例4、已知函数f(x2)ax2(a3)xa2(a为负整数)的图象经过点(m2,0),mR,设
g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).问是否存在实数p(p0)使得F(x)在区间(,f
(2)]上是减函
数,且在区间(f
(2),0)上是减函数?
并证明你的结论。
[解析]由已知f(m2)0,得am2(a3)ma20,
1
解得
2打
a
12,7
3
3
•/a为负整数,•
a1.
•-f(x
2)x
4x3
(x2)2
1
即f(x)
x21.
g(x)
f[f(x)]
/2八2,4^2
(x1)1x2x,
•-F(x)
pg(x)
f(x)
px4(2p
1)x21.
假设存在实数p(p0),使得F(x)满足条件,设X1X2,
•F(xi)F(X2)(Xi2x2)[p(xfx2)2p1].
•••f
(2)3,当xi,X2(,3)时,F(x)为减函数,
•F(x1)F(x2)0,•x-|2x^0,p(x12x^)2p10.
■/x13,x23,•x?
x^18,
p(x12xi)2p116p1,
•16p10.
①
当X1,X2(3,0)时,F(x)增函数
5**
F(X1)
F(X2)0.
•/x2x20,•
p(x12x2)
2p
1
16p1,
•16p10.
②
由①、②可知p
1
,故存在
16
p
1
16.
一.指数函数与对数函数
•同底的指数函数y
X
a与对数函数
y
loga
X互为反函数;
(2)主要方法:
1•解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;
2•指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论;
3•比较几个数的大小的常用方法有:
①以0和1为桥梁;②利用函数的单调性;③作差.
(3)例题分析:
2b
例1•
(1)若aba1,则logb,logba,logab从小到大依次为;
a
(2)若2x3y5z,且x,y,z都是正数,则2x,3y,5z从小到大依次为
(3)设x0,且ab1(a0,b0),则a与b的大小关系是()
(A)ba1(B)ab1(C)1ba(D)1ab
bb
解:
(1)由a2ba1得一a,故logb一logba1logab.
aa
(2)令2x3y
5zt
,则t
1,
lgt
x,y
lgt
z
lgt
ig2y
lg3
lg5
•2x3y
2lgt
3lgt
lgt
(lg9lg8)
0,•2x
3y;
lg2
lg3
lg2lg3
同理可得:
2x5z
0,•
.2x
5z3y
2x5z.
(3)取x1,知选(B)
例2•已知函数f(x)
Xa
X2(a
1),
求证:
(1)函数f(x)在(
1,)上为增函数;
(2)
方程
f(x)
0没有负数根.
证明:
(1)设1为
X2,
则f(x,)f(x2)ax1
X1
2aX2
X2
2
X1
1
X2
1
一x
2X12
X2
2
X1
3(X1X2)
a
a
a
a
x11
X2
1
(X1
1)(X21)
1x-ix2,•为
1
0,X21
0,
X1
X2
0,
3(X1X2)
0;
(X11)(X21)
•••1人X2,且a
1,
.X1X2
…aa
…
a
Xa
20
•f(X1)f(X2)0,
即
f(X1)f(X2),
•函数
f(x)在('
1,)上为增函数;
(2)假设X0是方程f(X)
0的负数根
且
X0
1
则
aX0
X020,
X01
即a"2X03(X。
1)3
1,
①
X01X0
1
X01
当1x00时,0
X0
11,•
3
3,/
3
—1
2,而由a1知a*1
X0
1
X
1
•①式不成立;
当x01时,x01
0,
3
0,
3
-1
1,
而aX00,
X1
X01
•••①式不成立.
综上所述,方程f(x)0没有负数根.
例3.已知函数f(x)loga(ax1)(a0且a1).
