广州市普通高中毕业班综合测试(二)(理数).doc
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2017届广州市普通高中毕业班综合测试
(二)
数学(理科)
本试卷共4页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,
则()
A.B.
C.D.
2.若复数满足,则复数
所对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.执行如图所示的程序框图,则输出的值为()
A.4B.3
C.D.
4.从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为()
A.B.C.D.
5.函数的大致图象是()
6.已知,则()
A.B.C.D.
7.已知点在抛物线()上,该抛物线的焦点为,过点作该抛物线准线的垂线,垂足为,则的平分线所在的直线方程为()
A.B.
C.D.
8.在棱长为2的正方体中,是棱的中点,过,,作正方体的截面,则这个截面的面积为()
A.B.C.D.
9.已知,点是直线与圆的公共点,则的最大值为()
A.15B.9C.1D.
10.已知函数()的图象在区间上恰有3个最高点,则的取值范围为()
A.B.C.D.
11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某
三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为()
A.B.
C.D.16
12.定义在上的奇函数为减函数,若,满足,则当时,的取值范围为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题,每个考生都必须作答。
第22~23题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本小题共4题,每小题5分。
13.已知点,,,,若点在轴上,则实数.
14.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作,约成书于四、五世纪,传本的《孙子算经》共三卷,其中下卷“物不知数”中有如下问题:
“今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:
物几何?
”其意思为:
“现有一堆物品,不知它的数目.3个3个数,剩2个;5个5个数,剩3个;7个7个数,剩2个.问这堆物品共有多少个?
”试计算这堆物品至少有个.
15.设,则.
16.在平面四边形中,连接对角线,已知,,,,则对角线的最大值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
设等比数列的前项和,已知,().
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)
如图,是边长为的菱形,,
平面,平面,.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
某商场拟对某商品进行促销,现有两种方案供选择,每种促销方案都需分两个月实施,且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据,若实施方案1,预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4,第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5;若实施方案2,预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3,第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令表示实施方案的第二个月的销量是促销前销量的倍数.
(Ⅰ)求,的分布列;
(Ⅱ)不管实施哪种方案,与第二个月的利润之间的关系如下表,试比较哪种方案第二个月的利润更大.
20.(本小题满分12分)
已知双曲线的焦点是椭圆:
()的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设动点,在椭圆上,且,记直线在轴上的截距为,求的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若存在,满足,求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知直线的普通方程为,曲线的参数方程为(为参数),设直线与曲线交于,两点.
(Ⅰ)求线段的长;
(Ⅱ)已知点在曲线上运动,当的面积最大时,求点的坐标及的最大面积.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
(Ⅰ)已知,证明:
;
(Ⅱ)若对任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.
数学(理科)参考答案
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题不给中间分.
一.选择题
(1)A
(2)B (3)A (4)B (5)A (6)C
(7)D (8)C (9)B (10)C (11)B (12)D
二.填空题
(13)(14)(15)(16)
三.解答题
(17)解:
(Ⅰ)因为数列是等比数列,所以.
因为,所以,解得.…………………………………1分
因为,
所以,即.…………………………………………………2分
因为,所以.…………………………………………………………3分
因为等比数列的公比为,
所以数列的通项公式为.……………………………………………4分
(Ⅱ)因为等比数列的首项为,公比,
所以.……………………………………………6分
因为,所以.…………………………………7分
所以
.………………8分
设,
则.
所以.………………10分
因为,…………………………………………………11分
所以.
所以数列的前项和.………………12分
(18)(Ⅰ)证明:
连接,
因为是菱形,所以.……………………1分
因为平面,平面,
所以.………………………………………………2分
因为,所以平面.……………3分
因为平面,平面,所以.
所以,,,四点共面.……………………………4分
因为平面,所以.………………5分
(Ⅱ)解法1:
如图,以为坐标原点,分别以,的方向
为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系.……6分
可以求得,,,
,.………………………………7分
所以,.……………………………………8分
设平面的法向量为,
则即
不妨取,则平面的一个法向量为.…………………………10分
因为,
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.……………………………12分
解法2:
如图,设,以为坐标原点,分别
以,的方向为轴,轴的正方向,建立空间直角
坐标系.…………………………………………6分
可以求得,,,
,.………………7分
所以,.……………………8分
设平面的法向量为,
则即
不妨取,则平面的一个法向量为.……………………10分
因为,
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.………………………………12分
(说明:
若本题第(Ⅰ)问采用向量法证明正确,第(Ⅰ)问给6分,仍将建系、写点的坐标与向量的坐标等分值给到第(Ⅱ)问)
(19)解:
(Ⅰ)依题意,的所有取值为,,,,…………………1分
因为,,
,.………………………3分
所以的分布列为
……………4分
依题意,的所有取值为,,,,………………………………5分
因为,,
,,……………………………7分
所以的分布列为
……………8分
………………………9分
(Ⅱ)令表示方案所带来的利润,则
……………………10分
所以,
.
