北京十一学校初二下期末数学教师版.docx
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北京十一学校初二下期末数学教师版
2020北京十一学校初二(下)期末
数学
一、选择题(共16分,每小题2分)
1.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2.函数
中,自变量x的取值范围是( )
A.x≠3B.x≥3C.x>3D.x≤3
3.下列图象不能反映y是x的函数的是( )
A.
B.
C.
D.
4.在一次投篮训练中,甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮练习,每人投篮成绩的平均数都是9.3,方差分别为S甲2=0.54,S乙2=0.45,S丙2=0.56,S丁2=0.62,成绩最稳定的是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
5.已知两个变量x与y之间的三组对应值如表,则y与x之间的函数解析式可能是( )
x
﹣1
2
﹣3
y
﹣6
3
﹣2
A.y=6xB.y=x﹣5C.y=x2﹣5D.y=
6.抛物线y=4x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为( )
A.y=4x2﹣1B.y=4x2+1C.y=4(x+1)2D.y=4(x﹣1)2
7.在▱ABCD中,若∠A=110°,则∠B的度数为( )
A.70°B.80°C.90°D.110°
8.一次函数y=kx+b的图象如图所示,当y>0时,x的取值范围是( )
A.x>0B.x<0C.x>﹣2D.x<﹣2
二、填空题(共16分,每小题2分)
9.抛物线y=2(x+1)2+3的顶点坐标为 .
10.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE,若BC=2,则DE= .
11.写出一个经过点(1,0),y随着x的增大而增大的一次函数的解析式 .
12.已知菱形的两条对角线长分别是6和8,则这个菱形的面积为 .
13.动点A(a,3a+1)的运动轨迹解析式为 .
14.二次函数y=x2﹣4x+5﹣m2的图象过点(0,4),则m的值为 .
15.如图,将矩形ABCD折叠,使点A落在CD边上的点M处,折痕BE交AD边于点E.若AB=5,BC=4,则DM的长为 .
16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以点C为圆心,CD长为半径画弧交BA的延长线于点E,设∠B=x,∠ACE=y.则y与x的关系式为 .
三、解答题(共68分,第17题6分,第18题4分,第19、20、21、22题每题5分,第23题4分,第24题6分,第25题7分,第26题5分,第27、28题每题8分)
17.(6分)解一元二次方程.
(1)(x﹣1)2=4;
(2)x2﹣
x﹣1=0.
18.(4分)已知:
△ABC,求作平行四边形ABCD.
下面是小明设计的尺规作图过程.
作法:
①分别以A、C为圆心,大于
AC的长为半径作弧,两弧交于M、N两点;
②连接MN,交AC于点O;
③连接BO;
④以O为圆心,OB长为半径作弧,交BO延长线于点D;
⑤连接AD、CD.
四边形ABCD即为所求.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:
∵OA= ,OB= ,
∴四边形ABCD是平行四边形.
( )(填推理的依据)
19.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣1=0.
(1)当k=1时,求此方程的根;
(2)若此方程有两个实数根,求k的取值范围.
20.(5分)如图,△ABC,AB=AC,AD为BC边上的中线.以A为圆心,BD长为半径作弧,以D为圆心,AB长为半径作弧,两弧在直线AD的右侧交于点E.连接AE、CE.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:
四边形ADCE是矩形.
21.(5分)在平面直角坐标系中,过点A(1,2)的直线l1与直线l2:
y=x+m交于点B(4,3).
(1)求直线l1、l2的解析式;
(2)若直线y=kx与线段AB恰有一个公共点,则k的取值范围是 .
22.(5分)初二年级在小学段期间开展名著阅读比赛,从参赛的400名学生中抽取了部分学生的成绩进行分析,绘制了频数分布表与频数分布直方图.
成绩x(分)
频数
60≤x<70
3
70≤x<80
9
80≤x<90
a
90≤x<100
6
其中,成绩在80≤x<90这一组的是:
838086818289
858681878884
请根据图表信息解答下列问题:
(1)表中的a的值为 ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)抽取的这部分学生成绩的中位数是 ;
(4)若成绩不低于85分属于优秀,估计初二年级参赛学生中有多少人达到优秀水平?
23.(4分)如图,▱ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=4,AF=6.设AB=x,BC=y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若▱ABCD的周长为25,求x与y的值.
24.(6分)已知函数y=x2﹣4x+3.
(1)将此函数配方为顶点式;
(2)函数图象的对称轴 ;
(3)函数图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 ;
(4)画出函数图象示意图.
25.(7分)已知二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的部分对应值如下表:
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
…
(1)二次函数图象的开口方向 ,顶点坐标是 ,m的值为 ;
(2)点P(﹣3,y1)、Q(2,y2)在函数图象上,y1 y2(填<、>、=);
(3)当y<0时,x的取值范围是 ;
(4)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的解为 .
