1考研数学模拟卷数三2答案.doc
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2013考研数学模拟试卷二【数三】解析
一、选择题
(1)C
解:
由得
于是
可见为曲线的拐点,故选(C)
(2)B
解:
由一阶导数判断函数单调性,二阶导数判断凹凸性,选B。
(3)A
解:
正项级数收敛,所以且
又,于是正项级数与有相同的敛散性,即收敛,且也收敛。
又,级数收敛,
所以,由比较判别法,级数绝对收敛。
(4)
解:
有三个间断点,其中为无穷间断点,曲线有两条铅直渐近线(非无穷间断点)。
又由泰勒公式,得,从而
,
故是曲线的斜渐近线。
(5)C
解:
因,满足.
两边取行列式,显然有,(A)成立.
又,移项,提公因子得
,
,
.
故,都是可逆阵,且互为逆矩阵,从而知方程组只有零解,正确.不可逆是错误的,又因,故,
从而有,,得,从而有
成立.
故
(1)、
(2)、(3)是正确的,应选(C).
(6)C
解:
非齐次通解=齐次通解+非齐次特解
(7)
解:
由于,所以密度函数为,分布函数为
,所以都不对。
因为,
而的分布函数不是,所以对。
事实上,的分布函数为
。
(8)D
解:
的分布密度为
二、填空题
(9)0
解:
由知,于是
(10).
解:
在方程中令可得,
将方程两边对求导数,得
将,代入,有,即
(11);
解:
可化为,通解为
。
所得旋转体的体积为
。
因为,所以为最小点,因此所求函数为。
(12)7.
解:
由复合函数求导法则,逐层展开有,
所以.
(13)1
解:
由知,
若令,则可逆,且,
即A~B,从而~,因此r(A-E)=r(B-E)=1
(14).
解:
由题设知,.
根据全概率公式得
.
三、解答题
解:
(1)记为的反函数。
由等式,
两边再对求导数得。
注意到则,因此。
(2)按导数定义得。
(16)解:
引入极坐标满足,在极坐标中积分区域可表示为,于是
由于,
故.
(17)解:
将在处按泰勒公式展开,有
令分别为得,
两式相减得,
由于在上连续,不妨设在上的最大值,最小值为,
则,
根据介值定理,,使得
于是,
即对于,有
解:
方程化为,解得,
由时,,得,于是。
显然。
又由知,当时,单调减少,且当时,
。
故此模型可以保证牲口在80头以上,令,。
当时,可求得,即5个月内牲口头数不超过100头。
(19)解:
(1)
(2)
因为,令
当时,
(20)解:
(1)设的特征值为,则为所对应的特征向量,由满足,有于是,
从而设的特征值为。
(2)3所对应的特征向量为设,由实对称阵不同特征值对应的特征向量正交,设0所对应的特征向量为,则有
所以0所对应的特征向量为。
(3)令,则,
。
(21)解:
(I)
当及时,方程组均有无穷多解
当时,则线性相关,不合题意
当时,则线性无关,可作为三个
不同特征值的特征向量
由知
(II),可见的基础解系即为
的特征向量
(22)解:
(I);
所以,得
(II)
,得
(III)
所以
因此是的无偏估计量。
(23)解:
(Ⅰ),所以.
(Ⅱ)
(Ⅲ),即时,
,即时,
(Ⅳ)
.
7
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