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小学奥数-页码问题
页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题.编一本书的页码,一共需要多少个数码呢?
反过来,知道编一本书的页码所需的数码数量,求这本书的页数.这是页码问题中的两个基本内容。
页码问题实际上是数论的问题。
一、页码问题的几种题型:
(1)已知页码数,要求考生求出书中一共含有多少个数码。
(2)已知页码数,要求考生求此书中某个数码出现的次数。
(3)已知书中包含的数码数,要求考生求出该书的页码数。
(4)已知书中某个数码出现的次数,要求考生求出该书的页码数。
二、页码问题解题基本原理
要想要想顺利解答页码问题,首先要弄明白“页码”与“组成它的数码个
数”之间的关系。
1.一位数组成的页码共有9个(从1~9),组成所有的一位数需要:
(9-1+1)×1=9×1=9(个)数码。
2.两位数共有90个(从10~99),组成所有的两位数需要:
2×(99-10+1)=180(个)数码。
3.三位数共有900个(从100~999),组成所有的三位数需要:
3×(999-100+1)=2700(个)数码。
4.四位数共有9000个(从1000~9999),组成所有四位数需要:
4×(9999-1000+1)=36000(个)数码。
5.9页的书共有:
9个数码组成。
6.99页的书共有:
9+180=189个数码组成。
7.999页的书共有:
2700+180+9=2889个数码组成。
8.9999页的书共有:
36000+2700+180+9=38889个数码组成。
三.例题:
例1一本书共204页,需多少个数码编页码?
分析与解:
1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9(个);
10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);
100~204页每页上的页码是三位数,共需数码:
(204-100+1)×3=105×3=315(个).
综上所述,这本书共需数码:
9+180+315=504(个).
例2一本小说的页码,在排版时必须用2211个数码.问:
这本书共有多少页?
分析:
因为189<2211<2889,所以这本书有几百页.由前面的分析知道,这本书在排三位数的页码时用了数码(2211-189)个,所以三位数的页数有(2211-189)÷3=674(页).
因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有:
99+674=773(页).
解:
99+(2211-189)÷3=773(页).
答:
这本书共有773页.
例3一本书的页码从1至62,即共有62页.在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次.结果,得到的和数为2000.问:
这个被多加了一次的页码是几?
分析与解:
因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为
1+2+…+61+62
=62×(62+1)÷2
=31×63
=1953.
由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码,是2000-1953=47.
例4有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131.老师说小明计算错了,你知道为什么吗?
分析与解:
48页书的所有页码数之和为
1+2+…+48
=48×(48+1)÷2
=1176.
按照小明的计算,中间缺的这一张上的两个页码之和为1176-1131=45.这两个页码应该是22页和23页.但是按照印刷的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数页印在反面,所以任何一张上的两个页码,都是奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数大.小明计算出来的是缺22页和23页,这是不可能的.
例5将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:
123456789101112…问:
左起第2000位上的数字是多少?
分析与解:
本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?
”因为(2000-189)÷3=603……2,所以2000个数码排到第99+603+1=703(页)的第2个数码“0”.所以本题的第2000位数是0.
例6排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?
分析与解:
将1~400分为四组:
1~100,101~200,201~300,301~400.
在1~100中共出现11次0,其余各组每组都比1~100多出现9次0,即每组出现20次0.所以共需要数码“0”
例6、13/1995化成小数后是一个无限小数,问在这个无限小数的小数点后面,从第一位到1995位,在这1995个数中,数字6共出现了多少次?
解答:
这是一个关于循环小数的周期问题。
基本解答方法是先算出循环节,然后再统计每个周期的数字总数和每个周期中6的个数。
13/1995=0.0065162907268170426……,循环节是065162907268170426共18位,
每个循环节数字6出现4次,(1995-1)÷18=110……14,前14位6出现3次,
所以一共有110×4+3=443个。
例7、有一本96页的书,中间缺了一张。
如果将残书的所有页码相加,那么可能得到偶数吗?