26.(5分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.
(1)求A、B点的坐标;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若整点C在第一象限,且∠ACB=90°,则点C的坐标为 .
27.(8分)如图,在矩形ABCD中,点E在BC边上,且DE=AD,过点A作AF∥DE交CB的延长线于点F.
(1)求证:
四边形AFED是菱形;
(2)若AB=1,CF=2.
①求AD的长;
②AE、FD交于点O,连接OC,求OC的长.
28.(8分)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l及点P给出如下定义:
过点P作y轴的垂线交直线l于点Q,若PQ≤1,则称点P为直线l的关联点,当PQ=1时,称点P为直线l的最佳关联点,当点P与点Q重合时,记PQ=0.
例如,点P(1,2)是直线y=x的最佳关联点.
根据阅读材料,解决下列问题.
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:
y=﹣x+3,l2:
y=2x+b.
(1)已知点A(0,4),B(
,1),C(2,3),上述各点是直线l1的关联点是 ;
(2)若点D(﹣1,m)是直线l1的最佳关联点,则m的值是 ;
(3)点E在x轴的正半轴上,以OA、OE为边作正方形AOEF.若直线l2与正方形AOEF相交,且交点中至少有一个是直线l1的关联点,则b的取值范围是 .
2020北京十一学校初二(下)期末数学
参考答案
一、选择题(共16分,每小题2分)
1.【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.
【解答】解:
A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意;
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意;
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确.
故选:
D.
2.【分析】根据二次根式有意义的条件,即根号下大于等于0,求出即可.
【解答】解:
∵
有意义的条件是:
x﹣3≥0.
∴x≥3.
故选:
B.
3.【分析】根据函数的概念解答即可.
【解答】解:
A、当x取一值时,y没有唯一与它对应的值,y不是x的函数,故选项A符合题意;
B、当x取一值时,y有唯一与它对应的值,y是x的函数,故选项B不合题意;
C、当x取一值时,y有唯一与它对应的值,y是x的函数,故选项C不合题意;
D、当x取一值时,y有唯一与它对应的值,y是x的函数,故选项D不合题意;
故选:
A.
4.【分析】根据方差的意义求解可得.
【解答】解:
∵S甲2=0.54,S乙2=0.45,S丙2=0.56,S丁2=0.62,
∴S乙2<S甲2<S丙2<S丁2,
∴成绩最稳定的是乙,
故选:
B.
5.【分析】观察这几组数据,找到其中的规律,然后再答案中找出符合要求的关系式.
【解答】解:
A.将表格对应数据代入,不符合方程y=6x,故A错误;
B.将表格对应数据代入,符合方程y=x﹣5,故B错误;
C.将表格对应数据代入,不符合方程y=x2﹣5,故C错误;
D.将表格对应数据代入,符合方程y=
,故D正确.
故选:
D.
6.【分析】直接根据平移规律作答即可.
【解答】解:
抛物线y=4x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为y=4x2+1,
故选:
B.
7.【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC,再由平行线的性质得出∠A与∠B的关系,进而求得∠B.
【解答】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=110°,
∴∠B=70°,
故选:
A.
8.【分析】当y>0时,即函数图象在x轴上方时对应的x的取值范围,结合图象可求得答案.
【解答】解:
由图象可知当x=﹣2时,y=0,且y随x的增大而增大,
∴当y>0时,x>﹣2,
故选:
C.
二、填空题(共16分,每小题2分)
9.【分析】抛物线y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),直接根据抛物线y=2(x+1)2+3写出顶点坐标则可.
【解答】解:
顶点坐标是(﹣1,3).
10.【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=
BC.
【解答】解:
∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=
BC=
×2=1.
故答案为:
1.
11.【分析】设一次函数解析式为y=kx+b,由条件可求得k+b=0,再结合函数的增减性可求得k的取值范围,进而即可求得答案.
【解答】解:
设一次函数解析式为y=kx+b,
∵图象经过点(1,0),
∴k+b=0,
∵y随着x的增大而增大,
∴k>0,
∴可取k=1(答案不唯一),则b=﹣1,
∴一次函数的解析式为y=x﹣1,
故答案为:
y=x﹣1.
12.【分析】因为菱形的面积为两条对角线积的一半,所以这个菱形的面积为24.
【解答】解:
∵菱形的两条对角线长分别是6和8,
∴这个菱形的面积为6×8÷2=24
故答案为24
13.【分析】设x=a,y=3a+1,再消去a,即可得出答案.
