数值分析试题及答案汇总.docx
- 文档编号:15012256
- 上传时间:2023-06-29
- 格式:DOCX
- 页数:24
- 大小:198.68KB
数值分析试题及答案汇总.docx
《数值分析试题及答案汇总.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值分析试题及答案汇总.docx(24页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题
填空题(20X2')
1.
32
设乂=是精确值x*=的近似值,则x有2
位
A
X
2
21
3
有效数字。
2.若f(x)=x7—X3+1,贝Uf[20,21,22,23,24,25,26,27]=_J
012345678
f[2,2,2,2,2,2,2,2,2】=0。
3.设,11A||,_5X||_3
IIAX||_15_0
4.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足|'(x)|<1,则使用
该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5.区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到_2_阶的连续导数。
6.当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商
公式的前插公式,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公
式的后插公式;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的
拉格朗日插值公式。
n
7.拉格朗日插值公式中f(xj的系数ai(x)的特点是:
ai(x)_J;所
i0
以当系数a(x)满足ai(x)>1,计算时不会放大f(xj
的误差。
8.要使V20的近似值的相对误差小于%至少要取—4位有效数字。
9.对任意初始向量X0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)
收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)<1
10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是__5。
x
0
1
2
y=f(x)
-2
-1
2
11.牛顿下山法的下山条件为lf(xn+1)|v|f(xn)|。
12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的,其中的残
差ri=(bi-aiiXi-ai2Xn…-ainXn)/aii,(i=0,1,…,n)。
13.在非线性方程f(x)=O使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且
f(X)的二阶导数不变号,则初始点Xo的选取依据为
f(xO)f”(x0)>0。
14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。
二、判断题(10XT)
1、若A是n阶非奇异矩阵,则线性方程组gb一定可以使用高斯消元法求解。
(x)
2、解非线性方程f(X)=O的牛顿迭代法在单根X*附近是平方收敛的。
()
3、若A为n阶方阵,且其元素满足不等式
n
aHaj(i1,2,…,n)
j1
ji
则解线性方程组AX^b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。
(x)
4、样条插值一种分段插值。
()
5、如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
()
6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差
及舍入误差。
()
7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b。
(x)
8迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步
迭代计算的舍入误差。
(x)
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截
断误差=舍入误差。
()
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。
(x)
三、计算题(5x10')1、用列主元高斯消元法解线性方程组。
x1x2x34
5x14x23x312
2x1x2x311
解答:
(1,5,2)最大元5在第二行,交换第一与第二行:
5x14x23x312
x1x2x34
2x1x2x311
l_21=1/5=,l31=2/5=方程化为:
5x14x23x312
0.2x20.4x31.6
2.6x20.2x315.8
(,)最大元在第三行,交换第二与第三行:
5x14x23x312
2.6x20.2x315.8
0.2x20.4x31.6
_32==,方程化为:
5x14x23x312
2.6x20.2x315.8
0.38462x30.38466
回代得:
x13.00005
x25.99999
x31.00010
2、用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式%x),并写
出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。
Xi
0
1
2
f(Xi)
1
-1
3
f'(Xi)
1
5
解答:
做差商表
xi
F(xi
)
F[xi,xi+
1]
F[++2]
F[xi,xi+1,xi+2,x
i+3]
F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,
xi+4]
0
1
1
-1
-2
1
-1
1
3
2
3
4
3
0
2
3
5
1
-2
-1
P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)
R4(x)=f(5)()/5!
x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组,使之应用雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法均收敛,写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的迭代公式,并简单说明收敛的理由。
解答:
交换第二和第四个方程,使系数矩阵为严格对角占优:
2x1
X1
x2x41
3x2x33
x24x3x48
X1
x35x46
雅克比迭代公式:
2x1
X1
x2x41
3x2x33
x24x3x48
X1
x35x46
4.等距二点的求导公式是()
1
f(xj-(ykyk1)
(C)I(D)
1
f(xk1)-(yk1yk)
5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是
yki2(ypyc)
那么yp,yc分别为().
yp
yk
hf(Xk,yk)
Yp
Yk
hf(Xki,Yk)
(A)
(B)
yc
yk
hf(Xki,yk)
Yc
Yk
hf(Xk,Yp)
yp
Yk
f(Xk,yQ
Yp
Yk
hf(Xk,Yk)
(C)
(D)
yc
yk
f(Xk,Yp)
Yc
Yk
hf(Xki,Yp)
、
填空题
(每小题3分,共i5分)
6.设近似值xi,X2满足(xi)=,(X2)=,那么(XiX2)=.
