人教版九年级数学上册《圆周角》教学设计.docx

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人教版九年级数学上册《圆周角》教学设计

24.1.4圆周角（第一课时）教学设计

一、教学内容及其解析

本节课选自人教版《义务教育教科书数学》九年级上册第二十四章第一课时，主要内容为圆周角的概念，圆周角与圆心角及其所对弧的关系，圆周角定理及其推论.

本节课是在学生学习了圆心角概念并通过探索掌握其定理的基础上进行，与圆心角类似，圆周角概念也是紧抓角的元素，让角的顶点位置特殊化——在圆上，两边与圆相交.

圆周角与圆心角及其所对弧的关系中蕴含着“变中不变”的思想：

对于一条弧所对的无数圆周角，利用“弧”的桥梁作用，与具有唯一性和确定的圆心角紧密联系起来.

圆周角定理及其推论为角的计算，证明角相等，证明弧、弦相等等问题提供简单的方法.其证明过程进一步渗透“特殊一般”、“分类”、“转化”的数学思想方法，培养直观想象能力和逻辑推理能力.

二、教学目标及其解析

教学目标：

1.理解圆周角概念；

2.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系；

3.了解并证明圆周角定理及其推论：

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角.

目标解析：

1.能在图形中正确识别圆周角；在圆上画出圆周角；

2.通过分解与整合圆周角中的基本图形——直线型“角”、曲线形“圆”，理解圆周角与弧的对应关系，了解该弧产生的原因；能借助“弧”探索圆周角与圆周角，圆周角与圆心角之间的关系；能运用“特殊与一般”的数学思想对同弧所对的圆周角与圆周角，圆周角与圆心角进行分类，将无限个情况转化为有限个进行研究；

3.了解圆周角定理及其推论之间的逻辑关系；证明圆周角定理时，能分解“圆心在圆周角一边”这一特殊情况图形中所蕴含的几何基本图形，并运用“转化与化归”思想，将其余情况转化为特殊情况，从而证明定理.

三、学生学情分析

学情分析：

1.从知识层面上：

学生已认识圆中的相关元素，掌握圆心角、弧、弦三者的转化关系，但由于仅第二次对“曲线型”几何图形——圆中进行探索，所以对转化桥梁——具有唯一性和确定性的圆心角、弧还比较陌生，将借助圆周角的性质探索加深学生对“圆心角、弧”的桥梁作用的理解.

2.从探索层面上：

学生具有一定的研究“直线型”几何图形性质的经验，但对于圆比较陌生，因此需要从几何研究的本质出发，对学生进行引导，让学生感受到一以贯之的研究套路、思想和方法；在证明定理过程中，学生对猜想需分类证明的情况接触较少，需教师引导学生意识到需要分类，从而思考分类的依据，证明的方法.

教学重点：

理解圆周角的概念，了解圆周角定理及其推论.

教学难点：

探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，证明圆周角定理及其推论.

四、教学策略分析

基于上述学情，本节课主要采用问题式探索法引导学生掌握圆周角的概念，探索并证明圆周角定理及其推论.

问题组织策略：

在掌握概念的过程中，设置问题串，引导学生从叠加图形的角度对圆周角进行再次认识，了解角与圆叠加后产生了弧，而弧与圆周角之间存在对应关系；在证明命题前，引导学生在命题证明的选择中，厘清命题逻辑，抓住问题本质；在证明环节中，通过反复追问”某一情况证明完，则该命题是否证明完成”，让学生自然明白需要分类，通过设问“该图形中蕴含什么基本图形，基本图形之间有何联系”，让学生观察图形的特征，从而得到证明的思路.

操作探索策略：

探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的研究思想实质是“特殊的位置关系与特殊的数量关系存在联系”，在这一思想的指导下，学生既能掌握有向有序的对几何性质的研究方法，也明确初中几何性质的顶层设计.故设置两个探索活动，引导学生充分经历有思考的画图，观察，猜想，验证，证明这一探索过程，渗透“特殊一般”、“分类”、“转化”的数学思想方法.尤其在画图尝试过程中，要求学生在无限个图形中选择有代表性的图形进行构图，促使学生做出选择，进一步感悟“分类”思想，并引导学生基于几何探索的思想，独立完成探索提出猜想.

