第一章131132.docx
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第一章131132.docx
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第一章131132
1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)
学习目标
1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题,并判断新命题的真假.
知识点一 “且”
思考 观察三个命题:
①5是10的约数;②5是15的约数;③5是10的约数且是15的约数,它们之间有什么关系?
从集合的角度如何理解“且”的含义.
答案 命题③是将命题①,②用“且”联结得到的新命题,“且”与集合运算中交集的定义A∩B={x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同,表示“并且”,“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词,与生活用语中“既…,又…”相同,表示两者都要满足的意思,在日常生活中经常用“和”“与”代替.
梳理
(1)一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q,读作“p且q”.当p,q都是真命题时,p∧q是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q是假命题.
(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词,对“且”的理解,可联想起集合中“交集”的概念,A∩B={x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足.
(3)我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义,如图所示,若开关p,q的闭合与断开分别对应命题p,q的真与假,则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假.
(4)“且”这个逻辑联结词,它与日常语言中的“并且”“及”“和”的含义相当.
知识点二 “或”
思考 观察三个命题:
①3>2;②3=2;③3≥2.它们之间有什么关系?
从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.
答案 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.
“或”:
从集合的角度看,可设A={x│x满足命题p},B={x│x满足命题q},则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B={x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词,与日常用语中的“或”意义有所不同,日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思,如“学习或休息”,而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思:
要么只是p,要么只是q,要么是p和q,即两者中至少要有一个.
梳理
(1)定义:
一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题“p或q”,用符号表示为“p∨q”.
(2)判断用“或”联结的命题的真假:
在两个命题p和q之中,只要有一个命题是真命题时,新命题“p或q”就是真命题;当两个命题p和q都是假命题时,新命题“p或q”就是假命题.
(3)对“或”的理解:
我们可联想集合中“并集”的概念A∪B={x|x∈A或x∈B}中的“或”,它是指“x∈A”“x∈B”中至少有一个是成立的,即可以是x∈A且x∉B,也可以是x∉A且x∈B,也可以是x∈A且x∈B.
(4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义,如图所示,若开关p,q的闭合与断开对应命题p,q的真与假,则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假.
类型一 用逻辑联结词构造新命题
例1 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.
(1)p:
梯形有一组对边平行,q:
梯形有一组对边相等;
(2)p:
-1是方程x2+4x+3=0的解,q:
-3是方程x2+4x+3=0的解.
解
(1)p或q:
梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p且q:
梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
(2)p或q:
-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.
p且q:
-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.
反思与感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p,q构成新命题时,在不引起歧义的前提下,可以把p,q中的条件或结论合并.
跟踪训练1 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p,q.
(1)2≤2;
(2)30是5的倍数,也是6的倍数.
解
(1)此命题为“p∨q”形式的命题,其中
p:
2<2;q:
2=2.
(2)此命题为“p∧q”形式的命题,其中
p:
30是5的倍数;
q:
30是6的倍数.
类型二 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断
例2 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假.
(1)p:
函数y=sinx是奇函数;q:
函数y=sinx在R上单调递增.
(2)p:
直线x=1与圆x2+y2=1相切;q:
直线x=
与圆x2+y2=1相交.
(3)p:
不等式x2-2x+1>0的解集为R;q:
不等式x2-2x+2≤1的解集为∅.
解
(1)∵p真,q假,∴“p∨q”为真.“p∧q”为假.
(2)∵p真,q真,∴“p∨q”为真.“p∧q”为真.
(3)∵p假,q假,∴“p∨q”为假.“p∧q”为假.
反思与感悟 形如p∨q,p∧q,命题的真假根据真值表判定.如:
p
q
p∧q
p∨q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
跟踪训练2 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.
(1)p:
∅{0},q:
0∈∅;
(2)p:
是无理数,q:
π不是无理数;
(3)p:
集合A=A,q:
A∪A=A;
(4)p:
函数y=x2+3x+4的图象与x轴有公共点,q:
方程x2+3x-4=0没有实数根.
解
(1)∵p真q假,∴“p或q”为真,“p且q”为假.
(2)∵p真q假,∴“p或q”为真,“p且q”为假.
(3)∵p真q真,∴“p或q”为真,“p且q”为真.
(4)∵p假q假,∴“p或q”为假,“p且q”为假.
类型三 已知复合命题的真假求参数范围
例3 已知命题p:
方程a2x2+ax-2=0在[-1,1]上有解;命题q:
只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求实数a的取值范围.
解 由a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0.
显然a≠0,∴x=-
或x=
.若命题p为真,
∵x∈[-1,1],故
≤1或
≤1,∴|a|≥1.
若命题q为真,即只有一个实数x满足不等式
x2+2ax+2a≤0,
即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点.
∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.
∵命题“p∨q”为假命题,∴q,p同时为假命题.