7.三次样条函数S(x)满足:
S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导,S(Xk)=yk(已知),k=0,1,2,…,n,
且满足S(x)在每个子区间[Xk,Xk+i]上是.
bnn
8.牛顿—科茨求积公式f(x)dxAkf(xJ,则Ak=
ak0k0
9.解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内,则在有根区间内
任意取一点作为初始值,迭代解都收敛.
10.解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一一校正公式是
预报值:
ykrykhf(xk,yk),校正值:
yk+i=.
三、计算题(每小题i5分,共60分)
11.用简单迭代法求线性方程组
8X-I
3x2
2x3
20
4x-i
iix2
X3
33
6xi
3x2
12x3
36
的X(3)•取初始值(0,0,0)T,计算过程保留4位小数.
i2.已知函数值f(0)=6,f(i)=iO,f(3)=46,f(4)=82,f(6)=2i2,求函数的四阶均差f(0,i,3,4,6)和二阶均差f(4,i,3).
13.将积分区间8等分,用梯形求积公式计算定积分.ix2dx,计算过程保留4位小数.
i
14.用牛顿法求Ji5的近似值,取x=i0或ii为初始值,计算过程保留4位小数.
四、证明题(本题iO分)
15.证明求常微分方程初值问题
yf(x,y)
y(x。
)y。
在等距节点a=xo hrr y(xk+i)yk+i=yk+[f(xk,yk)+f(xk+i,yk+i)] 2 其中h=Xk+i—Xk(k=0,i,2,…n—i) 《计算机数学基础 (2)》数值分析试题答案 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.A2.B3.A4.B5.D 二、填空题(每小题 6.X2+X17.3 Xk f(Xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0 6 1 10 4 3 46 18 14/3 4 82 36 6 1/3 6 212 65 29/3 11/15 1/15 f(0,1,3,4,6)=— 15 f(4,1,3)=6 13.f(x)=,1x2,h=—0.25.分点X0=,X1=,X2=,X3=,X4=,X5=,X6=,X7=,X8=. 8 函数值: f=2,f=8,f=8,f=6,f=1,f=2,f=6,f=2,f=3. 3h 1f(x)dxJf(x。 )f(X8) 2(f(Xi)f(X2)f(X3)f(X4)f(X5)f(X6)f(X7))](9分) X8+8+6 +1+2+6+2)] =X5+2X3)=1 14.设X为所求,即求X—115=0的正根.f(x)=x2—115. 因为f(x)=2x,f(X)=2,f(10)f(10)=(100—115)X2<0,f(11)f(11)=(121—115)X2>0取X0=11. 有迭代公式 f(Xk) f(Xk) X;115Xk 2Xk1 115 Hk="J 11 X1=- 2 115 =3 211 Xk+1=Xk— =Xk X2=10空 115 210.7273 X3=®2空 115 x*8 四、证明题(本题10分) 15.在子区间[Xk+1,Xk]上,对微分方程两边关于x积分,得 用求积梯形公式,有 h y(xk+i)—y(xk)=-[f(xk,y(xk))f(xk1,y(xk1))] 将y(xQ,y(Xk+J用yk,yk+1替代,得到 hrr, y(Xk+1)yk+1=yk+[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)](k=0,1,2,•…,n—1) 2 数值分析期末试题 -、填空题(21020分) 152 (1)设A210,则|A||13。 382 (2)对于方程组 2x15x2 1 Jacobi迭代法的迭代矩阵是 10x14x23 Bj 02.5 2.50 (3)3x*的相对误差约是X*的相对误差的 (4) 求方程X f(X)根的牛顿迭代公式是 Xn1Xn Xn f(Xn) (5) 设f(x) x1,则差商f[0,1,2,3] (6) 设nn矩阵 G的特征值是 (7) 已知A1 1f'(Xn) 1,2,,n,则矩阵G的谱半径(G) 2 1,则条件数COnd(A)」 (8)为了提高数值计算精度,当正数X充分大时,应将ln(X max x21)改写为ln(xx21)。 (9)n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n1次。 (10)拟合三点(X1,f(X1)),(X2,f(X2)),(X3,f(X3))的水平直线是y 13f(Xi)。 3i1 2x1 X2 X3 二、(10分)证明: 方程组x1 X2 X1 X2 X3 2X3 1 1使用Jacobi迭代法求解不收敛性。 证明: Jacobi迭代法的迭代矩阵为 0.5 0.5 Bj 0.5 0.5 Bj的特征多项式为 det(IBj) 0.5 0.5 0.5 0.5 (21.25) Bj的特征值为10, ■1.25i ■-1.25i,故(Bj).1.25>1,因而迭代法不收 敛性。 三、(10分)定义内积 (f,g) f(x)g(x)dx 解: 0(x)1,i(x)x, (1,f) 法方程 412 解得c°,C1。 所求的最佳平方逼近兀素为 1515 P(x) 四、(10分)给定数据表 x -2 -1 0 1 2 y 试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。 解: y(x)c0c1xc2x2c3x3 1 2 4 8 5 0 10 0 1 1 1 1 0 10 0 34 A1 0 0 0,ATA 10 0 34 0 1 1 1 1 0 34 0 130 1 2 4 8 ATy(2.9,4.2,7,14.4)t 法方程 的解为c。 0.4086,c1 AtAcAty 0.39167,C20.0857,C30.00833 得到三次多项式 y(x)0.40860.39167x0.0857x20.00833x3 误差平方和为30.000194 5.(10分)依据如下函数值表 X 0 1 2 4 f(x) 1 9 23 3 建立不超过三次的Lagrange插值多项式,用它计算f(2.2),并在假设f(4)(x)1下, 估计计算误差。 解: 先计算插值基函数 1352 xxx 44 6.(10分)用矩阵的直接三角分解法解方程组 1020x15 0101x23 1243x317 0103X47 1 0 2 0 1 10 0 1 0 1 121 1 U22 1 2 4 3 131 l32 1 0 1 0 3 141 l42 l431 20 U23U24 U33U34 U44 由矩阵乘法可求出uij和Iij 11 I21 1 0 1 I31 I 32 1 1 2 1 I41 I 42 I43 1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 2 0 U22 U23 U24 1 0 1 U33 U34 2 1 U44 2 解下二角方程组 1 y1 5 0 1 y2 3 1 2 1 y3 17 0 1 0 1 y4 7 有y15,y23, ya 6, y4 4 0再解上三角方程组 1 0 2 0 X1 5 1 0 1 X2 3 2 1 X3 6 2 X4 4 得原方程组的解为x1 1 X2 1 X3 2, X4 20 7.(10分)试用Simpson公式计算积分 1 2- exdx 1 的近似值,并估计截断误差 解: f(4) 1 12 36 24£ (8 7 6 5)ex X X X X max 1x2 f⑷(X) f ⑷ (1) 198.43 截断误差为 8.(10分)用Newton法求方程xlnx2在区间(2,)内的根,要求 Xk Xk1 Xk 108。 解: 此方程在区间(2, )内只有一个根s, 而且在区间(2,4)内。 设 f'(x) f(x) f''(x) xlnx2 Newton法迭代公式为 取x03,得sx43.146193221。 9.(10分)给定数表 X -1 0 1 2 f(x) 10 14 16 15 f'(x) 1 求次数不高于5的多项式H5(x),使其满足条件 其中xi1i,i0,1,2,3 解: 先建立满足条件 X2) fx0,x1,x2,x3(xx0)(xx1)(x 104(x1)(x1)x^(x1)x(x1) 6 14里xx2lx? 66 再设H5(x)P3(x)(axb)(x1)x(x1)(x2),由 H5 (1) H5 (1) P3 (1)(ab)(6)1 P3 (1)(ab) (2)0.1 .11ab 8 17ab 60 解得a 59,161 360,360 故所求的插值多项式 H5(x)14詈%%21x3 (161 59x)x(x2 1)(x2)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数值 分析 试题 答案 汇总
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)