河南省驻马店市确山县学年八年级上学期期中考试数学试题含答案解析.docx
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河南省驻马店市确山县学年八年级上学期期中考试数学试题含答案解析
2018-2019学年八年级上学期期中考试数学试题
一、选择题(每小题3分,共30分.下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.)
1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2:
3:
4,则∠C的度数为( )
A.80°B.70°C.60°D.40°
2.若线段AM,AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线,则( )
A.AM>ANB.AM≥ANC.AM<AND.AM≤AN
3.如图所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有( )
A.1条B.3条C.5条D.无数条
4.如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( )
A.15°B.30°C.45°D.60°
5.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC
6.已知:
如图,点P在线段AB外,且PA=PB,求证:
点P在线段AB的垂直平分线上,在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( )
A.作∠APB的平分线PC交AB于点C
B.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C.取AB中点C,连接PC
D.过点P作PC⊥AB,垂足为C
7.如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是( )
A.AD=BDB.AE=ACC.ED+EB=DBD.AE+CB=AB
8.如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于
AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为( )
A.16cmB.19cmC.22cmD.25cm
9.如图,AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为( )
A.a+cB.b+cC.a﹣b+cD.a+b﹣c
10.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,则∠P的度数是( )
A.50°B.55°C.60°D.65°
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.在△ABC中,∠A=60°,要使是等边三角形,则需要添加一条件是 .
12.如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE= m.
13.如果一个等腰三角形的周长为15cm,一边长为3cm,那么腰长为 cm.
14.如图,点I为△ABC的内心,AB=4cm,AC=3cm,BC=2cm,将∠ACB平移,使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为 cm.
15.如图,在长方形ABCD中,AB=6,AD=9,延长BC到E,使CE=3,连接DE.动点P从点B出发,以每秒3个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动,设点P运动的时间为t秒,当t为 秒时,以P、A、B三点构成的三角形和△DCE全等.
三、解答题(本大题共8小题,满分75分)
16.如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证:
∠A=∠C.
17.如图,已知A(﹣3,﹣2)和B(2,0).
(1)试确定C点坐标,使△ABC关于x轴成轴对称,并连接AC,BC;
(2)先作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'(不写作法),再写出A',B',C′三点的坐标.
18.如图,在Rt△ABC中.
(1)利用尺规作图,在BC边上求作一点P,使得点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长;
(2)利用尺规作图,作出
(1)中的线段PD.
(要求:
尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
19.如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求证:
△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
20.如图,在四边形ABCD中,点E在边AD上,BC=CE,AC=CD,∠BCE=∠ACD=90°,试判断AB与DE的大小关系和位置关系,并说明理由.
21.如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=BC,连接BD,作CE⊥AB于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F,且CE=DF.
(1)求证:
AB=AC;
(2)如果∠ABD=105°,求∠A的度数.
22.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:
△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
23.如图,在等腰三角形ABC中,∠A=90°,D是BC边的中点.
(1)若E在直角边AB上运动,F在直角边AC上运动,在运动过程中始终保持BE=AF.则△EDF 是三角形.
(2)在
(1)的条件下,四边形AEDF的面积是否发生变化?
若不变化,请直接写出当AB=4时,四边形AEDF的面积;若变化,请说明理由;
(3)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,且BE=AF,其他条件不变,那么
(1)中的结论是否还成立?
画图并证明你的结论.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2:
3:
4,则∠C的度数为( )
A.80°B.70°C.60°D.40°
【分析】直接用一个未知数表示出∠A,∠B,∠C的度数,再利用三角形内角和定理得出答案.
【解答】解:
∵∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,
∴设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴2x+3x+4x=180°,
解得:
x=20°,
∴∠C的度数为:
80°.
故选:
A.
2.若线段AM,AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线,则( )
A.AM>ANB.AM≥ANC.AM<AND.AM≤AN
【分析】根据垂线段最短解答即可.
【解答】解:
因为线段AM,AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线,
所以AM≤AN,
故选:
D.
3.如图所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有( )
A.1条B.3条C.5条D.无数条
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【解答】解:
五角星的对称轴共有5条,
故选:
C.
4.如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( )
A.15°B.30°C.45°D.60°
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线,进而求出∠ECB=45°,即可得出结论.
