排列组合题集含详细答案.docx
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排列组合题集含详细答案
排列组合题集
一、解决排列、组合问题常用方法:
两个原理、优限法、排除法、捆绑法(视一法)、插空法、隔板法、
等可能法、固定模型、树图法等,但最基础的是“两个原理”^
二、排列、组合问题大体分以下几个类型
类型一:
排队问题
例1:
7人站成一排,求满足下列条件的不同站法:
(1)甲不站排头,乙不站排尾
(2)甲、乙两人不站两端
(3)甲、乙两人相邻(4)甲、乙两人不相邻
(5)甲、乙之间隔着2人(6)甲在乙的左边
(7)若7人顺序不变,再加入3个人,要求彳持原先7人顺序不变
(8)若7人中有4男生,3女生,男、女生相间隔排列
(9)7人站成前后两排,前排3人,后排4人的站法
(10)甲站中间^(11)7人中现需改变3人所站位置,则不同排法
(12)若7人身高各不相同,则按照从高到低的站法
(13)甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底(3人身高不同)的站法
(14)若甲、乙两人去坐标号为1,2,3,4,5,6,7的七把椅子,要求每人两边都有空位的坐法
类型二:
分组与分配问题
例2:
将6本不同的书,若按如下方式来分,则不同分法种数有:
(1)平均分成3堆,每堆2本
(2)分给甲、乙、丙3人,每人2本
(3)分成3堆,每堆本数分别是1,2,3,(4)分给甲1本,乙2本,丙3本
(5)分给3人,1人1本,1人2本,1人3本
(6)分给甲、乙、丙3人,每人至少1本
(7)若将6本不同书放到5个不同盒子里,有种不同放法
(8)若将6本不同书放到5个不同盒子里,每个盒子至少1本,则有种不同放法。
(9)若将6本不同书放到6个不同盒子里,恰有一个空盒子的方法。
(10)若将6本书放到四个不同盒子中,每个盒子至少一本
(11)若将6本编号为1,2,3,4,5,6的不同的书放到编号为1,2,3,4,5,6的6个不同盒子中,
要求有3本书的编号与盒子不一致的放法
(12)将6名优秀指标分到4个不同的班中去,每班至少1名,则分法种数
从中得出注意问题:
分清是否是平均分配,有无归属,如2本书平均分成2份,仅有一种分法,而7
C2C2
本书按2,2,3来分有C7422种分法。
A2
类型三:
数字问题
例3:
现有0,1,2,3,4,5共6个数字
(1)可组成数字可重复的5位数有个
(2)可组成无重复数字的5位数个
(3)可组成无重复数字的5位偶数的个数个(4)可组成能被5整除的无重复数字的五位数个
(5)在(3)中所有的偶数中,从小到大,第100个数是个
(6)用1,2,3,4组成无重复数字的四位数,所有这些四位数的数字和是一所有这些
四位数的和是
(7)由0,1,2,3,4,5六个数构成四位数中个位数与百位数之差的绝对值为4的有个
(8)在由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数有个。
(9)若从1到100这100个自然数中,任取20个数,要求这20个数两两不相邻的选法种。
(10)1800的正约数的个数为个
类型四:
几何问题
例4
(1)从正方体的6个面中任选取3个面,其中有2个面不相邻的选法种数是
(2)从正方体的8个顶点中,任取两点相连,可形成对异面直线。
(3)从正方体的8个顶点中任取3点连成一个三角形,其中直角三角形有个。
(4)从三棱柱中,任取两个顶点连成一条直线,其中异面直线有对。
(5)在四面体的顶点、各棱中点共10个点中,
任取4点,使其不共面,不同取法有——种。
(6)如图,在MON的边OM上有5个鼻TO的点,
ON上有4个异于O的点,以这10个点为顶点,可得个三角形。
(7)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有个。
(8)A、B、C、D是海上四岛,要建三座桥,将四岛联接起来,则不同建桥方案有种。
-6
5
3,4,5)与平彳亍直线y=m(m:
0,1,2,3,4,
(9)在平面直角坐标系中,平行直线X=n(n:
0,1,2,
域B(x,y)||x|11且|y|9内的椭圆个数为
(11)已知直线axby10(a2b20)与圆x2y250有公共点,且公共点的横、纵坐标为整数,这样的直线有条。
(12)ABC内有任意三点不共线的2005个点,加上A、B、C三个顶点共2008个点,把这2008个点连线形成互不重叠的小三角形,则一共可形成小三角形个。
(13)若直线方程AxBy0的系数A、B可以从0,1,2,3,6,7这六个数字中取不同的数而得到,
则这样的方程表示不同直线的条数是
(14)空间中有12个点,其中5点共面,此外无任何四点共面,这12个点可确定个不同的平面。
(15)如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边
的三角形有个。
(16)从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取3条的不同取法共/\
有n种,在这些取法中,以取出的三条线段为边构成钝角三角形的个数〈
为m,则m。
n
类型五:
涂色问题15题
例5:
(1)如图用5种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色,规定每一区域只涂一种颜色相邻
区域涂不同色,共有种不同涂法
1题图2题图
(2)如图一地区有5个行政区域,现给地图涂色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色供选择,则不同着色方法有种。
6个部分,现有4种不同颜色的花,每部分栽种一种,且相
色供使用,则有种不同染色方法。
22
(5)直线xm,yx将圆面xy4分成若干块,现用5种不同颜色给这若干块涂色,每块只涂
一种颜色,且任意两块不同色,共有120种涂色,则m的取值范围是
(6)如右图所示,用5种不同颜色着色,相邻部分不能用同一种颜色,但同一种颜色可反复利用,则
不同着色方案有种。
类型六:
列方程求解问题
例6:
(1)某场足球比赛的计分规则是胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,一球队打完15
场后积33分,若不考虑顺序,则该队胜、负、平的情况共有多少种?
