=[] C.y=[] D.y=[] [答案] B [解析] 当x除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时,由题设知y=[],且易验证此时[]=[]. 当x除以10的余数为7,8,9时,由题设知y=[]+1,且易验证知此时[]+1=[].综上知,必有y=[].故选B. 7.设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G,且FG.若对任意的x∈F,都有g(x)=f(x),且g(x)为偶函数,则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”.已知函数f(x)=x(x≤0),若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数,则函数g(x)的解析式为( ) A.g(x)=2|x| B.g(x)=log2|x| C.g(x)=|x| D.g(x)=|x| [答案] A [解析] 由延拓函数的定义知,当x≤0时,g(x)=x,当x>0时,-x<0,∴g(-x)=-x=2x, ∵g(x)为偶函数,∴g(x)=2x, 故g(x)=,即g(x)=2|x|. 8.(2011·广东揭阳一模)函数f(x)=-lg(x-1)的定义域是( ) A.(0,2)B.(1,2).(2,+∞)D.(-∞,1) [解析] 当x>0时,f(x)-f(x-1)=1,∴f(2011) =[f(2011)-f(2010)]+[f(2010)-f(2009)]+…+[f (1)-f(0)]+f(0) +f(0)=2011+log21=2011. 10. 如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( ) [答案] C [解析] 函数在[0,π]上的解析式为 d== ==2sin. 在[π,2π]上的解析式为d==2sin,故函数的解析式为d=2sin,l∈[0,2π]. [点评] 这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点,采用排除法;或求函数解析式. 11.(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持,已知每投入x万元,可获得纯利润P=-(x-40)2+100万元(已扣除投资,下同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为: 在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资,其中在前5年中,每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,公路5年建成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为: 每投入x万元,可获纯利润Q=-(60-x)2+·(60-x)万元,问仅从这10年的累积利润看,该规划方案是否可行? [解析] 在实施规划前,由题设P=-(x-40)2+100(万元),知每年只需投入40万,即可获得最大利润100万元,则10年的总利润为W1=100×10=1000(万元) 实施规划后的前5年中,由题设P=-(x-40)2+100知,每年投入30万元时,有最大利润Pmax=(万元) 前5年的利润和为×5=(万元) 设在公路通车的后5年中,每年用x万元投资于本地的销售,而剩下的(60-x)万元用于外地区的销售投资, 则其总利润为 W2=[-(x-40)2+100]×5+(-x2+x)×5=-5(x-30)2+4950. 当x=30时,W2=4950(万元)为最大值, 从而10年的总利润为+4950(万元). ∵+4950>1000, ∴该规划方案有极大实施价值. 2.)函数y=的定义域为集合A,函数y=ln(2x+1)的定义域为集合B,则A∩B等于( ) A.(-,]B.(-,)C.(-∞,-)D.[,+∞) [答案] A [解析] 由得∴- 故A∩B=(-,]. (理)(2010·湖北文,5)函数y=的定义域为( ) A. B. C.(1,+∞) D.∪(1,+∞) [答案] A [解析] log0.5(4x-3)>0=log0.51,∴0<4x-3<1, ∴ 3.(2011·山东潍坊模拟)已知f(x)=则f(log23)的值是( ) A. B. C.24 D.12 [答案] A [解析] ∵1 ∴f(log23)=f(log23+1) =f(log23+2)=f(log212) =()log212=. 4.(2011·福建文,8)已知函数f(x)=若f(a)+f (1)=0,则实数a的值等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 [答案] A [解析] ∵f (1)=21=2,∴由f(a)+f (1)=0知 f(a)=-2. 当a>0时 2a=-2不成立.当a<0时a+1=-2,a=-3. 5.(文)(2010·广东六校)设函数f(x)=,则满足f(x)=4的x的值是( ) A.2 B.16 C.2或16 D.-2或16 [答案] C [解析] 当f(x)=2x时.2x=4,解得x=2. 当f(x)=log2x时,log2x=4,解得x=16. ∴x=2或16.故选C. (理)设函数f(x)=,若f(x0)>1,则x0的取值范围是( ) A.(-∞,0)∪(10,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(-1,10) D.(0,10) [答案] A [解析] 由或⇒x0<0或x0>10. 6.