数列312.docx
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数列312
3.1 等比数列
(二)
1.等比数列的第二通项公式
等比数列的通项公式:
an=a1qn-1(q≠0),推广形式:
an=am·qn-m(n,m∈N+,q≠0).
2.等比数列的性质
(1)如果m+n=k+l,则有am·an=ak·al;
(2)如果m+n=2k,则有am·an=a
;
(3)若m,n,p成等差数列,则有am,an,ap成等比数列;
(4)在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N+)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列;
(5)如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列{
},{an·bn},{
},{|an|}仍是等比数列,且公比分别为
,q1q2,
,|q1|;
(6)等比数列的项的对称性:
在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=a2·an-1=ak·an-k+1=….
探究点一 等比数列的构造与证明
思考1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些?
思考2 如何判断或证明一个数列不是等比数列?
例1 在各项为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2·a5=
.
(1)求证:
{an}是等比数列,并求出通项;
(2)试问-
是这个等比数列中的项吗?
如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由.
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:
{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
探究点二 等比数列的性质
思考1 在等差数列{an}中,an=am+(n-m)d,类比等差数列中通项公式的推广,你能得出等比数列通项公式推广的结论吗?
思考2 在等比数列{an}中,a
=a1a9是否成立?
a
=a3a7是否成立?
a
=an-2an+2(n>2)是否成立?
思考3 由思考2你能得到等比数列更一般的结论吗?
该结论如何证明?
思考4 在等比数列{an}中,若m+n=2k,如何证明am·an=a
(m,n,k∈N+)?
.
思考5 公比q>0且q≠1时,等比数列呈现怎样的特点?
例2 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
跟踪训练2 在各项均为正数的等比数列{an}中,若a3a5=4,则a1a2a3a4a5a6a7=________.
例3 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
跟踪训练3 有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项和为21,中间两项和为18,求这四个数.
1.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,则公比q为( )
A.2B.3C.4D.8
2.在等比数列{an}中,an>0,且a1·a10=27,log3a2+log3a9等于( )
A.9B.6C.3D.2
3.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为________.
4.已知an=2n+3n,判断数列{an}是不是等比数列?
一、基础过关
1.在等比数列{an}中,a8=4,则a2·a14等于( )
A.4B.8C.16D.32
2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为( )
A.100B.-100C.10000D.-10000
3.在正项等比数列{an}中,an+1 等于( ) A. B. C. D. 4.等比数列{an}的各项为正数,且a5·a6+a4·a7=18, 则log3a1+log3a2+…+log3a10等于( ) A.12B.10 C.8D.2+log35 5.设数列{an}为公比q>1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7=________. 6.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=________. 7.已知数列{an}成等比数列. (1)若a2=4,a5=- ,求数列{an}的通项公式; (2)若a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值. 二、能力提升 8.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于( ) A.5 B.7C.6D.4 9.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1, a3,2a2成等差数列,则 等于( ) A.1+ B.1- C.3+2 D.3-2 10.已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=________. 11.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a ,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式. 12.已知{an}是首项为19,公差为-2的等差数列,Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn; (2)设{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的通项公式. 三、探究与拓展 13.已知数列{an}中,a1=1,an+1= - ,bn= ,求数列{bn}的通项公式.
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