长春市德惠市中考数学一模试卷含答案解析.doc
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2018年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
1.(3分)下列四个数中,最小的数是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.3
2.(3分)我国推行“一带一路”政策以来,已确定沿线有65个国家加入,共涉及总人口约达46亿人,用科学记数法表示该总人口为( )
A.4.6×109 B.46×108 C.0.46×1010 D.4.6×1010
3.(3分)一个立方体的表面展开图如图所示,将其折叠成立方体后,“你”字对面的字是( )
A.中 B.考 C.顺 D.利
4.(3分)不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
5.(3分)如图,BD∥AC,BE平分∠ABD,交AC于点E.若∠A=50°,则∠1的度数为( )
A.65° B.60° C.55° D.50°
6.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,分别以点A、C为圆心,AD、CB为半径画弧,交AB于点E,交CD于点F,则图中阴影部分的面积是( )
A.4﹣2π B.8﹣ C.8﹣2π D.8﹣4π
7.(3分)AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点C;连接BC,若∠P=40°,则∠B等于( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
8.(3分)如图,P(m,m)是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点,以P为顶点作等边△PAB,使AB落在x轴上,则△POB的面积为( )
A. B.3 C. D.
二、填空题(本题共6小题,每3分,共16分)
9.(3分)计算|﹣2|﹣30= .
10.(3分)分解因式:
x2y﹣y= .
11.(3分)在△ABC中,MN∥BC分别交AB,AC于点M,N;若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为 .
12.(3分)如图,扇形纸扇完全打开后,∠BAC=120°,AB=AC=30厘米,则的长为 厘米.(结果保留π)
13.(3分)我国古代有这样一道数学问题:
“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?
”题意是:
如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是 尺.
14.(3分)如图,边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合,AF∥x轴,将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次,每次旋转60°.当n=2017时,顶点A的坐标为 .
三、解答题(本题共10小题,共78分)
15.(6分)先化简,再求值:
(2+x)(2﹣x)+(x﹣1)(x+5),其中.
16.(6分)某乳品公司最近推出一款果味酸奶,共有红枣、木瓜两种口味,若送奶员连续三天,每天从中任选一瓶某种口味的酸奶赠送给某住户品尝,则该住户收到的三瓶酸奶中,至少有两瓶为红枣口味的概率是多少?
(请用“画树状图”的方法给出分析过程,并求出结果)
17.(6分)在“母亲节”前期,某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花,销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大,店主决定将玫瑰每枝降价1元促销,降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍,求降价后每枝玫瑰的售价是多少元?
18.(7分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.
(1)求证:
四边形BFCE是平行四边形;
(2)若AD=10,DC=3,∠EBD=60°,则BE= 时,四边形BFCE是菱形.
19.(7分)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1cm.温馨提示:
sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,).
20.(7分)在“宏扬传统文化,打造书香校园”活动中,学校计划开展四项活动:
“A﹣国学诵读”、“B﹣演讲”、“C﹣课本剧”、“D﹣书法”,要求每位同学必须且只能参加其中一项活动,学校为了了解学生的意愿,随机调查了部分学生,结果统计如下:
(1)如图,希望参加活动C占20%,希望参加活动B占15%,则被调查的总人数为 人,扇形统计图中,希望参加活动D所占圆心角为 度,根据题中信息补全条形统计图.
(2)学校现有800名学生,请根据图中信息,估算全校学生希望参加活动A有多少人?
21.(8分)暑假期间,小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游,他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示.
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间?
(2)求线段AB对应的函数解析式;
(3)小刚一家出发2.5小时时离目的地多远?
22.(9分)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想:
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
23.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)求线段CD的长;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ:
S△ABC=9:
100?
若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?
24.(12分)如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形”一定是 三角形;
(2)若抛物线y=﹣x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b的值;
(3)如图,△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”,是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?
若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.
2018年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
1.
【解答】解:
﹣1<0<1<3,
最小的数是﹣1,
故选:
A.
2.
【解答】解:
46亿=4600000000=4.6×109,
故选:
A.
3.