求证:
(1)函数f(x)的图象在y轴的一侧;
(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
证明:
(1)由ax10得:
ax1,
•••当a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(0,),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧;
当0a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(,0),此时函数f(x)的图象在y轴的左侧.•函数f(x)的图象在y轴的一侧;
x-1x2
(2)设A(x,,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点,且捲x2,则直线AB的斜率k-
Xi
X
y1yloga(a
1时,由(
a"1
a1时,
X2a
1)loga(a1)logax2a
X
•1a
•-y1y2
(1)知Xi
X2
X2,
又X|x2
X2
0,•aX1
1
1
aX2,•0
aX1
•aX1
aX21,
X2
a10,
•
又X1x2
a^10
•—X2-1,…y1y20
a1
•函数f(X)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
同步练习
1、
已知函数f(x)的定义域为【°,1]
答案:
:
[1,1]
2、
已知函数
f(32x)
的定义域为[
答案:
:
【3,9]
3、
已知函数
yf(x
2)的定义域为
(2,.
0)(1,~)
答案:
2
2
2
x
4、设fX
lg
,则f
2
x
A.
4,°
0,4
C.
2,1
1,2
(1,
(二)同步练习:
,求函数f(x2)的定义域。
3,3],求f(x)的定义域。
°),求f(|2x1|)的定义域。
B.
D.
的定义域为(
4,1
1,4
4,2
2,4
解:
选C.由2
2x
°得,f(x)的定义域为
X|2
。
故
2,
,解得
2.
x4,1U切。
故f2
—的定义域为
x
4,1U1,4
5、已知函数f(x)的定义域为
I。
),求
22
g(x)
f(ax)
x
f(—)(a
a
°)的定义域。
1
[解析]由已知,有2
1
2
ax
3
2
3
2,
1
2a
a
3
2a,
3
a.
13
(1)当a1时,定义域为{x|-x-}
有丄
2a
(2)当看
定义域为{x|
(3)当—
2a
定义域为{X|
3
a,即0a1时,
2
a
x
2
a,即
2
1
x
2a
|a};
a1时,有
1
2a
故当a1时,
定义域为{x|
当0a1时,定义域为{x|
滸;3a}.
2
[点评]对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进行讨论,要注意思考讨论字母的方法。
练习二
(5)同步练习:
1.函数y=log!
(x2—3x+2)的单调递减区间是(
2
B.(2,+s)
3
D.(—,+s)
2
A.(—8,1)
3
C.(—^,1
2
解析:
先求函数定义域为(—0,1)U(2,+s),令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)在(—汽
y=log1(x2—3x+2)
1)上单调递减,在(2,+8)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数
在(2,+8)上单调递减.
答案:
B
2找出下列函数的单调区间
y2^x22x3
33
答案:
(1)在(,]上是增函数,在[―,)上是减函数。
22
3、讨论yloga(ax1),(a0,且a0)的单调性。
答案:
a1,时(0,)为增函数,1a0时,(,0)为增函数。
4.求函数y=log1(x2—5x+4)的定义域、值域和单调区间.
3
解:
由(x)=x2—5X+4>0,解得x>4或xV1,所以x€(—s,1)U(4,+^),当X€(—g,1)U(4,+^),{|=x2—5X+4}=R十,所以函数的值域是R+.因为函数y=log1(x2
3
—5x+4)是由y=logi(x)与(X)=x2—5x+4复合而成,函数y=logi(x)在其定义域
33
255
上是单调递减的,函数(x)=x2—5X+4在(—g,—)上为减函数,在],+8]上为增函数.考
22
虑到函数的定义域及复合函数单调性,y=log1(x2—5x+4)的增区间是定义域内使y=log1(x)
33
为减函数、(x)=x2—5x+4也为减函数的区间,即(一g,1);y=log1(x2—5x+4)的减区间
3
是定义域内使y=log1(x)为减函数、(x)=x2—5x+4为增函数的区间,即(4,+g).
3
变式练习
一、选择题
1.函数f(x)=log1(x—1)的定义域是()
A.(1,+g)B.(2,+g)
C.(—g,2)D.(1,2]
解析:
要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,
x—1>0所以log1(x—1)0解得1Vxw2.