【解答】解:
∵等边三角形ABC中,AD⊥BC,
∴BD=CD,即:
AD是BC的垂直平分线,
∵点E在AD上,
∴BE=CE,
∴∠EBC=∠ECB,
∵∠EBC=45°,
∴∠ECB=45°,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°,
故选:
A.
5.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC
【分析】全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即可.
【解答】解:
A、∠A=∠D,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合AAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;
B、∠ABC=∠DCB,BC=CB,∠ACB=∠DBC,符合ASA,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;
C、∠ABC=∠DCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理,即不能推出△ABC≌△DCB,故本选项正确;
D、AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合SAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;
故选:
C.
6.已知:
如图,点P在线段AB外,且PA=PB,求证:
点P在线段AB的垂直平分线上,在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( )
A.作∠APB的平分线PC交AB于点C
B.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C.取AB中点C,连接PC
D.过点P作PC⊥AB,垂足为C
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论.
【解答】解:
A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴点P在线段AB的垂直平分线上,符合题意;
C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴点P在线段AB的垂直平分线上,符合题意;
D、利用HL判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∴点P在线段AB的垂直平分线上,符合题意;
B、过线段外一点作已知线段的垂线,不能保证也平分此条线段,不符合题意;
故选:
B.
7.如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是( )
A.AD=BDB.AE=ACC.ED+EB=DBD.AE+CB=AB
【分析】先根据图形翻折变换的性质得出BE=BC,根据线段的和差,可得AE+BE=AB,根据等量代换,可得答案.
【解答】解:
∵△BDE由△BDC翻折而成,
∴BE=BC.
∵AE+BE=AB,
∴AE+CB=AB,
故D正确,
故选:
D.
8.如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于
AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为( )
A.16cmB.19cmC.22cmD.25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题.
【解答】解:
∵DE垂直平分线段AC,
∴DA=DC,AE+EC=6cm,
∵AB+AD+BD=13cm,
∴AB+BD+DC=13cm,
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm,
故选:
B.
9.如图,AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为( )
A.a+cB.b+cC.a﹣b+cD.a+b﹣c
【分析】只要证明△ABF≌△CDE,可得AF=CE=a,BF=DE=b,推出AD=AF+DF=a+(b﹣c)=a+b﹣c;
【解答】解:
∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,
∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,
∴∠A=∠C,∵AB=CD,
∴△ABF≌△CDE,
∴AF=CE=a,BF=DE=b,
∵EF=c,
∴AD=AF+DF=a+(b﹣c)=a+b﹣c,
故选:
D.
10.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,则∠P的度数是( )
A.50°B.55°C.60°D.65°
【分析】先根据五边形内角和求得∠EDC+∠BCD,再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD,最后根据三角形内角和求得∠P的度数.
【解答】解:
∵在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,
∴∠EDC+∠BCD=240°,
又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,
∴∠PDC+∠PCD=120°,
∴△CDP中,∠P=180°﹣(∠PDC+∠PCD)=180°﹣120°=60°.
故选:
C.
二.填空题(共5小题)
11.在△ABC中,∠A=60°,要使是等边三角形,则需要添加一条件是 此题答案不唯一,如AB=AC或AB=BC或AC=BC .
【分析】由在△ABC中,∠A=60°,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,即可求得答案.
【解答】解:
∵在△ABC中,∠A=60°,
∴要使是等边三角形,则需要添加一条件是:
AB=AC或AB=BC或AC=BC.
故答案为:
此题答案不唯一,如AB=AC或AB=BC或AC=BC.
12.如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE= 2 m.
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC,可得BC∥DE,而D是AB中点,可知AB=BD,利用平行线分线段成比例定理可得AE:
CE=AD:
BD,从而有AE=CE,即可证DE是△ABC的中位线,可得DE=
BC,在Rt△ABC中易求BC,进而可求DE.
【解答】解:
如右图所示,
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC,
∴BC∥DE,
∵D是AB中点,
∴AD=BD,
∴AE:
CE=AD:
BD,
∴AE=CE,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=
BC,
在Rt△ABC中,BC=
AB=4,
∴DE=2.
故答案是2.