【解答】解:
∵A(a,3a+1),
∴x=a,y=3a+1,
则y=3a+1=3x+1,
即动点A(a,3a+1)的运动轨迹解析式为y=3x+1,
故答案为:
y=3x+1.
14.【分析】把点(0,4)代入解析式求得即可.
【解答】解:
∵根二次函数y=x2﹣4x+5﹣m2的图象过点(0,4),
∴5﹣m2=4,
解得m=±1.
故答案为±1.
15.【分析】在Rt△CBM中,利用勾股定理求出CM即可解决问题.
【解答】解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,AB=CD=5,
由翻折可知,BA=BM=5,
∴CM=
=
=3,
∴DM=CD﹣CM=5﹣3=2,
故答案为2.
16.【分析】根据直角三角形的性质得到CD=BD,求得∠DCB=∠B=x,根据三角形外角的性质即可得到结论.
【解答】解:
∵在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴CD=BD,
∴∠DCB=∠B=x,
∴∠ADC=2x,
∵CE=CD,
∴∠E=∠ADC=2x,
∵∠EAC=∠ACB+∠B=90°+x,
∴y=180°﹣∠E﹣∠EAC=180°﹣2x﹣(90°+x)=90°﹣3x,
即y与x的关系式为:
y=90°﹣3x,
故答案为:
y=90°﹣3x.
三、解答题(共68分,第17题6分,第18题4分,第19、20、21、22题每题5分,第23题4分,第24题6分,第25题7分,第26题5分,第27、28题每题8分)
17.【分析】
(1)直接开平方法求解可得;
(2)根据公式法求解可得.
【解答】解:
(1)(x﹣1)2=4,
x﹣1=±2,
解得x1=﹣1,x2=3;
(2)x2﹣
x﹣1=0,
∵a=1,b=﹣
,c=﹣1,
∴△=3﹣4×1×(﹣1)=7>0,
x=
,
解得x1=
,x2=
.
18.【分析】
(1)根据作图过程即可补全图形;
(2)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,即可完成证明.
【解答】解:
(1)如图即为补全的图形;
(2)证明:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
故答案为:
OC,OD,对角线互相平分的四边形是平行四边形.
19.【分析】
(1)先写k=1时的方程,然后利用因式分解法解方程;
(2)利用判别式的意义得到△=(﹣3)2﹣4(k﹣1)≥0,然后解不等式即可.
【解答】解:
(1)当k=1时,x2﹣3x=0,
x(x﹣3)=0,
x=0或x﹣3=0,
所以x1=0,x2=3;
(2)根据题意得△=(﹣3)2﹣4(k﹣1)≥0,
解得k≤
.
20.【分析】
(1)根据题意作出图形便可;
(2)由作图条件先证明ABDE是平行四边形,再证明ADCE是平行四边形,由等腰三角形的三线合一性质得∠ADC=90°,根据矩形的判定定理得结论.
【解答】解:
(1)根据题意作图如下:
(2)连接DE,如图2,
由作图知,AE=BD,DE=AB,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BC,
∵AD为BC边上的中线.
∴BD=CD,
∴AE=CD,
∵AE∥BC,
∴四边形ADCE是平行四边形,
∵AB=AC,AD为BC边上的中线.
∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
21.【分析】
(1)由待定系数法求出直线解析式即可;
(2)求得直线y=kx分别经过A、B时的k的值,即可求得k的取值.
【解答】解:
(1)∵点B(4,3)在直线l2:
y=x+m上,
∴3=4+m,
解得m=﹣1.
∴直线l2:
y=x﹣1,
∵点A(1,2)和B(4,3)在直线l1上,设l1:
y=kx+b,
∴
,解得
,
∴直线l1的表达式为y=
x+
.
(2)把点A(1,2)代入y=kx,求得k=2,
把点B(4,3)代入y=kx,求得k=
,
∴若直线y=kx与线段AB恰有一个公共点,则k的取值范围是
≤k≤2,
故答案为
≤k≤2.
22.【分析】
(1)根据题目中给出成绩在80≤x<90这一组的数据,可以得到a的值;
(2)根据a的值,可以将频数分布直方图补充完整;
(3)根据直方图中的数据和成绩在80≤x<90这一组的数据,可以得到抽取的这部分学生成绩的中位数;
(4)根据频数分布表中的数据,可以计算出初二年级参赛学生中有多少人达到优秀水平.
【解答】解:
(1)∵成绩在80≤x<90这一组的是:
838086818289
858681878884
∴a=12,
故答案为:
12;
(2)由
(1)知,a=12,
补全的频数分布直方图如右图所示;
(3)抽取的数据一共有3+9+12+6=30,
故抽取的这部分学生成绩的中位数是(81+82)÷2=81.5,
故答案为:
81.5;
(4)400×
=160(名),
答:
初二年级参赛学生中有160人达到优秀水平.
