江苏省高考数学二轮复习考前冲刺必备四二级结论巧用学案.docx
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江苏省高考数学二轮复习考前冲刺必备四二级结论巧用学案
必备四 二级结论巧用
结论一 函数的奇偶性
1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.
2.函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.
3.如果f(x)为偶函数,那么f(x)=f(|x|).
4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.
跟踪集训
1.定义在R上的奇函数f(x)满足:
当x≥0时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f
(2)=-1,则f(-6)的值为.
2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1) 3.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f (2)=0,则不等式<0的解集为. 结论二 函数的单调性、极值与最值 1.函数的单调性 (1)∀x1,x2∈D,x1≠x2,>0(<0)⇔y=f(x),x∈D单调递增(递减). (2)复合函数的单调性: “同增异减”;单调区间是定义域的子集. (3)f(x)在(a,b)上是增函数⇒f'(x)≥0在区间(a,b)上恒成立;f(x)在(a,b)上是减函数⇒f'(x)≤0在区间(a,b)上恒成立. 注意: ①等号不能少;②逆命题不成立;③单调区间不能用“∪”连接. (4)f(x)在(a,b)上存在单调递增区间⇒f'(x)>0,x∈D有解. (5)存在x1,x2∈D,x1≠x2,f(x1)=f(x2)⇔y=f(x),x∈D不单调. 2.函数的单调性与极值: (1)函数f(x)有三个单调区间⇔f(x)有两个极值点⇔f'(x)=0有两个不等根; (2)函数f(x)在[a,b]上不单调⇔f(x)在(a,b)上有极值点,可求出f(x)的极值点x0∈(a,b). 3.函数的最值: 函数f(x)在D上的最大值为M⇔函数f(x)在D上的最小值为m⇔ 跟踪集训 4.设f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是R上的单调增函数,则m的值为. 5.已知函数f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x∈[-3,3]的最大值是0,则实数a的取值范围是. 6.已知函数f(x)=x3-x2+mx+2,若对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则实数m的取值范围是. 7.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是. 结论三 抽象函数的周期性与单调性 1.函数的周期性 (1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期. (2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期. (3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期. (4)f(x+a)f(x)=k(a>0)、f(x+a)+f(x)=k(a>0)(k为常数)都表明函数f(x)是周期为2a的周期函数. 2.函数图象的对称性 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称. (4)若f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点对称. 跟踪集训 8.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f (1)=1,则f(8)+f(9)=. 9.若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=. 10.函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f (1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为. 结论四 函数零点 1.一元二次方程实根分布理论: 一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件: 开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件: 开口方向、区间端点的函数值的符号. 2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解. 3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数,求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画图形时尽量是动直线与定曲线的图形. 跟踪集训 11.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则实数m的取值范围是. 12.已知函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点,则实数m的取值范围是. 13.已知函数f(x)=(a为常数,e为自然对数的底数)的图象在点A(0,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是. 结论五 三角函数 1.sin= 2.cos= 3.asinα+bcosα=sin(α+φ) 辅助角φ所在象限由点(a,b)所在象限决定,tanφ= . 4.求三角函数在给定范围上的单调区间: 一般是求出所有的单调区间,再与给定区间取交集. 5.正弦函数、余弦函数最值的等价说法: f(a)≤f(x),∀x成立等价于f(a)是f(x)的最小值,x=a是函数的一条对称轴. 跟踪集训 14.已知角α的始边为x轴正半轴,终边上一点P的坐标为(-4,3),则的值为. 15.设α,β∈[0,π],且满足sinαcosβ-cosαsinβ=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为. 16.设f(x)=sin2x-cosxcos,则f(x)在上的单调增区间为. 结论六 解三角形 1.sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C); 2.A>B⇔sinA>sinB,cosA 3.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; 4.对锐角三角形的理解和应用: 三个角都是锐角的三角形;任意两个角的和是钝角的三角形;在锐角三角形中,任意一个角的正弦值大于其余两个角的余弦值,任意两边的平方和大于第三边的平方,即sinA>cosB,sinA>cosC, 跟踪集训 17.