因为,
所以实施方案,第二个月的利润更大.………………………………………………12分
(20)解:
(Ⅰ)双曲线的焦点坐标为,离心率为.………1分
因为双曲线的焦点是椭圆:
的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,
所以,且,解得.
故椭圆的方程为.………………………………………………………3分
(Ⅱ)因为,所以直线的斜率存在.………………………………4分
因为直线在轴上的截距为,所以可设直线的方程为.
代入椭圆方程得.………………5分
因为,
所以.………………………………………………………………………6分
设,,
根据根与系数的关系得,.……………………7分
则.
因为,即.………………8分
整理得.……………………………………………………………………9分
令,则.
所以.…………10分
等号成立的条件是,此时,满足,符合题意.…………11分
故的最大值为.…………………………………………………………………12分
(21)解:
(Ⅰ)函数的定义域为.
因为,所以.……………………………1分
所以函数在点处的切线方程为,即.…………………2分
已知函数在点处的切线方程为,比较求得.
所以实数的值为.……………………………………………………………………3分
(Ⅱ)解法1:
由,即.……………………………4分
所以问题转化为在上有解.……………………………………5分
令,
则.……………7分
令,
所以当时,有.……………………………8分
所以函数在区间上单调递减.………………………………………9分
所以.……………………………………………10分
所以,即在区间上单调递减.……………………………11分
所以.
所以实数的取值范围为.………………………………………12分
解法2:
命题“存在,满足”等价于“当时,有”.…………………………4分
由(Ⅰ)知,.
(1)当时,,即函数在区间上为减函数,…………5分
所以.
由,得,解得.
所以.…………………………………………………………………6分
(2)当时,注意到函数在区间上的值域为.……………………………7分
①,在区间上恒成立,即函数在区间上为增函数.
所以.
由于,所以,解得,这与矛盾.………8分
②若,由函数的单调性(单调递增)和值域知,存在唯一的,使,且满足当时,,即为减函数;当时,,即为增函数.
所以.…………………………………………9分
由,得,即.
因为,即,所以.
将代入,得,其中.………………10分
令,则,
当时,,即在区间上为减函数.
所以,与矛盾,
所以不存在,使成立.…………………………11分
综上可知,实数的取值范围为.………………………………12分
(说明:
当时,也可转化为,其中,从而构造函数解答;还可转化为,从而构造函数解答;还有其他解法均参照给分!
)
(22)(Ⅰ)解:
曲线的普通方程为.…………………………………1分
将直线代入中消去得,.………………2分
解得或.…………………………………………………………………3分
所以点,,……………………………………………………………4分
所以.……………………………………………5分
(Ⅱ)解法1:
在曲线上求一点,使△的面积最大,则点到直线的距离最大.
设过点且与直线平行的直线方程为.……………………………………6分
将代入整理得,.
令,解得.…………………………………7分
将代入方程,解得.
易知当点的坐标为时,△的面积最大.………………………………8分
且点到直线的距离为.……………………………9分
△的最大面积为.…………………………………………10分
解法2:
在曲线上求一点,使△的面积最大,则点到直线的距离最大.
设曲线上点,其中,………………………………6分
则点到直线的距离为.……8分
因为,则,
所以当,即时,.……………………………………9分
此时点的坐标为,△的最大面积为.………………10分
(23)(Ⅰ)证明1:
因为,
所以.
所以要证明,
即证明.…………………………………………………………1分
因为………………………………2分
,……………………………………………………3分
所以.……………………………………………4分
因为,所以.
所以.…………………………………………5分
证明2:
因为,
所以.
所以要证明,
即证明.………………………………………………………………1分
因为,,,…………………………………3分
所以.…………………………………………………4分
因为,所以.
所以.………………………………………………5分
证明3:
因为,,,
…………3分
所以.…………………4分
因为,
所以.……………………………………………5分
(Ⅱ)解:
设,
则“对任意实数,不等式恒成立”等价于“”.……6分
当时,
此时,
要使恒成立,必须,解得.………………7分
当时,不可能恒成立.……………………………………………8分
当时,
此时,
要使恒成立,必须,解得.…………………9分
综上可知,实数的取值范围为.…………………………10分
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