(2010·山东肥城联考)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表: x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则方程g[f(x)]=x的解集为( ) A.{1} B.{2} C.{3} D.∅ [答案] C [解析] g[f (1)]=g (2)=2,g[f (2)]=g(3)=1; g[f(3)]=g (1)=3,故选C. 7.(文)(2011·济南模拟)已知函数f(x)=,则f(x)+f()=________. [答案] 0 [解析] ∵f()==, ∴f(x)+f()=+=0. (理)若f(a+b)=f(a)·f(b)且f (1)=1,则+++…+=________. [答案] 2011 [解析] 令b=1,则=f (1)=1, ∴+++…+=2011. 8.(2011·武汉模拟)已知f(+1)=lgx,则f(x)=________. [答案] lg (x>1) [解析] 令+1=t,∵x>0,∴t>1,则x=, ∴f(t)=lg,f(x)=lg (x>1). 9.(文)(2011·广东文,12)设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=________. [答案] -9 [解析] 令g(x)=x3cosx,则f(x)=g(x)+1,g(x)为奇函数. f(a)=g(a)+1=11,所以g(a)=10,f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-9. (理)(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足: f(x)·f(x+2)=13,若f (1)=2,则f(2011)=________. [答案] [解析] ∵f(x+4)===f(x), ∴函数f(x)的周期为4, 所以f(2011)=f(4×502+3)=f(3)==. 10.已知函数f(x)=,若f (1)+f(a)=2,求a的值. [解析] ∵f (1)=e1-1=1,又f (1)+f(a)=2, ∴f(a)=1. 若-1 此时a2=, 又-1 若a≥0,则f(a)=ea-1=1,∴a=1. 综上所述,a的值是1或-. 11.(文)(2011·天津一中)若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(0,) C.(,+∞) D.[0,) [答案] D [解析] ①m=0时,分母为3,定义域为R. ②由得0 综上得0≤m<. (理)(2011·黑龙江哈尔滨模拟)如果函数f(x)对于任意实数x,存在常数M,使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立,那么就称函数f(x)为有界泛涵.下面有4个函数: ①f(x)=1; ②f(x)=x2; ③f(x)=(sinx+cosx)x; ④f(x)=. 其中有两个属于有界泛涵,它们是( ) A.①② B.②④ C.①③ D.③④ [答案] D [解析] 由|f(x)|≤M|x|对x∈R恒成立,知||max≤M. ①中||=||∈(0,+∞),故不存在常数M使不等式恒成立; ②中||=|x|∈[0,+∞),故不存在常数M使不等式恒成立; ③中||=|sinx+cosx|=|sin(x+)|≤,故存在M使不等式恒成立; ④中||=||=||≤, 故存在M使不等式恒成立. [点评] 作为选择题判断①后即排除A、C,判断②后排除B,即可选出D. 12.(文)(2011·海南海口模拟)对a,b∈R,记min{a,b}=函数f(x)=min{x,-|x-1|+2}(x∈R)的最大值为________. [答案] 1 [解析] y=f(x)是y=x与y=-|x-1|+2两者中的较小者,数形结合可知,函数的最大值为1. (理)(2011·山东烟台模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数K,定义函数fK(x)=取函数f(x)=a-|x|(a>1).当K=时,函数fK(x)在下列区间上单调递减的是( ) A.(-∞,0) B.(-a,+∞) C.(-∞,-1) D.(1,+∞) [答案] D [解析] 当K=时,fK(x)= = ∵a>1,∴0<<1,如图,作出函数fK(x)的图象可得其单调减区间为(1,+∞). 13.(文)(2011·上海交大附中月考)函数f(x)=,则f()+f()+f()+f (1)+f (2)+f(3)+f(4)=________. [答案] [解析] f (1)=,f(x)+f()=+=+=1,则f()+f()+f()+f (1)+f (2)+f(3)+f(4)=3+=. (理)(2011·襄樊检测)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] C [解析] 法一: 若x≤0,则f(x)=x2+bx+c. ∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2, ∴解得 ∴f(x)= 当x≤0时,由f(x)=x,得x2+4x+2=x, 解得x=-2,或x=-1; 当x>0时,由f(x)=x,得x=2. ∴方程f(x)=x有3个解. 法二: 由f(-4)=f(0)且f(-2)=-2,可得f(x)=x2+bx+c的对称轴是x=-2,且顶点为(-2,-2),于是可得到f(x)的简图(如图所示).方程f(x)=x的解的个数就是函数y=f(x)的图象与y=x的图象的交点的个数,所以有3个解. 14.