本节课运用多媒体课件教学，借助几何画板软件展示连续变换的圆周角，引导学生思考探索方法；借助希沃同屏助手辅助实现师生之间，生生之间的成果共享，交流互助等.

五、教学过程

（一）复习回顾，引入概念

1.复习圆心角：

【问题1】同学们，上节课我们研究了一类与圆有关的特殊的角，圆心角，得到了它的定义和性质.那么大家还记得，圆心角的定义是什么呢？

【追问1】如图1，我们可以把圆心角看成是哪些几何图形的叠加在一起？

【追问2】请你描述下它们是怎么叠加的？

（根据角的要素进行描述）

【设计意图】引导学生复习圆心角的定义，从几何叠加角度再次识别圆心角，从而为后续学习圆周角定义和认识圆周角中角与圆的联系做好铺垫.

2.引入圆周角：

【问题2】今天，我们将再研究一类特殊的与圆有关的角，也将角和圆进行叠加，你认为这个角顶点放在在哪里比较特殊呢？

【追问1】确定完角的顶点，还需要确定什么？

【教师行为】讲述：

如果此时，我们令这个角的两边与圆相交，我们就把这样的角称之为圆周角，画出圆周角（如图2），写出课题，这也是我们今天研究的对象.

【追问3】你能把它的定义再复述一遍么？

【设计意图】在本环节引导学生从角的要素出发，得出圆周角的定义，并引导学生认知到圆周角顶点和两边的位置的特殊性.

3.辨析概念：

【师】学习了圆周角的定义，请同学们：

指出下图中哪些是圆周角？

若不是，请说明理由.

4.理解概念：

【师】大家已经知道了圆周角的定义，我们现在再一次感受圆周角.

【问题3】如图3，当角以顶点在圆上，两边与圆相交的方式进行叠加时，这个角与圆产生了什么样的联系呢？

在角和圆叠加后，你首先看到了什么元素？

【设计意图】目的是帮助学生理解当角与圆以这样的方式叠加时，角两边与圆相交的交点与圆的弧之间的关系，弧与角之间的对应关系，初步探索圆周角及其所对弧的关系，发展学生的几何直观能力（关系如图4）.

【总结】我们今天所研究的圆周角与过去的角有所不同，我们是在圆的背景下研究！

（2）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系

1.确定圆周角研究方向，得出猜想

【问题4】同学们，接下来研究什么呢？

【追问1】几何图形的性质是几何要素之间确定的位置关系，大小关系.那我们可以研究哪些要素之间关系？

生：

圆周角与圆周角，圆周角与圆心角

【设计意图】通过该问题引导学生回顾几何图形的研究基本思路为定义——性质，研究性质要从元素之间的关系出发，将探索方向聚焦为同类型角之间的关系.

【问题5】我们先研究同类的关系，特殊的位置关系和特殊的大小关系之间存在联系！

先确定圆周角与圆周角之间的特殊位置关系，正如前面所研究的，圆周角的位置由什么决定呢？

【追问1】如图5，如果这三个点同时变化，大家请看几何画板，会产生几个圆周角呢？

【追问2】好不好研究？

那怎么办？

大家想先让哪个点动起来呢？

【设计意图】通过几何画板展示，让学生认识到当圆周角的顶点和与圆相交的两个交点同时变换时，研究将无从下手，因此需要借助控制变量的研究方式进行探索.

【问题6】固定交点B、C，只让顶点A在圆上移动（不与B、C重合），可以画出几个圆周角？

产生的圆周角之间会不会存在特殊的关系呢？

【活动一】请同学们在圆上画出符合条件的三到五个你觉得具有代表性的圆周角，并思考：

（1）确认：

这些圆周角之间特殊的位置关系是什么？

（2）操作：

画出你认为符合条件的三到五个圆周角；

（3）观察：

这些圆周角具有这么特殊的位置关系，会不会有特殊的大小关系呢？

若有，是什么？

（4）猜想：

完整叙述猜想.

