天津高考数学试题(文)(解析版).doc
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天津高考数学试题(文)(解析版).doc
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(文史类)
第I卷
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合,,则=()
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】试题分析:
选A.
考点:
集合运算
(2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为()
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
考点:
概率
(3)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()
【答案】B
【解析】
试题分析:
由题意得截去的是长方体前右上方顶点,故选B
考点:
三视图
(4)已知双曲线的焦距为,且双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的方程为()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】A
考点:
双曲线渐近线
(5)设,,则“”是“”的()
(A)充要条件 (B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析:
所以充分性不成立;,必要性成立,故选C
考点:
充要关系
(6)已知是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满足,则的取值范围是()
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】
试题分析:
由题意得,故选C
考点:
利用函数性质解不等式
(7)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为()
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】
试题分析:
设,,∴,,
,∴,故选B.
考点:
向量数量积
(8)已知函数,.若在区间内没有零点,则的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
考点:
解简单三角方程
第Ⅱ卷
注意事项:
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题,共计110分.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)i是虚数单位,复数满足,则的实部为_______.
【答案】1
【解析】
试题分析:
,所以的实部为1
考点:
复数概念
(10)已知函数为的导函数,则的值为__________.
【答案】3
【解析】
试题分析:
考点:
导数
(11)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为_______.
【答案】4
考点:
循环结构流程图
(12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点在圆C上,且圆心到直线的距离为,则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】
试题分析:
设,则,故圆C的方程为
考点:
直线与圆位置关系
(13)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为__________.
【答案】
考点:
相交弦定理
(14)已知函数在R上单调递减,且关于x的方程恰有两个不相等的实数解,则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
试题分析:
由函数在R上单调递减得,又方程恰有两个不相等的实数解,所以,因此的取值范围是
考点:
函数综合
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
(15)(本小题满分13分)
在中,内角所对应的边分别为a,b,c,已知.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若,求sinC的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
考点:
同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
(16)(本小题满分13分)
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?
并求出此最大利润.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)生产甲种肥料车皮,乙种肥料车皮时利润最大,且最大利润为万元
试题解析:
(Ⅰ)解:
由已知满足的数学关系式为,该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.
考点:
线性规划
(17)(本小题满分13分)
如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60º,G为BC的中点.
(Ⅰ)求证:
FG||平面BED;
(Ⅱ)求证:
平面BED⊥平面AED;
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)
(Ⅱ)证明:
在中,,由余弦定理可,进而可得,即,又因为平面平面平面;平面平面,所以平面.又因为平面,所以平面平面.
(Ⅲ)解:
因为,所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点,连接,又因为平面平面,由(Ⅱ)知平面,所以直线与平面所成角即为.在中,,由余弦定理可得,所以,因此,在中,,所以直线与平面所成角的正弦值为.
考点:
直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角
(18)(本小题满分13分)
已知是等比数列,前n项和为,且.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项,求数列的前2n项和.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅱ)解:
由题意得,即数列是首项为,公差为的等差数列.
设数列的前项和为,则
考点:
等差数列、等比数列及其前项和
(19)(本小题满分14分)
设椭圆()的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(2)设直线的斜率为,则直线的方程为,
设,由方程组消去,
整理得,解得或,
由题意得,从而,
由
(1)知,设,有,,
考点:
椭圆的标准方程和几何性质,直线方程
(20)(本小题满分14分)
设函数,,其中
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若存在极值点,且,其中,求证:
;
(Ⅲ)设,函数,求证:
在区间上的最大值不小于.
【答案】(Ⅰ)递减区间为,递增区间为,.(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)先求函数的导数:
,再根据导函数零点是否存在情况,分类讨论:
①当时,有恒成立,所以的单调增区间为.②当时,存在三个单调区间试题解析:
(1)解:
由,可得,下面分两种情况讨论:
①当时,有恒成立,所以的单调增区间为.
②当时,令,解得或.
当变化时,、的变化情况如下表:
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.
(2)证明:
因为存在极值点,所以由
(1)知且.
由题意得,即,
进而,
又,且,
由题意及
(1)知,存在唯一实数满足,且,因此,
所以.
(3)证明:
设在区间上的最大值为,表示,两数的最大值,下面分三种情况讨论:
②当时,,
由
(1)和
(2)知,,
所以在区间上的取值范围为,
所以
.
考点:
导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式
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