13.如果一个等腰三角形的周长为15cm,一边长为3cm,那么腰长为 6 cm.
【分析】依题意,根据等腰三角形的性质,已知一条边长为3cm,不能确定是腰长还是底边长,故可分情况讨论,还要依据三边关系验证能否组成三角形.
【解答】解:
当腰为3时,三边为3,3,9不能构成三角形;
当底为3时,腰为6,6,能构成三角形.
所以这个等腰三角形的腰长为6cm.
故答案为:
6.
14.如图,点I为△ABC的内心,AB=4cm,AC=3cm,BC=2cm,将∠ACB平移,使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为 4 cm.
【分析】连接AI、BI,因为三角形的内心是角平分线的交点,所以AI是∠CAB的平分线,由平行的性质和等角对等边可得:
AD=DI,同理BE=EI,所以图中阴影部分的周长就是边AB的长.
【解答】解:
连接AI、BI,
∵点I为△ABC的内心,
∴AI平分∠CAB,
∴∠CAI=∠BAI,
由平移得:
AC∥DI,
∴∠CAI=∠AID,
∴∠BAI=∠AID,
∴AD=DI,
同理可得:
BE=EI,
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,
即图中阴影部分的周长为4,
故答案为4.
15.如图,在长方形ABCD中,AB=6,AD=9,延长BC到E,使CE=3,连接DE.动点P从点B出发,以每秒3个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动,设点P运动的时间为t秒,当t为 1或7 秒时,以P、A、B三点构成的三角形和△DCE全等.
【分析】若△ABP与△DCE全等,可得AP=CE=3或BP=CE=3,根据时间t=路程÷速度,可求t的值.
【解答】解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=4,AD=BC=9,CD⊥BC,
∴∠ABC=∠DCE=∠BAD=90°,
若△ABP与△DCE全等,
∴BP=CE=3或AP=CE=3,
当BP=CE=3时,则t=1秒,
当AP=CE=3时,则t=9+6+9﹣3=21,则t=7秒,
∴当t为1秒或7秒时,△ABP和△DCE全等.
故答案为:
1或7.
三.解答题(共8小题)
16.如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证:
∠A=∠C.
【分析】根据AE=EC,DE=BE,∠AED和∠CEB是对顶角,利用SAS证明△ADE≌△CBE即可.
【解答】证明:
在△AED和△CEB中,
,
∴△AED≌△CEB(SAS),
∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等).
17.如图,已知A(﹣3,﹣2)和B(2,0).
(1)试确定C点坐标,使△ABC关于x轴成轴对称,并连接AC,BC;
(2)先作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'(不写作法),再写出A',B',C′三点的坐标.
【分析】
(1)由△ABC关于x轴成轴对称,A(﹣3,﹣2)且点B在x轴上知点C与点A关于x轴,据此可得答案;
(2)分别作出三个顶点关于y轴的对称点,再首尾顺次连接可得△A'B'C',最后结合图形可得三个顶点的坐标.
【解答】解:
(1)∵△ABC关于x轴成轴对称,A(﹣3,﹣2)且点B在x轴上,
∴点C与点A关于x轴,
∴点C坐标为(﹣3,2),
连接AC、BC,如图所示:
(2)如图所示,△A'B'C'即为所求,
A'(3,﹣2),B'(﹣2,0),C′(3,2).
18.如图,在Rt△ABC中.
(1)利用尺规作图,在BC边上求作一点P,使得点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长;
(2)利用尺规作图,作出
(1)中的线段PD.
(要求:
尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
【分析】
(1)由点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长知点P在∠BAC平分线上,再根据角平分线的尺规作图即可得;
(2)根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得.
【解答】解:
(1)如图,点P即为所求;
(2)如图,线段PD即为所求.
19.如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求证:
△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
【分析】
(1)先证明BC=EF,再根据SSS即可证明.
(2)结论AB∥DE,AC∥DF,根据全等三角形的性质即可证明.
【解答】
(1)证明:
∵BF=CE,
∴BF+FC=FC+CE,即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)结论:
AB∥DE,AC∥DF.
理由:
∵△ABC≌△DEF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,
∴AB∥DE,AC∥DF.