【师生活动】学生独立完成探索活动，教师巡视过程注意发现具有代表性的位置特殊的圆周角，并将之展示至黑板，引导学生从特殊到一般进行归类，说明所画圆周角之间的位置关系，并借助圆中元素（弧、弦）精致其描述方式，讲解观察的结论，并提出猜想1：

半圆（直径）所对的圆周角为直角；猜想2：

同弧所对的圆周角相等.

【预设】学生在尝试构图过程中可以顺利确定其中一个交点B的位置，但会对另一个交点C和顶点A的位置进行思考。

由此在画图中进行两次分类，第一次分类为交点B、C所确定的弧：

特殊——半圆；一般——优（劣）弧.第二次分类为在交点B、C确定的优（劣）弧的前提下，顶点A的位置：

都在优弧上；都在劣弧上；一部分在优弧上，一部分在劣弧上.

故预设学生所画符合条件的圆周角如图6：

【设计意图】本环节为进一步探索圆周角及其所对弧的关系，旨在

（1）让学生了解能够借助圆的元素“弧或直径”说明圆周角之间的位置关系；

（2）发展学生的理性思维和勇于探索精神:

①掌握几何探索的方式方法；②对圆周角位置有思考的情况下进行构图；③在意识到当可画的圆周角有无数个时，应当运用“分类”、“特殊到一般”的数学思想进行探索；（3）引导学生充分经历探索过程，培养学生合情推理的能力.

【总结1】我们发现这两个猜想的过程是什么？

生：

先定特殊的位置关系，画出图形，再通过测量，发现特殊的数量关系

【总结2】在探索中，我们都借助什么来描述圆周角的位置关系？

【设计意图】

（1）进一步渗透“弧”作为研究圆周角之间关系的桥梁作用；

（2）通过总结提炼本节课探索的依据、方式，①探索的依据是：

特殊的位置关系和特殊的大小关系存在联系；②探索方式是：

先定特殊的位置关系，再观察大小关系；③通过控制变量法的研究可以更精准的观察圆周角之间的关系，并能有更多的探索方式值得一试，感受到数学探索之间的联系.

【师】研究完顶点变换后，我们接下来可以研究什么？

只有一个交点动的情况也是很值得我们研究的问题，留待课后同学们模仿刚刚的探索方式进行研究.

【设计意图】让学生学会探索，敢于探索，能够理解数学知识之间是存在联系的，发展学生的学习力.

【问题8】现在，我们来研究特殊的圆周角和特殊的圆心角之间的关系.现在大家觉得我们应该怎么研究呢？

先确定什么？

【追问1】你认为圆周角和圆心角什么样的位置关系会特殊呢？

【活动三】研究同弧所对圆周角与圆心角之间的关系

研究过程：

（1）确认：

它们之间特殊的位置关系是什么？

（2）操作：

画出你认为具有代表性的三到五个圆周角；

（3）观察：

它们之间是否存在特殊的大小关系？

若有，是什么？

（4）猜想：

提出猜想.

【预设】学生所画圆周角与圆心角

类别

图形

猜想

（1）半圆所对圆周角与圆心角

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半

（2）劣弧所对圆周角与圆心角

（3）优弧所对圆周角与圆心角

表1

【设计意图】进一步探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，再次渗透圆中“弧”的桥梁作用；同时以类比活动一的研究方式对圆周角和圆心角进行研究，进一步渗透“特殊的位置关系与特殊的大小关系之间存在联系”的几何研究思路.

（三）了解并证明猜想

【问题9】我们现在得到三个猜想，猜想1：

半圆（直径）所对的圆周角为直角；猜想2：

；同弧所对的圆周角相等；猜想3：

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，你想先证哪一个？

【追问1】为什么?