2
答案:
D
2.函数y=log1(x2—3x+2)的单调递减区间是()
2
A.(—g,1)B.(2,+g)
33
C.(—g,—)D.(—,+g)
22
解析:
先求函数定义域为(—o,1)U(2,+g),令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)在(—g,
1)上单调递减,在(2,+g)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y=log1(x2—3x+2)
在(2,+g)上单调递减.
答案:
B
3•若2lg(x—2y)=Igx+Igy,则y的值为()
x
1
A.4B•1或一
4
1
C.1或4D.
4
y1X
错解:
由2lg(x—2y)=lgx+lgy,得(x—2y)2=xy,解得x=4y或x=y,则有丄=—或一
x4y
答案:
选B
正解:
上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x—2y>0,所以x>2y.所以x=y舍掉.只有x
=4y.
答案:
D
4.若定义在区间(一1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围为
A.
(0,
2
1
+m)
B.
(0,1)
C.
D.
(0,+m)
2
解析:
:
因为x€(—1,
0),所以x+1€
(0,1).当f(x)>0时,根据图象只有0v2avl,解得
1
0vav—(根据本节思维过程中第四条提到的性质).
2
答案:
A
2
5.函数y=lg(—1)的图象关于()
1—x
A.y轴对称B.x轴对称
c.原点对称d.直线y=x对称
21+x1+x1+x
解析:
y=lg(—1)=lg,所以为奇函数.形如y=lg或y=lg的函数都为奇
1—x1—x1—x1—x
函数.
答案:
C
、填空题
已知y=loga(2—ax)在[o,1]上是x的减函数,贝Ua的取值范围是.
解析:
a>o且a丰1(x)=2—ax是减函数,要使y=loga(2—ax)是减函数,贝Ua>1,
2
又2—ax>oav(0vxv1)av2,所以a€(1,2).
x
答案:
a€(1,2)
1
7•函数f(x)的图象与g(x)=(—)x的图象关于直线y=x对称,则f(2x—x2)的单调递减
3
区间为.
解析:
因为f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)=log1x
3
则f(2x—x2)=log1(2x—x2),令(x)=2x—x2>0,解得0VXV2.
3
(x)=2x—x2在(0,1)上单调递增,则f[(x)在(0,1)上单调递减;
(x)=2x—x2在(1,2)上单调递减,则f[(x)在[1,2)上单调递增.
所以f(2x—x2)的单调递减区间为(0,1).
答案:
(0,1)
1
8•已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+^]上是增函数,且f()=0,
2
则不等式f(iog4x)>0的解集是.
11
解析:
因为f(x)是偶函数,所以f(——)=f(—)=0.又f(x)在[0,+s]上是增函数,
22
11
所以f(x)在(—8,0)上是减函数.所以f(iog4x)>0iog4x>或iog4xV——.
22
1
解得x>2或0vxv
2
1
答案:
x>2或0vxv—
2
三、解答题
9.求函数y=log1(x2—5x+4)的定义域、值域和单调区间.
3
解:
由(x)=x2—5x+4>0,解得x>4或xv1,所以x€(—s,1)U(4,+^),当x€
(—8,1)U(4,+8),{|=x2—5X+4}=R+,所以函数的值域是R+.因为函数y=log1(x2
3
—5x+4)是由y=log1(x)与(x)=x2—5x+4复合而成,函数y=log1(x)在其定义域
33
255
上是单调递减的,函数(X)=X2—5X+4在(—g,—)上为减函数,在],+^]上为增函数.考
22
虑到函数的定义域及复合函数单调性,y=log1(x2—5x+4)的增区间是定义域内使y=log1(x)
33
为减函数、(X)=X2—5X+4也为减函数的区间,即(一g,1);y=log1(X2—5X+4)的减区间
3
是定义域内使y=log1(X)为减函数、(X)=X2—5X+4为增函数的区间,即(4,+g).
3
23—2X
10•设函数f(X)=+lg
3x+53+2x
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(X)的单调性,并给出证明;
(3)已知函数f(x)的反函数f—1(x),问函数y=f—1(x)的图象与x轴有交点吗?
若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由.
3-2x533、、33
解:
(1)由3x+5丰0且>0,解得X工一―且一一VXV.取交集得一