07新 经济地理学 第二章.pptx
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,第二章随机变量及其分布,随机试验的结果,随机变量,数量化,微积分等数学工具,随机变量与分布函数,2.1,在实际问题中,随机试验的结果可以用数量来表示,由此就产生了随机变量的概念.,1、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数).,例如,掷一颗骰子面上出现的点数;,七月份郑州的最高温度;,每天从郑州下火车的人数;,昆虫的产卵数;,2、在有些试验中,试验结果看来与数值无关,但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说,把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样,二者建立了一种对应关系.,例1.观察一天中进入某商店的顾客人数。
wk=一天中进入商店k个顾客,kk=(1,2,),X,例2.从一批含有次品的产品中任意抽查一个,观察产品情况。
01,X,随机变量的定义,对于随机试验E,是其样本空间。
如果对每一个样本点w,都对应着一个实数X(w),则称上的实值函数X(w)为随机变量,简记为X。
w,RX(w),X,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.,随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示,随机变量的分类,通常分为两类:
如“取到次品的个数”,“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个一一列举,例如,“电视机的寿命”,实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅无穷多,而且还不能一一列举,而是充满一个区间.,分布函数,设X是一个随机变量,称,为X的分布函数.F(x)也可记为FX(x).,问:
在上式中,X,x皆为变量.二者有什么区别?
F(x)是不是概率?
X是随机变量,x是参变量.,F(x)是r.vX取值不大于x的概率.,已知X的分布函数为F(x),下列各事件概率用F(x)如何表示?
1-F(x),F(x2)-F(x1),P(Xx)P(x1Xx2)P(x1Xx2)P(x1Xx2),F(x)-F(x-0),F(x-0),F(x2-0)-F(x1),F(x2)-F(x1-0),分布函数的性质,F(x+0)=F(x),1.单调不减,2.非负有界,3.右连续,例4.设随机变量X的分布函数为,求常数a,b及概率P(|X|2).,解:
根据分布函数的性质有:
离散型随机变量及其分布,2.2,离散型随机变量的概率分布,定义:
设xk(k=1,2,)是离散型随机变量X所取的一切可能值,pk是X取值xk的概率,称,为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
分布列,pk(k=1,2,)满足:
概率分布的性质,这样,我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,例1,且,解:
依据概率函数的性质:
a0,从中解得,欲使上述函数为概率函数,应有,例5.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9,求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解:
X可取0、1、2为值,P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18,P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81,且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,例6.某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命中的概率是p,求所需射击发数X的概率函数.,解:
显然,X可能取的值是1,2,,,P(X=1)=P(A1)=p,为计算P(X=k),k=1,2,,,Ak=第k发命中,k=1,2,,,设,于是,可见,这就是求所需射击发数X的概率函数.,P(X=1)=P(A1)=p,Ak=第k发命中,k=1,2,,,设,于是,若随机变量X的概率函数如上式,则称X具有几何分布.,不难验证:
例7.,
(1)求常数a;,
(2)P(X1),P(-2X0),P(X2).,离散型随机变量的分布函数,当x0时,Xx=,故F(x)=0,当0x1时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)=,当1x2时,F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=,当x2时,F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,概率函数图,分布函数图,画分布函数图,不难看出,F(x)的图形是阶梯状的图形,在x=0,1,2处有跳跃,其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).,1.它的图形是一条右连续的阶梯型曲线,2.在随机变量的每一个可能取值点x=xk(k=1,2,),该图形都有一个跳跃,跳跃高度为pk,离散型随机变量的分布函数特点,例11.袋中装有5件产品,其中有2件次品,其余为正品,现任取2件,那么取到的次品数X的分布列及分布函数.,几种常见的离散型随机变量的分布,0-1分布,若随机变量X只可能取0和1两个值,其概率分布为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p(0p1)则称X服从参数为p的0-1分布.,几种常见的离散型随机变量的分布,二项分布,若随机变量X的概率分布为,称X服从参数为n和p的二项分布,记作XB(n,p).,例12。
某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.,解:
设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.,XB(3,0.8),,把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8,P(X1)=P(X=0)+P(X=1),=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,例13.一随机数字序列要有多长才能使0至少出现一次的概率不小于0.9?
解:
X:
长度为n的随机数字序列中0的个数,XB(n,0.1),例14.某车间有5台车床,由于种种原因(由于装、卸工作等),时常需要停车.设各台车床的停车或开车是相互独立的.若车床在任一时刻处于停车状态的概率是1/3,求车间中恰有一台车床处于停车状态的概率。
解:
X:
处于停车状态的车床数,XB(5,1/3),对于固定n及p,当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.,当(n+1)p不为整数时,二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值;,(x表示不超过x的最大整数),对于固定n及p,当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.,当(n+1)p为整数时,二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.,设射手每一次击中目标的概率为p,现连续射击n次,击中次数最大可能是多少?