【解答】解:
正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,
“祝”与“考”是相对面,
“你”与“顺”是相对面,
“中”与“利”是相对面.
故选:
C.
4.
【解答】解:
∵x+1≥2,
∴x≥1.[来源:
学科网ZXXK]
故选:
A.
5.
【解答】解:
∵BD∥AC,∠A=50°,
∴∠ABD=130°,
又∵BE平分∠ABD,
∴∠1=∠ABD=65°,
故选:
A.
[来源:
学科网ZXXK]
6.
【解答】解:
∵矩形ABCD,
∴AD=CB=2,
∴S阴影=S矩形﹣S半圆=2×4﹣π×22=8﹣2π,
故选:
C.
7.
【解答】解:
∵PA切⊙O于点A,
∴∠PAB=90°,
∵∠P=40°,
∴∠POA=90°﹣40°=50°,
∵OC=OB,
∴∠B=∠BCO=25°,
故选:
B.
8.
【解答】解:
作PD⊥OB,
∵P(m,m)是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点,
∴m=,解得:
m=3,
∴PD=3,
∵△ABP是等边三角形,
∴BD=PD=,
∴S△POB=OB•PD=(OD+BD)•PD=,
故选:
D.
二、填空题(本题共6小题,每3分,共16分)
9.
【解答】解:
原式=2﹣1
=1.
故答案为:
1.[来源:
学.科.网]
10.
【解答】解:
x2y﹣y,
=y(x2﹣1),
=y(x+1)(x﹣1),
故答案为:
y(x+1)(x﹣1).
11.
【解答】解:
∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC,
∴,即,
∴MN=1,
故答案为:
1.
12.
【解答】解:
的长==20π(厘米).
故答案为:
20π.
13.
【解答】解:
如图,一条直角边(即枯木的高)长20尺,
另一条直角边长5×3=15(尺),
因此葛藤长为=25(尺).
故答案为:
25.
14.
【解答】解:
2017×60°÷360°=336…1,即与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的.
当点A按顺时针旋转60°时,与原F点重合.
连接OF,过点F作FH⊥x轴,垂足为H;
由已知EF=4,∠FOE=60°(正六边形的性质),
∴△OEF是等边三角形,
∴OF=EF=4,
∴F(2,2),即旋转2017后点A的坐标是(2,2),
故答案是:
(2,2).
三、解答题(本题共10小题,共78分)
15.
【解答】解:
原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1
当时,原式==5
16.
【解答】解:
画树状图为:
共有8种等可能的结果数,其中至少有两瓶为红枣口味的结果数为4,
所以该住户收到的三瓶酸奶中,至少有两瓶为红枣口味的概率==.
17.
【解答】解:
设降价后每枝玫瑰的售价是x元,则降价前每枝玫瑰的售价是(x+1)元,
根据题意得:
=×1.5,
解得:
x=2,
经检验,x=2是原分式方程的解,且符合题意.
答:
降价后每枝玫瑰的售价是2元.
18.
【解答】
(1)证明:
∵AB=DC,
∴AC=DB,
在△AEC和△DFB中
,
∴△AEC≌△DFB(SAS),
∴BF=EC,∠ACE=∠DBF
∴EC∥BF,
∴四边形BFCE是平行四边形;
(2)当四边形BFCE是菱形时,BE=CE,
∵AD=10,DC=3,AB=CD=3,
∴BC=10﹣3﹣3=4,
∵∠EBD=60°,
∴BE=BC=4,
∴当BE=4时,四边形BFCE是菱形,
故答案为:
4.
19.
【解答】解:
在直角三角形ACO中,sin75°==≈0.97,
解得OC≈38.8,
在直角三角形BCO中,tan30°==≈,
解得BC≈67.3.
答:
该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm.
20.
【解答】解:
(1)由题意可得,
被调查的总人数是:
12÷20%=60,希望参加活动B的人数为:
60×15%=9,希望参加活动D的人数为:
60﹣27﹣9﹣12=12,
扇形统计图中,希望参加活动D所占圆心角为:
360°×(1﹣﹣15%﹣20%)=360°×20%=72°,
故答案为:
60,72,
补全的条形统计图如右图所示;
(2)由题意可得,
800×=360,
答:
全校学生希望参加活动A有360人.