∴a的取值范围是{a|-1 反思与感悟 复合命题: 由简单命题与逻辑联结词(“或”“且”“非”)构成的命题叫做复合命题. 复合命题的真假已知时,可由真值表转化为简单命题的真假,再利用简单命题的真假求参数范围,必要时运用正难则反的解题策略.即p真不易求时,可先求p假时参数的范围,再求其在全集中的补集,从而得到p真时参数的范围. 跟踪训练3 已知c>0,设命题p: 函数y=cx为减函数.命题q: 当x∈ 时,函数f(x)=x+ > 恒成立.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求c的取值范围. 解 由命题p为真知,0 由命题q为真知,2≤x+ ≤ , 要使此式恒成立,需 <2,即c> , 若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题, 则p、q中必有一真一假, 当p真q假时,c的取值范围是0 ; 当p假q真时,c的取值范围是c≥1. 综上可知,c的取值范围是0 或c≥1. 1.已知命题p、q,若p为真命题,则( ) A.p∧q必为真B.p∧q必为假 C.p∨q必为真D.p∨q必为假 答案 C 解析 p∨q,见真则真,故必有p∨q为真. 2.若命题p: 0是偶数,命题q: 2是3的约数,则下列判断正确的是( ) A.“p∨q”为假B.“p∨q”为真 C.“p∧q”为真D.以上都不对 答案 B 解析 p真,q假,∴p∨q为真.故选B. 3.命题“xy≠0”是指( ) A.x≠0且y≠0B.x≠0或y≠0 C.x、y至少有一个不为0D.不都是0 答案 A 解析 满足xy≠0,即x,y两个都不为0,故选A. 4.已知命题p: 函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数;命题q: 函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,若p∧q为真,则实数a的取值范围是________. 答案 [-2, ) 解析 命题p: 由函数f(x)在R上为减函数得2a-1<0,解得a< , 命题q: 由函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数, 得- ≤1,解得a≥-2. 由p∧q为真得p、q都为真,故a的取值范围为(-∞, )∩[-2,+∞),即为[-2, ). 5.已知命题p: 函数f(x)=(x+m)(x+4)为偶函数;命题q: 方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的一个根大于2,一个根小于2,若p∧q为假,p∨q为真,求实数m的取值范围. 解 若命题p为真,则由f(x)=x2+(m+4)x+4m,得m+4=0,解得m=-4. 设g(x)=x2+(2m-1)x+4-2m,其图象开口向上, 若命题q为真,则g (2)<0,即22+(2m-1)×2+4-2m<0,解得m<-3. 由p∧q为假,p∨q为真,得p假q真或p真q假. 若p假q真,则m<-3且m≠-4; 若p真q假,则m无解. 所以m的取值范围为(-∞,-4)∪(-4,-3). 1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是: 弄清构成它的命题条件、结论; 2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时,首先找出构成复合命题的简单命题,判断简单命题的真假,然后分析构成形式,根据构成形式判断复合命题的真假. (1)“p∧q”形式的命题简记为: 同真则真,一假则假; (2)“p∨q”形式的命题简记为: 同假则假,一真则真. 一、选择题 1.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 p∧q是真命题⇒p是真命题,且q是真命题⇒p∨q是真命题;p∨q是真命题 p∧q是真命题. 2.命题p: 若sinx>siny,则x>y;命题q: x2+y2≥2xy,下列命题为假命题的是( ) A.p∨qB.p∧q C.qD.¬p 答案 B 解析 取x= ,y= ,可知命题p不正确;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q正确,故¬p为真命题,p∨q是真命题,p∧q是假命题,故选B. 3.给出下列两个命题,命题p: “x>3”是“x>5”的充分不必要条件;命题q: 函数y=log2( -x)是奇函数,则下列命题是真命题的是( ) A.p∧qB.p∨(¬q) C.p∨qD.p∧(¬q) 答案 C 解析 由题意可知,命题p为假命题,命题q为真命题,从而p∨q为真命题.故选C. 4.给定下列三个命题: p1: 函数y=ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上为增函数; p2: ∃a,b∈R,a2-ab+b2<0; p3: cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β(k∈Z). 则下列命题是真命题的是( ) A.p1∨p2B.p2∧p3 C.(¬p2)∧p3D.p1∨(¬p3) 答案 C 解析 对于p1: 当a>1时,y=ax-a-x为增函数,当0 a2-ab+b2=(a- b)2+ b2≥0,所以p2为假命题;对于p3: 由cosα=cosβ,可得α=2kπ±β(k∈Z),所以p3是真命题,所以(¬p2)∧p3为真命题,故选C. 5.命题p: 点P在直线y=2x-3上;q: 点P在曲线y=-x2上,则使“p且q”为真命题的一个点P(x,y)是( ) A.(0,-3)B.(1,2) C.(1,-1)D.(-1,1) 答案 C 解析 点(x,y)满足 解得P(1,-1)或P(-3,-9),故选C. 6.设命题p: 函数y=sin2x的最小正周期为 ;命题q: 函数y=cosx的图象关于直线x= 对称.则下列判断正确的是( ) A.p为真B.q为真 C.p∧q为假D.p∨q为真 答案 C 解析 利用含逻辑联结词命题的真值表求解. p是假命题,q是假命题,因此只有C正确. 二、填空题 7.若命题p∨q为假命题,则命题“p∧q”是________命题(用“真”“假”填空). 答案 假 解析 因为p∨q为假命题,得p,q都是假命题,故p∧q必为假命题. 8.已知p: x2-2x-3<0;q: <0,若p且q为真,则x的取值范围是________. 答案 (-1,2) 解析 当p为真命题时,x2-2x-3<0,则-1 当q为真命题时,x-2<0,则x<2. 当p且q为真命题时,p和q均为真命题, 从而-1 9.设P: 关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0},Q: 函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果P和Q有且仅有一个为真,则a的取值范围为______________. 答案 (0, ]∪[1,+∞) 解析 若P真,则0 若P假,则a≥1或a≤0. 若Q真,有 ⇒a> . 若Q假,则a≤ , 又P和Q有且仅有一个为真,
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