几种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布,若随机变量X的概率分布为,其中常数0,则称X服从参数为的泊松分布,记作XP().,泊松定理,定理的条件=npn意味着当n很大时,pn必定很小.因此,泊松定理表明,当n很大,p很小时有以下近似式:
例15为保证设备正常工作,需要配备适量的维修人员.设共有300台设备,每台的工作相互独立,发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下,一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员,才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析:
300台设备,独立工作,出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员,才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
设X为300台设备同时发生故障的台数,,300台设备,独立工作,每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.,XB(n,p),n=300,p=0.01,可见,,300台设备,独立工作,出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员,才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
设X为300台设备同时发生故障的台数,,XB(n,p),n=300,p=0.01,设需配备N个维修人员,,所求的是满足,P(XN)0.01或P(XN)0.99,的最小的N.,设需配备N个维修人员,,所求的是满足,P(XN)0.01的最小的N.,P(XN),n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似,下面给出正式求解过程:
即至少需配备8个维修人员.,查书末的泊松分布表得,即N8,例.若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.002,现有2000个这类人参加人寿保险。
参加者交纳24元保险金,而死亡时保险公司付给其家属5000元赔偿费。
计算“保险公司亏本”和“保险公司盈利不少于10000元”的概率。
解:
X:
一年内死亡的人数,XB(2000,0.002),亏本5000X48000X9,盈利不少于10000元48000-5000X10000X7,用泊松定理近似计算!
=0.0081,=0.9489,例17.设生三胞胎的概率为0.0001,求在10000次生育中恰有2次三胞胎的概率。
解:
X:
生三胞胎的次数,XB(10000,0.0001),由泊松定理,n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.,如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,例18.有一汽车站有大量汽车通过,设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故数X不小于2的概率.,几何分布,在独立试验序列中,若一次贝努利试验中某事件A发生的概率为P(A)=p,只要事件A不发生,试验就不断地重复下去,直到事件A发生,试验才停止。
设随机变量X为直到事件A发生为止所需的试验次数,X的概率分布为,则称X服从参数为p的几何分布,记作XG(p).,例19.某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命中的概率是0.4,求:
(1)所需射击发数X的概率分布.
(2)至少需要n次才能射中目标的概率。
XG(0.4),超几何分布,设N个元素分为两类,有M个属于第一类,N-M个属于第二类.现在从中不重复抽取n个,其中包含的第一类元素的个数X的分布律为,其中nN,MN,l=minn,M,n,N,M均为正整数,则称X服从参数为N,M,n的超几何分布,记作XH(N,M,n).,例20.某班有学生20名,其中有5名女生,今从班上任选4名学生去参观展览,求被选到的女同学人数X的分布律。
XH(20,5,4),连续型随机变量及其分布,2.3,概率密度,设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使得对任意的实数x,都有,则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或分布密度。
概率密度的性质,ab,连续型r.v取任一指定值的概率为0.,即:
a为任一指定值,这是因为,需要指出的是:
由此得,,对连续型r.vX,有,概率分布的性质,由P(X=a)=0可推知,而X=a并非不可能事件,并非必然事件,称A为几乎不可能事件,B为几乎必然事件.,可见,,由P(A)=0,不能推出,由P(B)=1,不能推出B=S,概率分布的性质,密度函数f(x)在某点处x0的高度,并不反映X取值的概率.在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,例1.若X的概率密度为,例2.设连续型随机变量X的概率密度为,求系数k及分布函数F(x),并计算P(1X3.5).,例3.设连续型随机变量X的概率密度为,求系数k及分布函数F(x),并计算P(0.5X2).,解:
例4.向半径为R的圆形靶射击,假设不会发生脱靶,且击中任意同心圆盘的概率与该靶的面积成正比,设随机变量X表示击中点与靶心的距离.,
(1)求X的分布函数与分布密度;,
(2)把靶的半径10等分,若击中点落在以靶心为中心,内外半径分别为iR/10及(i+1)R/10的圆环内时记为10-i环。
求一次射击得到10-i环的概率。
几种常见的连续型随机变量的分布,均匀分布,若随机变量X的概率密度为,则称X服从区间a,b上的均匀分布,记作XUa,b.,例5.设随机变量XU1,6,求二次方程,有实根的概率。
解:
有实根=X2-40,几种常见的连续型随机变量的分布,指数分布,若随机变量X的概率密度为,其中,0为常数,则称X服从参数为的指数分布,记作XE.,例7.某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量,其概率密度为,一台电子仪器内装有5个这种类型的元件,任一元件坏仪器即停止工作,求仪器能正常使用1000小时以上的概率。
例8.某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量,其概率密度为,
(1)确定常数C;
(2)寿命超过100小时的概率;(3)已知该元件已正常使用200小时,求它至少还能正常使用100小时的概率。