21.
【解答】解:
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h时间;
(2)设AB段图象的函数表达式为y=kx+b.
∵A(1,80),B(3,320)在AB上,
∴,
解得.
∴y=120x﹣40(1≤x≤3);
(3)当x=2.5时,y=120×2.5﹣40=260,
380﹣260=120(km).
故小刚一家出发2.5小时时离目的地120km.
22.
【解答】解:
(1)∵点P,N是BC,CD的中点,
∴PN∥BD,PN=BD,
∵点P,M是CD,DE的中点,
∴PM∥CE,PM=CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN∥BD,
∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,
∴PM⊥PN,
故答案为:
PM=PN,PM⊥PN;
(2)△PMN是等腰直角三角形.
由旋转知,∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
利用三角形的中位线得,PN=BD,PM=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
同
(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同
(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC,
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形;
(3)方法1:
如图2,同
(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,
∴MN最大时,△PMN的面积最大,
∴DE∥BC且DE在顶点A上面,
∴MN最大=AM+AN,
连接AM,AN,
在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=2,
在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5,
∴MN最大=2+5=7,
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×(7)2=.
方法2:
由
(2)知,△PMN是等腰直角三角形,PM=PN=BD,
∴PM最大时,△PMN面积最大,
∴点D在BA的延长线上,
∴BD=AB+AD=14,
∴PM=7,
∴S△PMN最大=PM2=×72=.
23.
【解答】解:
(1)如图1,
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵CD⊥AB,
∴S△ABC=BC•AC=AB•CD.
∴CD===4.8.
∴线段CD的长为4.8.
(2)①过点P作PH⊥AC,垂足为H,如图2所示.
由题可知DP=t,CQ=t.
则CP=4.8﹣t.
∵∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B.
∵PH⊥AC,
∴∠CHP=90°.
∴∠CHP=∠ACB.
∴△CHP∽△BCA.
∴.
∴.
∴PH=﹣t.
∴S△CPQ=CQ•PH=t(﹣t)=﹣t2+t.
②存在某一时刻t,使得S△CPQ:
S△ABC=9:
100.
∵S△ABC=×6×8=24,
且S△CPQ:
S△ABC=9:
100,
∴(﹣t2+t):
24=9:
100.
整理得:
5t2﹣24t+27=0.
即(5t﹣9)(t﹣3)=0.
解得:
t=或t=3.
∵0<t<4.8,
∴当t=秒或t=3秒时,S△CPQ:
S△ABC=9:
100.
(3)①若CQ=CP,如图1,
则t=4.8﹣t.
解得:
t=2.4.
②若PQ=PC,如图2所示.
∵PQ=PC,PH⊥QC,
∴QH=CH=QC=.
∵△CHP∽△BCA.
∴.
∴.
解得:
t=.
③若QC=QP,[来源:
Z§xx§k.Com]
过点Q作QE⊥CP,垂足为E,如图3所示.
同理可得:
t=.
综上所述:
当t为2.4秒或秒或秒时,△CPQ为等腰三角形.
24.
【解答】解:
(1)如图;
根据抛物线的对称性,抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上,所以OA=AB,即:
“抛物线三角形”必为等腰三角形.
故填:
等腰.[来源:
Z&xx&k.Com]
(2)当抛物线y=﹣x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,
该抛物线的顶点(,),满足=(b>0).
则b=2.
(3)存在.
如图,作△OCD与△OAB关于原点O中心对称,则四边形ABCD为平行四边形.
当OA=OB时,平行四边形ABCD是矩形,
又∵AO=AB,
∴△OAB为等边三角形.
∴∠AOB=60°,
作AE⊥OB,垂足为E,
∴AE=OEtan∠AOB=.
∴=•(b>0).
∴b′=2.
∴A(,3),B(2,0).
∴C(﹣),D(﹣2,0).
设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx,则
,
解得.
故所求抛物线的表达式为y=x2+2x.
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