(2011·洛阳模拟)已知函数f(x)=-1的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有________个. [答案] 5 [解析] 由0≤-1≤1,即1≤≤2得 0≤|x|≤2,满足条件的整数数对有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共5个. [点评] 数对(a,b)的取值必须能够使得|x|的取值最小值为0,最大值为2,才能满足f(x)的值域为[0,1]的要求. 15.(文)已知函数f(x)=(ab≠0),f (2)=1,又方程f(x)=x有唯一解,求f(x)的解析式. [解析] 由f (2)=1得=1,即2a+b=2; 由f(x)=x得=x, 变形得x(-1)=0, 解此方程得x=0或x=, 又因方程有唯一解,∴=0, 解得b=1,代入2a+b=2得a=, ∴f(x)=. (理)(2011·广东普宁模拟)已知函数f(x)=lg(x+-2),其中a是大于0的常数. (1)求函数f(x)的定义域; (2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围. [解析] (1)由x+-2>0,得>0, a>1时,x2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞). a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1}, 01+}. (2)设g(x)=x+-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g′(x)=1-=>0恒成立, ∴g(x)=x+-2在[2,+∞)上是增函数. ∴f(x)=lg(x+-2)在[2,+∞)上是增函数. ∴f(x)=lg(x+-2)在[2,+∞)上的最小值为f (2)=lg. (3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立. ∴a>3x-x2,而h(x)=3x-x2=-(x-)2+在x∈[2,+∞)上是减函数,∴h(x)max=h (2)=2,∴a>2. 16.(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120吨,(0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少? 最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象. [解析] (1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨, 则y=400+60t-120(0≤t≤24) 令=x,则x2=6t且0≤x≤12, ∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12); ∴当x=6,即t=6时,ymin=40, 即从供水开始到第6小时时,蓄水池水量最少,只有40吨. (2)依题意400+10x2-120x<80, 得x2-12x+32<0, 解得4 ∵-=8,∴每天约有8小时供水紧张. 1.(2011·江西文,3)若f(x)=,则f(x)的定义域为( ) A.(-,0) B.(-,+∞) C.(-,0)∪(0,+∞) D.(-,2) [答案] C [解析] 要使函数有意义,则有 ,所以.故选C. 2.(2010·浙江宁波十校联考)值域为{2,5,10},对应关系为y=x2+1的函数个数为( ) A.1 B.8 C.27 D.39 [答案] C [解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况.当y=2,即x2=1时,x=1,-1或±1有三种情况,同理当y=5,10时,x的值各有三种情况,由分步乘法计数原理知,共有3×3×3=27种可能.故选C. 3.(2010·陕西理,5)已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a等于( ) A. B. C.2 D.9 [答案] C [解析] f(0)=20+1=2,f (2)=4+2a=4a,∴a=2. 4.(2010·天津理,8)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) [答案] C [解析] 解法1: 由图象变换知函数f(x)图象如图,且f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,∴f(a)>f(-a)化为f(a)>0,∴当x∈(-1,0)∪(1,+∞),f(a)>f(-a),故选C. 解法2: 当a>0时,由f(a)>f(-a)得,og2a>a, ∴a>1; 当a<0时,由f(a)>f(-a)得,(-a)>log2(-a),∴-1 5.a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f是M到N的映射,f(x)=x,则a+b的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 [答案] C [解析] ∵f(x)=x,∴f (1)=1=a,若f()=1,则有=1,与集合元素的互异性矛盾, ∴f()=0,∴b=0,∴a+b=1. 6.(2011·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( ) A.y=[] B.y=[] C.y=
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