在斜△ABC中,若tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3,则cosA=. 18.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA. (1)求B的大小; (2)求cosA+sinC的取值范围. 结论七 不等式 1.≤≤≤(a,b>0). 2. (1)xy≤; (2)xy≤;(3)当x>0时,x+≥2; (4)当x,y同号时,+≥2;当x,y异号时,+≤-2. 3.不等式恒成立、有解问题: 二次不等式在R上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为a 跟踪集训 19.若在区间[1,3]内,存在实数满足不等式2x2+mx-1<0,则实数m的取值范围是. 20.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为. 21.已知实数x,y满足x2+y2=1,则的最小值为. 22.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2-(4a2+b2)的最大值是. 结论八 平面向量 1.三点共线的判定 A,B,C三点共线⇔,共线;向量,,中,A,B,C三点共线⇔存在实数α,β使得=α+β,且α+β=1. 2.三角形“四心”的向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则 (1)O为△ABC的外心⇔||=||=||===. (2)O为△ABC的重心⇔++=0. (3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·. (4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0. 3.向量中线定理: △ABC中,点D为BC的中点,则+=2. 4.||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,注意等号成立的条件. 5.若a,b都是非零向量,则a∥b⇔a=λb⇔x1y2=x2y1⇔夹角等于0°或180°⇔|a·b|=|a||b|. 6.若a,b都是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0⇔夹角等于90°⇔|a+b|=|a-b|. 7.数量积的其他结论: 当a与b同向共线时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向共线时,a·b=-|a|·|b|;当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|;当a与b为任意向量时,|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|≤|a|·|b|(θ为a与b的夹角);a与b的夹角为锐角的充要条件是 a与b的夹角为钝角的充要条件是 跟踪集训 23.已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为. 24.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的.(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种) 25.已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过△ABC的.(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种) 结论九 等差数列 1.在等差数列{an}中,ap=q,aq=p(p≠q)⇒ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd. 2.若Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列. 3.若等差数列{an}的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=. 4.若等差数列{an}的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=. 跟踪集训 26.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=. 27.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差为. 结论十 等比数列 1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm,S2m-Sm,S3m-S2m均不为0,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列. 2.Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm. 3.在有限等比数列{an}中,公比为q,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶.若n为偶数,则S偶=qS奇;若n为奇数,则S奇=a1+qS偶. 4.如果数列{an}是等差数列,那么数列{}(总有意义)必是等比数列.如果数列{an}是等比数列,那么数列{loga|an|}(a>0,且a≠1)必是等差数列. 跟踪集训 28.在等比数列{an}中,若S10=10,S20=30,则S30=. 29.数列{an}中,=4an,a1=1,an>0,则an=. 30.等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1=. 结论十一 直线与圆 1.阿波罗尼斯圆: 若点A、B是定点,M是动点,且MA=kMB,k>0,k≠1,则动点M的轨迹是圆(阿波罗尼斯圆). 2.定点A到动直线l的距离等于定长的直线l是以A为圆心,定长为半径的圆的切线. 3.以AB为直径的圆经过点C,则AC⊥BC,可以利用斜率或向量求解. 4.对角互补的四边形有外接圆. 5.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 6.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,过圆外一点可以作圆的两条切线. 7.过圆内一定点的弦长最长的有1条,是过该点的直径,最短的弦有1条,是垂直于过该点直径的弦. 跟踪集训 31.若A(1,1),B(3,4),且点A和B到直线l的距离都等于1,则这样的直线l有条. 32.已知圆M: (x-1)2+(y-1)2=4,直线l: x+y-6=0,A为直线l上一点.若圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A横坐标的取值范围是. 33.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1,圆O2均与x轴相切且圆心O1,O2与原点O共线,O1,O2两点的横坐标之积为6,设圆O1与圆O2相交于P,Q两点,直线l: 2x-y-8=0,则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为. 