解:
假设可能得到偶数,那么计算如下:
如果这本书不缺页,则总96页的所有页码之和是:
1+...+96=4656。
由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数,所以每一页上的页码之和必定是奇数。
那么:
残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数
综上所述:
不可能得到偶数。
例8、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:
123456789101112…问:
左起第1000位上的数字是多少?
解:
1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9(个);
10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);
因为(1000-189)÷3=270……1,所以1000个数码排到第:
99+270+1=370(个)数的第1个数码“3”.
所以本题的第1000位数是3。
例9、有一本科幻故事书,每四页中,有一页为文字,其余三页为图画。
如果第一页为图画,那么第二、三页也是图画,第四页为文字,第五、六、七页又为图画,依此类推。
如果第一页为文字,那么第二、三、四页为图画,第五页为文字,第六、七、八页又为图画,依此类推。
试问:
(1)假如这本书有96页,且第一页是图画,那么这本书多少页有图画?
(2)假如这本书有99页,那么多少页有图画?
解:
(1)将每4页看作是一组,每一组中有3页是图画:
96÷4=24
24×3=72(页),这本书有72页是图画。
(2)99÷4=24…3
24×3+3=75(页),这本书有75页是图画。
例10.甲、乙两册书的页码共用了8882个数码,且甲册比乙册多20页,甲册书有多少页?
解:
0~9页有9个数码,10~99有180个数码,100~999有2700个数码
由题义可知,甲和乙的最后页上的页码都在四位数以上。
因为甲比乙多20页,所以乙册书的数码数为:
(8882-20*4)/2=4401个
则乙书含4个数码的页数为:
(4401-9-180-2700)/4=378
则乙书的页数为:
378+900+90+9=1377页
甲书的页数为1377+20=1397页
例11:
编一本书的书页,用了270个数字(重复的也算,如页码115用了2个1和1个5共3个数字),问这本书一共多少页?
()
A.117B.126C.127D.189
答案及解析:
B。
本题是已知数码数,求页码数。
一共用了270个数字,其中一位数用了9个数字,两位数用了180个数字,那么三位数用的数字就是270-9-180=81个数字。
81÷3=27,因此三位数的页码共27页,从100起算,到126页就是27页,因此这本书一共126页。
故选B。
例12:
一本书共204页,需多少个数码编页码?
()
A.501B.502C.503D.504
答案及解析:
D。
本题是已知数码数,求页码数。
1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9(个);10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);100~204页每页上的页码是三位数,共需数码(204-100+1)×3=105×3=315(个)。
综上所述,这本书共需数码9+180+315=504(个)。
故选D。
例13:
一本书的页码从1开始,经过计算总共出现了202个数字1,问这本书一共有多少页?
()
A.510B.511C.617D.713
答案及解析:
A。
关于三位数字中“1”的出现次数,公式如下:
出现次数=(总数÷5)取整百+100+(其他多余情况),将四个选项带入公式中只有A项510符合。
【注:
(510÷5)取整百的结果是100;从501到510这10个数中,1出现了2次,故其他多余情况为2】。
故选A
四.根据书本页码的排列规律,解决与书本页码有关的计算问题。
解决这类问题的基本方法是:
分类、分段分别计算,再求和。
解决此类问题涉及到的,自然数列中与数字相关的常识有:
1、10以内的一位数有:
9个;
2、100以内的两位数有:
99-9=90(个);
3、1000以内的三位数有:
999-99=900(个);
4、10000以内的四位数有:
9999-999=9000(个);
5、100以内的数字中(不包括100),1到9九个数字分别出现了20次;
【以“1”为例:
在个位出现10次(1、11、21……91),在十位出现10次(10、11……19),共20次。
】
六、1000以内的数字中(不包括1000),1到9九个数字分别出现了300次;
【以“1”为例:
在个位出现了100次(10个10次),在十位上出现了100次,在百位上出现了100次,共300次。
】
七、100以内的数字中(不包括100),0出现9次;1000以内的数字中(不包括1000),0出现了189次。
【与“1”相比,0在个位上少出现1次,在十位上少出现10次,在百位上少出现100次。
】
【题目】:
一本书有180页,共要用多少个数字来编页码!