(2)某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别是60元、70元的单片软件和盒装磁带,根据
需要,软件至少买3件,磁盒至少买2盒,则不同的选购方法有几种?
(3)一个口袋内有4个不同的红球和6个不同的白球。
①从中任取4个球,使红球的个数不比白球少,这样的取法有多少种?
②若取一红球记2分,取一白球记1分,从口袋中取5个球,使总分不少于7的取法种数有多少种?
(4)一铁路原有n个车站,为适应客运要求,新增m个车站(m1),客运票增加了62种,则原有车站个,现有个。
类型七:
选人问题
例7:
现从12人中选出5人参加一项活动,求满足下列条件的选法。
(1)A、B、C三人必须入选:
(2)A、B、C三人不能入选:
(3)A、B、C三人中只有1人入选:
(4)A、B、C三人中至少有1人入选:
(5)A、B、C三人中至多二人入选:
例8:
(1)在11名工人中,有5人只会排版,4人只会印刷,还有2人既会排版也会印刷,现从11人中选4人排版,4人印刷,共有种不同选法。
(2)某外商计划在4个侯选城市投资3个不同的项目,且在每一城市投资项目不超过2个,则该
外商不同的投资方案,有种。
(3)函数f:
1,2,31,2,3满足f(f(x))f(x),则这样的函数个数共有一个。
(4)写有0,1,2,5,7,9的六种卡片,若允许9可以当6用,那么从中抽出三张卡片,可以组
成个不同的三位数。
(5)设{an}是等差数列,从a1,a2「・,a10中任取3个不同的数,使这三个数仍成等差数列,则这
样的等差数列最多可有
(6)从6名学生中,选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作,若其中甲、乙两人不能从事工作A,则不同的选派方案共有种。
(7)将(xyz)10展开后,经合并同类项后的项数有项。
参考答案
一、排队问题
例1:
解⑴法1:
A6C5c5A53720(优限法)法2:
A;2AA3720(排除法)
(2)A2A52400(优限法)(3)A2A61440(捆绑法)(4)A;A2AA5A3600(排除法)
5.2.4—A!
_1_1-1
⑸A5A2A4960(捆绑法)(6)-2r2520(等可能法)(7)C8c9cI。
720(插空法)
34(8)A3A4
3(11)C7
(12)1
A
144(插空法)(9)A75040(分步方f数)(10)A6720(优限法)
270(分步计数,从7人中任取3人,如a,b,c则改变原位置站法有2种,b,c,a和c,a,b)
(固定模型)(13)勺840(等可能)(14)6XA212(固定模型,甲、乙两人坐法有
A
(2,4)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,6)6种)
二、分组与分配问题
C(2C2C2一-2-2-2一
例2:
解
(1)——3一15#(平均分组,无归属)
(2)C6c4c290种(平均分配,有归属,而这种分法又可
A3
1_2_3
分以下两步:
①先平土^分成3份,每份2本,再分给3人)(3)C6c5c360种(不平均分配,无归属)
(6)C;C2c2C:
Ac6c1C3A3540种
(4)C6C5C3360种(不平均分配,有归属)(5)C6c;2C3A3360种(不平均分配,有归属但不固定)
(分类计数,3人手中书本数可分(2,2,2)(1,1,4)(1,2,3)3类)
⑺56种(分步计数)(8)C(2A51800种(9)C2A510800种(10)C;A:
CC£A41560种(有
A
32
(1,1,1,3)(1,1,2,2)两类放法)(11)C6240种(同例1第(11)题)(12)C510种(隔板法)
三、数字问题例3:
解
(1)c564
(2)C5A4600(3)A4C2cx312(4)A44片216(5)23510
(6)A4(1234)240Ah1234)(103102101)66660(7)48(8)58(9)C8T
_322
(10)36(1800=235,2,3,5的取法种数分别有4,3,3种)
34
四、几何问题例4:
解
(1)C6812
(2)174(转化为找组成四面体的个数:
C812,每个四面体有3对
异面直线)(3)C;848(4)(C643)336(5)C24C436141(6)C5c4C5C4C5C290
_3____3_22_2_1_1__
(7)C7332(8)C6416(共可有桥C46座)(9)C6c6225(10)C10C8872
1
(11)72(12)2X2005+1=4011(13)18(14)211(15)40(16)-五、涂色问题例5:
解:
(1)180
(2)72(②④相同,4X3X2X2=48种,②④不同:
4X3X2X1X1=24种)
⑶120(可分⑤②相同,⑤③相同,⑤②③都不同3类)(4)420(分A、C相同与A、C不同)
⑸(.2,2)(6)540六、列方程求解问题
例6:
⑴解:
设胜x场,平y场,负z场,则z=15—x—y,'「3xy33,y333x0,
x11x10x9
x11,又xy15
y0或y3或y6共3种
z4z2z0
(2)解:
设买软件x个,磁带y个
60x70y500
则x3
y2
_4_3_1_2_2
⑶解:
①C4C4c6C4c6
xS寸,y可取2,3,4
x4寸,y可取2,3一工,
r共7种买法
x5寸,y2
x6时,y2
115种
②设取出红球x个,白球y个,则2xy7
又2x4,0y6
x2^x3^x4
或或
y3y2y1
233241aac禾山
C4c6C4c6C4c6186年中
22
(4)解:
由已知AmnAn62
311
n(m1)0
m2
m2m620又mz
经检验只有
2成立.