20.如图,在四边形ABCD中,点E在边AD上,BC=CE,AC=CD,∠BCE=∠ACD=90°,试判断AB与DE的大小关系和位置关系,并说明理由.
【分析】由条件可证明△ACB≌△DCE,得出AB=DE,AB⊥DE即可.
【解答】解:
AB=DE,AB⊥DE.
理由:
∵∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE=90°,
∴∠ACB=∠DCE,
∵AC=DC,CB=CE,
∴△ACB≌△DCE(SAS),
∴AB=DE,∠BAC=∠D,
又∵∠D+∠DAC=90°,
∴∠BAC+∠DAC=90°,
即AB⊥DE.
21.如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=BC,连接BD,作CE⊥AB于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F,且CE=DF.
(1)求证:
AB=AC;
(2)如果∠ABD=105°,求∠A的度数.
【分析】
(1)先由HL判定Rt△BCE≌Rt△CDF,得到∠ABC=∠DCF,然后由对顶角相等可得:
∠DCF=∠ACB,进而可得∠ABC=∠ACB,然后由等角对等边,可得AB=AC;
(2)由CD=BC,可得∠CBD=∠CDB,然后由三角形的外角的性质可得:
∠ACB=∠CBD+∠CDB=2∠CBD,由∠ABC=∠ACB,进而可得:
∠ABC=2∠CBD,然后由∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°,进而可求:
∠CBD的度数及∠ABC的度数,然后由三角形的内角和定理即可求∠A的度数.
【解答】
(1)证明:
∵CE⊥AB,DF⊥BC,
∴△BCE和△DCF均是直角三角形,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL),
∴∠ABC=∠DCF,
∵∠DCF=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)解:
∵CD=BC,
∴∠CBD=∠CDB,
∵∠ACB=∠CBD+∠CDB,
∴∠ACB=2∠CBD,
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=2∠CBD,
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°,
∴∠CBD=35°,
∴∠ABC=2∠CBD=70°,
∴∠A=180°﹣2∠ABC=40°.
22.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:
△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
【分析】
(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED;
(2)由
(1)可知:
EC=ED,∠C=∠BDE,根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数,从而可求出∠BDE的度数;
【解答】解:
(1)证明:
∵AE和BD相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE.
在△AOD和△BOE中,
∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,
,
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)∵△AEC≌△BED,
∴EC=ED,∠C=∠BDE.
在△EDC中,
∵EC=ED,∠1=42°,
∴∠C=∠EDC=69°,
∴∠BDE=∠C=69°.
23.如图,在等腰三角形ABC中,∠A=90°,D是BC边的中点.
(1)若E在直角边AB上运动,F在直角边AC上运动,在运动过程中始终保持BE=AF.则△EDF 等腰直角 是三角形.
(2)在
(1)的条件下,四边形AEDF的面积是否发生变化?
若不变化,请直接写出当AB=4时,四边形AEDF的面积;若变化,请说明理由;
(3)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,且BE=AF,其他条件不变,那么
(1)中的结论是否还成立?
画图并证明你的结论.
【分析】
(1)题要通过构建全等三角形来求解.连接AD,可通过证△ADF和△BDE全等来求本题的结论.
(2)题可把将四边形AEDF的面积分成△ADF和ADE的面积和求解,由
(1)证得△ADF和△BDE全等,因此四边形AEDF的面积可转化为△ABD的面积,由此得证.
(3)与
(1)题的思路和解法一样.
【解答】
(1)证明:
如图1中,连接AD.
∵AB=AC,∠A=90°,D为BC中点
∴AD=
=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45°
在△BDE和△ADF中,
,
∴△BDE≌△ADF(SAS)
∴DE=DF,∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
即:
∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形.
故答案为等腰直角.
(2)解:
四边形AEDF面积不变.
理由:
∵由
(1)可知,△AFD≌△BED,
∴S△BDE=S△ADF,
而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD
∴S四边形AEDF不会发生变化.
(3)解:
仍为等腰直角三角形.
理由:
如图2中,连接AD.
∵△AFD≌△BED,
∴DF=DE,∠ADF=∠BDE,
∵∠ADF+∠FDB=90°,
∴∠BDE+∠FDB=90°,
即:
∠EDF=90°,
∴△EDF为等腰直角三角形.
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