结论十二 圆锥曲线 1.椭圆中的常用结论: (1)焦点弦长公式: 左焦点弦AB=2a+e(x1+x2);右焦点弦AB=2a-e(x1+x2); (2)通径长为;(3)焦点三角形的面积S=b2tan;(4)若A、B是椭圆C: +=1(a>b>0)上关于坐标原点对称的两点,P为椭圆C上任意一点,则kPAkPB=-. 2.双曲线中焦点三角形的面积S=. 3.若点M(x0,y0)在曲线±=1上,则过M的切线方程为±=1. 4.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦AB有如下结论: (1)xA·xB=; (2)yA·yB=-p2;(3)|AB|=(α是直线AB的倾斜角). 跟踪集训 34.设P是有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若e2=3e1,则e1=. 35.已知椭圆+=1(a>b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为. 36.设F为抛物线C: y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为. 答案精解精析 结论一 函数的奇偶性 跟踪集训 1.答案 4 解析 由已知得f(0)=0=1+b, ∴b=-1,又f (2)=2+2(a-1)-1=-1, ∴a=0,∴f(x)=log2(x+2)-x-1(x≥0), ∴f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4. 2.答案 解析 由f(x)是偶函数知f(x)=f(-x)=f(|x|),则f(2x-1) 3.答案 (-2,0)∪(0,2) 解析 由已知得,函数f(x)在(-∞,0)上也为增函数.画出函数的草图(如图),可得在(-2,0)和(2,+∞)上f(x)>0,在(-∞,-2)和(0,2)上f(x)<0.当x>0时,由<0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)<0,结合图象可知,x∈(0,2);当x<0时,由<0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)>0,结合图象可知x∈(-2,0).综上,x∈(-2,0)∪(0,2). 结论二 函数的单调性、 极值与最值 跟踪集训 4.答案 6 解析 由f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是R上的单调增函数,得f'(x)=12x2+2mx+m-3≥0在R上恒成立,则4m2-48(m-3)≤0,即(m-6)2≤0,故m=6. 5.答案 (-∞,-5] 解析 易知f (2)=0,则要使f(x),x∈[-3,3]的最大值是0,只需f(x)≤0,x∈[-3,3]恒成立,则-a|x-2|≥|x2-4|,x∈[-3,3],-a≥|x+2|max=5,x∈[-3,2)∪(2,3],所以a≤-5,实数a的取值范围是(-∞,-5]. 6.答案 解析 由对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,得函数f(x)=x3-x2+mx+2在R上递增,则f'(x)=3x2-2x+m≥0在R上恒成立,则m≥(-3x2+2x)max=,当x=时取等号,故实数m的取值范围是. 7.答案 (-∞,4) 解析 由∃x1≠x2,x1,x2∈R,f(x1)=f(x2),得f(x)在R上不单调.若f(x)在R上单调,只能单调递增,此时解得a≥4,故函数不单调时实数a的取值范围是a<4. 结论三 抽象函数的 周期性与单调性 跟踪集训 8.答案 1 解析 因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函数f(x)的周期为8,故f(8)+f(9)=f(0)+f (1)=1. 9.答案 3 解析 因为f(x)的图象关于直线x=2对称, 所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x), 又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x), 则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3. 10.答案 4 解析 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2017)=f(504×4+1)=f (1)=4,又因为f(2016)+f(2018)=-f(2014)+f(2014+4)=-f(2014)+f(2014)=0,所以f(2016)+f(2017)+f(2018)=4. 结论四 函数零点 跟踪集训 11.答案 (1,+∞) 解析 画出函数y=f(x),y=m的图象如图,由图象可得当m>1时,函数y=f(x)-m有两个不同的零点. 12.答案 解析 令3x=t,t∈,则函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点⇔m=-t2+t,t∈,则m∈. 13.答案 [-5,-2-2) 解析 曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,该切线与f(x)的图象恰有三个公共点,则该切线与f(x)=(1-x)(a+x),x≥2有两个不同交点,即关于x的方程x+1=(1-x)(a+x),x∈[2,+∞)有两个不等根,整理得x2+ax+1-a=0,x∈[2,+∞)有两个不等根,所以 解得-5≤a<-2-2. 结论五 三角函数 跟踪集训 14.答案 - 解析 由已知得,tanα=-, 则 = ===tanα=-. 15.答案 [-1,1] 解析 由sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=1,α,β∈[0,π],得α-β=,所以α=β+,β=α-,所以sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin+sin=cosα+cosβ=cosβ+cos=cosβ-sinβ=cos,由α,β∈[0,π],α=β+得β∈,则β+∈, 则cos∈, 所以cos∈[-1,1]. 16.答案 解析 f(x)=+cosxsinx=sin2x-cos2x+=sin+,由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z得 kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,与取交集得所求递增区间是. 结论六 解三角形 跟踪集训 17.答案 解析 设tanA=k,k>0,则tanB=2k,tanC=3k,由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得6k=6k3,k=1,则tanA=1,则 A=,cosA=. 18.解析 (1)由a=2bsinA得sinA=2sinBsinA,因为sinA≠0,所以sinB=,又B是锐角,则B=.
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