新人教版课时作业 第一章 142充要条件.docx
- 文档编号:15013096
- 上传时间:2023-06-29
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:52.75KB
新人教版课时作业 第一章 142充要条件.docx
《新人教版课时作业 第一章 142充要条件.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新人教版课时作业 第一章 142充要条件.docx(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
新人教版课时作业第一章142充要条件
1.4.2 充要条件
学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明.
知识点 充要条件
一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分必要条件,简称充要条件,记作p⇔q.
1.“x=0”是“(2x-1)x=0”的充分不必要条件.( √ )
2.q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
3.若p是q的充要条件,则条件p和q是两个相互等价的条件.( √ )
4.q不是p的必要条件时,“p⇏q”成立.( √ )
一、充分、必要、充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中,p是q的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分又不必要条件).
(1)p:
数a能被6整除,q:
数a能被3整除;
(2)p:
x>1,q:
x2>1;
(3)p:
△ABC有两个角相等,q:
△ABC是正三角形;
(4)p:
|ab|=ab,q:
ab>0.
解
(1)∵p⇒q,q不能推出p,
∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵p⇒q,q不能推出p,
∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵p不能推出q,q⇒p,
∴p是q的必要不充分条件.
(4)∵ab=0时,|ab|=ab,
∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”,即p不能推出q.
而当ab>0时,有|ab|=ab,即q⇒p.
∴p是q的必要不充分条件.
反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法:
直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:
即利用集合的包含关系判断.
(3)传递法:
充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性.
跟踪训练1 已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的________条件.
答案 充要
解析 因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,
充分性成立;因为ab>0,所以a与b同号,又a+b>0,所以a>0且b>0,必要性成立.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
二、充要条件的证明
例2 求证:
关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明 充分性:
因为a+b+c=0,
所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,
得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性:
因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.
所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
延伸探究
求证:
关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 必要性:
由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根,
所以Δ=b2-4ac>0,x1·x2=
<0,
所以ac<0.
充分性:
由ac<0可得b2-4ac>0及x1·x2=
<0,
所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根,且两根异号,
即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根.
反思感悟 充要条件证明的两个思路
(1)直接法:
证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性.
(2)集合思想:
记p:
A={x|p(x)},q:
B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件.
跟踪训练2 已知a,b是实数,求证:
a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.
证明 充分性:
若a2-b2=1成立,
则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1,
所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.
必要性:
若a4-b4-2b2=1成立,
则a4-(b2+1)2=0,
即(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0.
因为a,b为实数,所以a2+b2+1≠0,
所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1.
综上可知,a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.
三、充要条件的应用
例3 已知p:
-2≤x≤10,q:
1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解 p:
-2≤x≤10,q:
1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},
故有
或
解得m≤3.
又m>0,
所以实数m的取值范围为{m|0 延伸探究 1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解 p: -2≤x≤10,q: 1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件, 设p代表的集合为A,q代表的集合为B, 所以AB. 所以 或 解不等式组得m>9或m≥9, 所以m≥9, 即实数m的取值范围是m≥9. 2.本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件? 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 解 因为p: -2≤x≤10,q: 1-m≤x≤1+m(m>0). 若p是q的充要条件,则 m不存在. 故不存在实数m,使得p是q的充要条件. 反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 跟踪训练3 已知p: x<-2或x>3,q: 4x+m<0,若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解 设A={x|x<-2或x>3},B= , 因为p是q的必要不充分条件, 所以BA,所以- ≤-2,即m≥8. 所以m的范围为{m|m≥8}. 1.