【解析】:
我们把这本书的页码分成三段计算。
①1~9一位数9个,共用9个数字;
②10~99两位数90个,共用数字:
(99-9)×2=180(个);
③100~180三位数81个,共用数字:
(180-99)×3=243(个)。
所以这本书有180页,共要用数字:
9+180+243=432(个)。
【题目】:
求1~950这950个连续自然数中各位上数字有1多少个?
【解析】:
1~950这950个连续自然数,数字1出现的次数可以分两类计算。
第一类:
计算个位和十位上的1。
在1~99中,数字1在个位上出现10次,在十位上出现10次,共出现了20次。
同理,在100~199中,数字1在个位上还是出现10次,在十位上也是出现10次,共出现了20次。
依次类推……
而在1到50中,数字1在个位上出现5次,在十位上出现10次。
所以,在1~950中,数字1在个位、十位上共出现:
20×9+10+5=195(次)。
第二类:
数字1在百位上出现了100次。
所以,1~950这950个连续自然数中各位上数字共有1:
195+100=295(个)。
【题目】:
一本故事书在编页码时,共用了3005个数字,这本故事书共有多少页?
【解析】:
在解决这个问题时,需要适时地进行估算。
解法一:
我们把这本书页码数字的个数先分段计算,边算边估,最后求出总页数。
①1~9页页码一位数9个,共用9个数字;
②10~99页页码两位数90个,共用数字:
(99-9)×2=180(个);
③100~999页页码三位数900个,共用数字:
(999-99)×3=2700(个)。
④则这本书有四位数字页码个数为:
(3005-9-180-2700)÷4=29
所以这本数的页数为:
999+29=1028(页)。
解法二:
因为1000个三位数只需要3000个数字,所以,这本故事书的页码超过1000页。
我们先求出页码1~999页共需要多少个数字,也就是所有的一位数字、两位数字、三位数字页码所用的数字之和:
9+90×2+900×3=2889(个)。
再求出四位数页码所用的的数字和:
3005-2889=116(个)。
则这本书有四位数字页码个数为:
(3005-9-180-2700)÷4=29
所以这本数的页数为:
999+29=1028(页)。
【题目】:
一本书有500页,这本书排版时用了多少次数码3?
【解析】:
在1~99页中,数字3在个位上出现10次,在十位上出现10次,共出现了20次。
在1~500页中,数字3在百位上出现100次。
所以,一本书有500页,这本书排版时用数码3的次数为:
20×5+100=200(次)。
问题:
一本书的页码在印刷排版时要用1392个铅字,这本书有多少页?
在这些页码中,铅字“1”共出现多少次?
解析:
这是经常见到的问题,但要迅速、正确地做出回答,各人情况很不一样──也许一位细心、善于思考的学生能令人满意,而粗心、思维紊乱的中学生可能使人失望。
不信,请先自己试试看。
它的正确答案是:
本书共有500页,其中铅字“l”共出现200次。
不妨先用手边的一本书,一页一页地数下去,边数边想,你就会发现:
最初的9页(l—9页)共用铅字9个;
紧接的90页(10—99页)共用铅字90×2=180(个)。
余下的若干页,设为x页(x为三位数),用铅字3x(个),
得方程
9+180+3x=1392。
解得x=401。
故本书共有9+90+401=500(页)。
注意解题的关键是采用了分类思想──将本书的页码分为三类:
(1)页码为一位数(1一9页);
(2)页码为二位数(10一99页);
(3)页码为三位数(100—500页)。
在这500页的页码中,铅字“1”共出现多少次?
──为了正确、迅速地回答本问,仍要采用分类思想:
铅字“1”在页码的个位数出现的次数;铅字“1”在页码的十位数出现的次数;铅字“1”在页码的百位数出现的次数。
(1)铅字“1”在页码的个位数出现的状况为:
00[1]~49[1]
这说明铅字“1”在页码的个位数出现50次。
(2)铅字“1”在页码的十位数出现的状况为:
0[1]0~4[1]9
这说明铅字“1”在页码的十位数出现50次。
(3)铅字“1”在页码的百位数出现的状况为:
[1]00一[1]99
这说明铅字“1”在页码的百位数出现100次。
故铅字“1”共出现50+50+100=200(次)
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