【设计意图】引导学生剖析三个命题之间存在的逻辑关系，发展学生逻辑推理能力，明确解决三个命题的关键在于解决“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”这一猜想，只要猜想3成立，则猜想1和2必然成立，进而理解圆中“变中不变”：

同弧所对的圆心角具有唯一性和确定性（如图7）.

【问题10】既然我们先证明同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半，那得先有图呀.哪位同学觉得自己画的图很有代表性的？

【追问1】为什么你觉得自己所画图形具有代表性？

【追问2】从该同学所画图形中你看到了什么基本图形？

这些基本图形有什么联系？

【预设】学生对弧进行分类（如表1），对劣弧所对圆周角与圆心角情况进行分类（如图8）：

（1）圆心在圆周角边上；

（2）圆心在圆周角内；（3）圆心在圆周角外.并对特殊情况：

圆心在圆周角边上的图形进行分析（如图9）.

【追问3】分解出来的基本图形是否对证明有帮助？

【追问4】如果这种情况证明完，该猜想成立么？

【设计意图】

（1）让学生大胆分享自己思考下所画出的具有代表性的图形，在特殊到一般的思想指导下，化无限为有限”的分类思想，有意识的对所画图形中的进行分类：

半圆，劣弧，优弧.同时对劣弧所对圆周角和圆心角的位置关系也用分类思想进行研究；

（2）在几何证明过程中，从特殊情况入手，引导学生对所画图形进行解构，分析目标基本图形，从而获得证明思路，并进行说理，发展学生的直观想象能力和逻辑推理能力，也为其他情况的证明提供转化的方向.

【追问5】如何证明剩余的情况？

【追问6】此时，猜想3我们已经证明完成，那么猜想1和猜想2是否成立？

若成立，请简单说明理由.

【设计意图】

（1）通过对弧的分类，对劣弧所对圆周角与圆心位置关系的特殊情况和一般情况的分析，感受分类证明的必要性；

（2）引导学生将一般情况化为特殊情况，渗透转化与化归的数学思想；（3）进一步感受三个猜想之间的逻辑关系，得到圆周角定理及其推论.

（四）总结归纳

【问题11】我们怎么探索圆周角与圆心角、弧之间的关系呢？

【追问1】我们在探索圆周角与圆心角、弧之间的关系和证明圆周角定理及其推论的过程中运用了哪些思想方法？

【设计意图】引导学生回顾本节课所学知识，理解圆周角与圆周角，圆周角与圆心角之间的桥梁是“弧”；更重要的是通过本节课的探索，掌握几何探索的方法和思想：

“几何要素中特殊位置关系与特殊大小关系存在联系”、“一般与特殊的关系”，进一步认识数学思想

数学方法、积累数学活动的经验.

六、教学目标检测

【课后检测】

1.在以下的圆中各画一个圆周角，令他们所对的弧分别为劣弧、半圆、优弧.

【设计意图】考查学生对圆周角与弧的关系的理解.

2.如图1，A、B、C、D是⊙O上的四个点，︵BC所对的圆周角是（）

A.

B.

C.

D.

【设计意图】考查学生对圆周角与弧的关系的理解.

2.如图2，点A、B、C是⊙O上的三个点，且∠ACB=50°，则∠AOB=°.

【设计意图】考查学生对圆周角定理的简单运用.

4.如图1，若BD为直径，AD=CD，∠ACD=50°,则∠ABC=°；∠BDC=°.

【设计意图】考查学生对圆周角定理推论的掌握.

5.如图3，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=_________.

5.如图4，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=50°，求∠ADC的度数.

【设计意图】考查学生对同弧所对圆周角与圆心角之间关系的掌握，

6.如图，AC、BE是⊙O的直径，︵BC=︵CD=︵ED，请猜想∠BAD和∠DBE的角度，并说明猜想成立的前提.

【设计意图】考查学生对圆周角与圆心角、弧之间关系的掌握，为下一节课等弧所对的圆周角相等做铺垫.