酒泉职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析).docx
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限时:
45分钟 满分:
70分
一、选择题(共8个小题,每小题5分,共40分)
1.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
解析:
选A 由分步乘法计数原理,先排第一列,有A种方法,再排第二列,有2种方法,故共有A×2=12种排列方法.
2.6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( )
A.240种 B.360种
C.480种 D.720种
解析:
选C 优先安排甲有A种不同方法,然后剩余5位选手的全排列有A种不同排法.故有A·A=480种不同排法.
3.若n的展开式中的第5项为常数,则n=( )
A.8 B.10
C.12 D.15
解析:
选C ∵n的展开式中的第5项T4+1=C()n-4·4=C24x为常数,∴=0,n=12.
4.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为( )
A.232 B.252
C.472 D.484
解析:
选C 若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有C×C×C=64种,若2张同色,则有C×C×C×C=144种;若红色卡片有1张,剩余2张不同色,则有C×C×C×C=192种,剩余2张同色,则有C×C×C=72种,所以共有64+144+192+72=472种不同的取法.
5.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,x4的系数是( )
A.25 B.35
C.45 D.55
解析:
选D 二项式(1+x)5中x4的系数为C,二项式(1+x)6中x4的系数为C,二项式(1+x)7中x4的系数为C,故(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x4的系数为C+C+C=55.
6.5名伦敦奥运冠军到香港、澳门、台湾进行商业宣传,每个地方至少去一名形象大使,则不同的分派方法共有________种.( )
A.25 B.50
C.150 D.300
解析:
选C 首先5名形象大使,每个地方至少1名,那么只有两种分派方法:
1、1、3和1、2、2,再分派到香港、澳门、台湾,按照计数原理,第一种分法CA=60种,第二种分法·A=90种,合计60+90=150种.
7.在二项式n的展开式中,若前三项的系数成等差数列,则展开式中有理项的项数为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
解析:
选C 二项式n的展开式的前三项的系数分别为:
1,C·,C·2,由其成等差数列可得2C·=1+C·2⇒n=1+,解得n=8,所以展开式的通项Tr+1=Crx,若为有理项,则有4-∈Z,故当r=0,4,8时为有理项,所以展开式中有理项的项数为3.
8.方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A.60条 B.62条
C.71条 D.80条
解析:
选B 显然方程ay=b2x2+c表示抛物线时,有ab≠0,故该方程等价于y=x2+.
(1)当c=0时,从{-3,-2,1,2,3}中任取2个数作为a,b的值,有A=20种不同的方法,
当a一定,b的取值互为相反数时,对应的抛物线相同,这样的抛物线共有4×3=12条,所以此时不同的抛物线共有A-6=14条;
(2)当c≠0时,从{-3,-2,1,2,3}中任取3个数作为a,b,c的值有A=60种不同的方法,
当a,c的值一定,而b的值互为相反数时,对应的抛物线相同,这样的抛物线共有4A=24条,所以此时不同的抛物线有A-12=48条.
综上所述,满足题意的不同的抛物线有14+48=62条.
二、填空题(共6个小题,每小题5分,共30分)
9.6的展开式中x3的系数为________.(用数字作答)
解析:
由6的展开式的通项为
Tr+1=C(x2)6-rr=Cx12-3r,
令12-3r=3,得r=3,
所以展开式中x3的系数为C==20.
答案:
20
10.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个.(用数字作答)
解析:
因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以符合题意的四位数有24-2=14个.
答案:
14
11.观察下列等式:
12=1,12-22=-3,12-22+32=6,12-22+32-42=-10,…,由以上等式推测到一个一般的结论:
对于n∈N*,12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=________.
解析:
由已知中的等式:
12=1=(-1)2×,
12-22=-3=(-1)3×,
12-22+32=6=(-1)4×,
12-22+32-42=-10=(-1)5×,
…
由此可以推出一个一般的结论:
对于n∈N*,
12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1×.
答案:
(-1)n+1×
12.已知(x+1)6(ax-1)2的展开式中含x3的项的系数是20,则a的值等于________.
解析:
展开式中含x3的项的系数为C·C+C·a·(-1)·C+C·a2·C=6a2-30a+20=20,所以a=0或a=5.
答案:
0或5
13.某企业拟在指定的4个月内向市场投放3种不同的产品,且在同一个月内投放的产品不超过2种,则该企业产品的不同投放方案有________种.
解析:
分两类,第一类,每个月只投放一种产品,有CA=24种不同的投放方案.第二类,一个月投放两种产品,一个月投放一种产品,有CCC=36种不同的投放方案,故共有24+36=60种不同的投放方案.
答案:
60
14.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:
11,22,33,…,99.3位回文数有90个:
101,111,121,…,191,202,…,999.则
(1)4位回文数有________个;
(2)2n+1(n∈N+)位回文数有________个.
解析:
2位回文数有9个,4位回文数有9×10=90个,3位回文数有90个,5位回文数有9×10×10=100×9个,依次类推可得2n+1位有9×10n个.
答案:
90 9×10n
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