“x>0”是“x≠0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由“x>0”⇒“x≠0”,反之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件. 2.已知x∈R,则“ >1”是“x<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 “ >1”⇔0 ∴“ >1”是“x<1”的充分不必要条件. 3.设条件甲为0 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 甲对应集合A={x|0 4.若命题p: 两直线平行,命题q: 内错角相等,则p是q的________条件. 答案 充要 5.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空. (1)“x2-1=0”是“|x|-1=0”的_____________; (2)“x<5”是“x<3”的_____________. 答案 (1)充要条件 (2)必要不充分条件 解析 (1)设A={x|x2-1=0}={-1,1},B={x||x|-1=0}={-1,1},所以A=B,即“x2-1=0”是“|x|-1=0”的充要条件. (2)设A={x|x<5},B={x|x<3},因为AB,所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件. 1.知识清单: (1)充要条件概念的理解. (2)充要条件的证明. (3)根据条件求参数范围. 2.方法归纳: 等价转化为集合间的关系. 3.常见误区: 条件和结论辨别不清. 1.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 当x=1时,x3=x成立.若x3=x,x(x2-1)=0,得x=-1,0,1;不一定得到x=1. 2.设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 因为a,b∈R,(a-b)a2<0, 可得a 由a 所以根据充分必要条件的定义可以判断,若a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a 3.已知四边形ABCD,则“A,B,C,D四点共圆”是“∠A+∠C=180°”成立的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 C 4.如果A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由条件,知D⇒C⇔B⇒A,即D⇒A,但A⇏D,故选A. 5.已知a,b是实数,则“ab=0”是“a2+b2=0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 B 解析 ab=0推不出a2+b2=0,由a2+b2=0可得a=b=0,推出ab=0,故选B. 6.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的____________条件. 答案 既不充分又不必要 解析 若a+b>0,取a=3,b=-2,则ab>0不成立;反之,若ab>0,取a=-2,b=-3,则a+b>0也不成立,因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件. 7.若“x≤-1,或x≥1”是“x 答案 -1 解析 “x≤-1,或x≥1”是“x 所以实数a的最大值为-1. 8.m=1是函数y= 为二次函数的________条件. 答案 充分不必要 解析 当m=1时,函数y=x2,为二次函数.反之,当函数为二次函数时,m2-4m+5=2,即m=3或m=1,所以m=1是y= 为二次函数的充分不必要条件. 9.设x,y∈R,求证: |x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明 ①充分性: 如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况. 当xy=0时,不妨设x=0, 则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,∴等式成立. 同理,当y=0,或x=0且y=0时,|x+y|=|x|+|y|, ∴当xy=0时,等式成立, 当xy>0时,即x>0,y>0或x<0,y<0, 又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y, ∴等式成立. 当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y), |x|+|y|=-x-y,∴等式成立. 总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立. ②必要性: 若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R, 得|x+y|2=(|x|+|y|)2, 即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x|·|y|, ∴|xy|=xy,∴xy≥0. 综上可知,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件. 10.设命题p: ≤x≤1;命题q: a≤x≤a+1,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解 设A= ,B={x|a≤x≤a+1}, 由p是q的充分不必要条件,可知AB, ∴ 或 解得0≤a≤ , 故所求实数a的取值范围是0≤a≤ . 11.“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方,则Δ=4a2-4a<0,解得0 12.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则( ) A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D.“x∈C”是“x∈A”的既不充分又不必要条件 答案 B 解析 由A∪B=C知,x∈A⇒x∈C,x∈C⇏x∈A. 所以x∈C是x∈A的必要不充分条件. 13.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=________. 答案 -2 解析 当m=-2时,y=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2. 14.k>4,b<5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴的________条件. 答案 充要 解析 ∵k>4时,k-4>0,b<5时,b-5<0, ∴直线y=(k-4)x+b-5交y轴于负半轴,交x轴于正半轴; y=(k-4)x+(b-5)与y轴交于(0,b-5)与x轴交于 , 由交y轴于负半轴,交x轴于正半轴可知 ∴ 15.设m∈N*,一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=________. 答案 3或4 解析 x= =2± ,因为x是整数, 即2± 为整数,所以 为整数,且m≤4,又m∈N*,取m=1,2,3,4.验证可得m=3,4符合题意,所以m=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根. 16.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根的充要条件. 解 当a=0时,x=- 符合题意. 当a≠0,令f(x)=ax2+2x+1. ∵f(0)=1>0, ∴若a>0,则- <0, >0,∴只要Δ=4-4a≥0,即a≤1,∴0 若a<0,则 <0,Δ=4-4a>0, 方程恒有两异号实数根. 综上所述,a≤1为所求.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 新人教版课时作业 第一章 142充要条件 新人 课时 作业 142 充要条件