若随机变量X对任意的s0,t0有,则称X的分布具有无记忆性.,指数分布具有无记忆性,泊松分布具有无记忆性,指数分布和泊松分布有着特殊的联系,例9.某机场在任何长为t的时间内飞机来到的数目X服从参数为t的泊松分布,求跑道的“等待时间”即相继两架飞机到来的时间间隔Y的概率分布。
几种常见的连续型随机变量的分布,正态分布,若随机变量X的概率密度为,其中和都是常数,0,则称X服从参数为和2的正态分布.记作XN(,2),关于x=对称,在x=处有拐点,以x轴为渐近线,决定了图形的中心位置,决定了图形中峰的陡峭程度.,XN(,2),我们遇到过的年降雨量问题,我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。
从直方图,我们可以初步看出,年降雨量近似服从正态分布。
下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。
红线是拟合的正态密度曲线,可见,某大学男大学生的身高应服从正态分布。
人的身高高低不等,但中等身材的占大多数,特高和特矮的只是少数,而且较高和较矮的人数大致相近,这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。
除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标,如零件的尺寸;纤维的强度和张力;农作物的产量,小麦的穗长、株高;测量误差,射击目标的水平或垂直偏差;信号噪声等等,都服从或近似服从正态分布.,=0,=1时的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用和表示:
标准正态分布,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,正态分布的概率计算,1.若XN(0,1),2.若XN(,2),正态分布的概率计算,例10.设XN(0,1),求:
例11.设XN(2,4),求:
例12.设XN(,2),求:
3原则,例14.设测量某一目标的距离时发生的误差X(米)的概率密度为,求三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率。
判断正误,设XN(3,4),求,分位点,设XN(0,1),对于给定的01,存在u满足,即,则称u为X关于的上侧分位点.,例15.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,36),问车门高度应如何确定?
分位点,设XN(0,1),对于给定的01,存在u/2满足,则称u/2为X关于的双侧分位点.,伽玛分布,随机变量函数的分布,2.4,一、问题的提出,在实际中,人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,求截面面积A=的分布.,例如,已知圆轴截面直径d的分布,,一、问题的提出,在实际中,人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,已知t=t0时刻噪声电压V的分布,,求功率W=V2/R(R为电阻)的分布等.,设随机变量X的分布已知,Y=g(X)(设g是连续函数),如何由X的分布求出Y的分布?
下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,随机变量X的分布,随机变量Y的分布,?
Y=g(X),二、离散型随机变量函数的分布,解:
当X取值1,2,5时,Y取对应值5,7,13,,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件,两者具有相同的概率.,故,如果g(xk)中有一些是相同的,把它们作适当并项即可.,一般,若X是离散型r.v,X的概率函数为,则Y=X2的概率函数为:
离散型随机变量函数的分布,例2.已知X的分布列为,a.求Y=3X-1的分布列;,b.求Z=X2的分布列.,如果yk=g(xk)中有一些是相同的,把它们作适当并项即可.,一般,若X是离散型r.v,X的分布列为,若yk=g(xk)的值互不相等,Y=g(X)的分布列为,三、连续型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数的分布,解:
设Y的分布函数为FY(y),,FY(y)=PYy=P(2X+8y),=PX=FX(),于是Y的密度函数,故,注意到0x4时,,即8y16时,,此时,Y=2X+8,从分布函数定义出发,通过等概率事件的转化,建立随机变量X与它的函数Y的分布函数之间的关系,进而求解随机变量函数分布问题。
这种方法称为分布函数法。
求导可得,当y0时,注意到Y=X20,故当y0时,,解:
设Y和X的分布函数分别为和,,若,则Y=X2的概率密度为:
从上述两例中可以看到,在求P(Yy)的过程中,关键的一步是设法从g(X)y中解出X,从而得到与g(X)y等价的X的不等式.,用代替X2y,这样做是为了利用已知的X的分布,从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,设随机变量X的概率密度为fX(x),又设y=g(x)严格单调且可导,则Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为,定理,其中,(,)是y=g(x)的值域.,公式法,例6.设XN(,2),求:
例7设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当y0时,当y1时,故,解:
注意到,=P(0Xarcsiny)+P(-arcsinyX),解:
当0y1时,例8设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当0y1时,解:
=P(0Xarcsiny)+P(-arcsinyX),而,求导得:
例9已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数F-1存在且严格递增.,证明:
设Y的分布函数是G(y),于是,对y1,G(y)=1;,对y0,G(y)=0;,由于,对0y1,G(y)=P(Yy),=P(F(X)y),=P(X(y),=F(y)=y,即Y的分布函数是,求导得Y的密度函数,可见,Y服从0,1上的均匀分布.,本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.,例10设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布,求Y=-2lnX的概率密度.,解:
在区间(0,1)上,函数lnx0,故y=-2lnx0,于是y在区间(0,1)上单调下降,有反函数,由前述定理得,注意取绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布,,代入的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,
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