15
七、选人问题
(4)666(5)756
例7:
解:
(1)36
(2)126(3)378
例8:
解:
(1)185(以4个只会印刷工人被选中人数分类标准分3类,
C:
C;C3c2c64C:
c22C:
185
(2)60种
(3)10(分以下3种类型)
(7)66(开展式中项为xmynxl,(m,n,lz)则mnl10,若m0,则n,l有11种取法,m=1,n,l有10种取法,…m=10,n,l有1种取法.••・1+2+3+…+11=66.)
排列组的的几个特殊方法
一、隔板法:
例1.有10个相同的小球,放入编号为1、2、3的三个不同盒子,
(1)要求每个盒子非空,共有多少种放法?
(2)要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数,共有多少种放法?
2
角单:
(1)要求非空,所以十个小球只有9个空隙,放三块隔板就是C9=36
2
(2)从10个球里拿出三个,1个放在2号盒子,2个放在3号盒子,剩下7个如
(1),C6=15
例2.已知方程x+y+z+w=100,求这个方程的正整数解的组数.
解:
可以把一百模型化为100个一样的球,x.y.z.w是4个不同的盒子,同例1,在99个空位插入3块隔
板C:
q=156849
99
练习
1.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队,参加市中学数学应用题竞赛活动,使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种?
2.6人带10瓶汽水参加春游,每人至少带1瓶汽水,共有多少种不同的带法?
3.已知方程X1X2X350,求这个方程有多少组非负整数解.
二、插空法:
例3.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()
5-2
解:
甲、乙先放到一边,排列剩下的5个人,形成了6个空位,把甲乙插到空位就行A;A2=3600
例4.在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对顺序不变,再添加进
去3个节目,则所有不同的添加方法共有多少种?
1
解:
米取分步的做法,把3个节目分三步插入,一、有7个空位,插如第一个节目C7,二、有8个空位
11111
插入第二个节目Cg,三、有九个空位,插入第三个节目C9,所以添加方法有C7xC8xCg=504种。
例5.一座桥上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十盏灯,为节约
用电又不影响照明,可以把其中的三盏关掉,但不能关掉相邻的两盏或三盏,也
不能关掉两端的路灯,问不同的关灯方法有多少种?
解:
已知只能关掉中间8盏灯的3盏灯,由此可以转化为5盏灯是亮着的,这中间有6个空位,把3盏关
3
了的灯插到这中间就行,所以C6=60.
练习
4.一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至少有2个空椅子,共有几种不同的坐法?
三、捆绑法:
例6.一条长椅上有七个座位,四人坐,要求三个空位中有两个空位相邻,另一个空位与这两个相邻空位不相邻,共有几种坐法?
解:
先把2个空位绑到一起,4个人有5个空位,抽出两个插入,C;XA;=20
例7.有8本不同的书;其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本.若将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的3排法共有多少种?
解:
数学书绑一块,外语书绑到一块,先大排,然后小排Aa3a
例8.5个男生3个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法?
解:
a5a:
。
练习
5.6个不同的球放到5个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法?
6.4男4女站成一行,男女相间的站法有多少种?
四、杂七杂八:
例9.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
解:
clc;c;c;c;c7=76117649
例10.
(1)30030能被多少个不同偶数整除?
解析:
先把30030分解成质因数的形式:
30030=13X11X7X5X3X2,奇数x偶数=偶数,可知只要因素有偶
数就是能整除30030的因数。
例11、五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有()
例12.
(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()
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