23.【分析】
(1)根据平行四边形的面积公式列出x、y的方程,进而变形得出y与x的函数关系式;
(1)根据平行四边形的周长公式列出x、y的方程,再与
(1)中关系式联立方程组解答便可.
【解答】解:
(1)根据平行四边形的面积公式得,S平行四边形ABCD=AB•AF=BC•AE,
∴6x=4y,
∴y=
;
(2)∵▱ABCD的周长为25,
∴2(x+y)=25,
∴y=
,
把y=
代入y=
中,得
,
解得,x=5,
∴y=
.
24.【分析】根据二次函数图象和性质逐个求解即可.
【解答】解:
(1)y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
故答案为:
y=(x﹣2)2﹣1;
(2)由
(1)知,函数的对称轴为x=2,
故答案为x=2;
(3)令y=x2﹣4x+3=0,解得:
x=1或3,令x=0,则y=3,
故答案为(1,0)或(3,0);(0,3);
(4)由
(1)、
(2)、(3)的数据画出图象示意图如下:
25.【分析】根据表格数据确定函数的对称轴,根据函数图象对称性即可求解.
【解答】解:
(1)由表格可见,函数的对称轴为x=1,对称轴右侧,y随x的增大而增大,故抛物线开口向上,
顶点坐标为(1,﹣4),根据函数的对称性m=5;
故答案为:
向上;(1,﹣4);5;
(2)从P、Q的横坐标看,点Q离函数的对称轴近,故y1>y2;
故答案为:
>;
(3)从表格看,当y<0时,x的取值范围是:
﹣1<x<3,
故答案为:
﹣1<x<3;
(4)从表格看,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的解为:
x=﹣2或4,
故答案为:
x=﹣2或4.
26.【分析】
(1)一次函数y=﹣2x+4,令x=0,则y=4,令y=0,则x=2,即可求解;
(2)设点C(m,n),取AB的中点T,连接CT.利用勾股定理构建方程.切线整数解即可.
【解答】解:
(1)一次函数y=﹣2x+4,令x=0,则y=4,令y=0,则x=2,
故点A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4);
(2)设点C(m,n),取AB的中点T,连接CT.
∵A(2,0).B(0,4),
∴AB=
=2
.
∵BT=AT,∠ACB=90°,
∴CT=
AB=
,T(1,2),
∴(m﹣1)2+(n﹣2)2=5,
∵m>0,n>0,m,n是整数,
∴m=2,n=4或m=3,n=3或m=3,n=1.
故答案为:
(3,3)或(2,4)或(3,1).
27.【分析】
(1)由矩形的性质可得AD∥BC,∠C=90°,由菱形的判定可证四边形AFED是菱形;
(2)①由菱形的性质可得AD=DE=EF,利用勾股定理可求AD的长;
②由勾股定理可求DF的长,由菱形的性质可得DO=FO,由直角三角形的性质可求解.
【解答】解:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°,AB=CD,
又∵AF∥DE,
∴四边形AFED是平行四边形,
又∵AD=DE,
∴四边形AFED是菱形;
(2)①∵四边形AFED是菱形;
∴AD=DE=EF,
∵DE2=CD2+CE2,
∴DE2=1+(2﹣DE)2,
∴DE=
,
∴AD=
;
②如图,
∵∠DCF=90°,AB=CD=1,CF=2,
∴DF=
=
=
,
∵四边形AFED是菱形,
∴DO=FO,
又∵∠DCF=90°,
∴CO=
DF=
.
28.【分析】
(1)将点A,B,C的纵坐标分别代入直线l1:
y=﹣x+3,分别求出过点A,B,C垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标,根据关联点的定义即可求解;
(2)将点D的纵坐标分别代入直线l1,求出过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标,根据最佳关联点的定义列出关于m的方程,解方程即可;
(3)如图,若直线l2与正方形AOEF相交,且交点中至少有一个是直线l1的关联点,则直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间,根据点A,E的坐标即可得b的取值范围.
【解答】解:
(1)如图1,将点A(0,4)的纵坐标分别代入直线l1:
y=﹣x+3,得:
x=﹣1,
∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是﹣1,0﹣(﹣1)=1,
∴点A是直线l1的关联点;
将点B(
,1)的纵坐标分别代入直线l1:
y=﹣x+3,得:
x=2,
∴2﹣
=
<1,
∴点B是直线l1的关联点;
将点C(2,3)的纵坐标分别代入直线l1:
y=﹣x+3,得:
x=0,
∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是0,2﹣0=2>1,
∴点C不是直线l1的关联点;
故答案为:
A,B;
(2)将点D的纵坐标分别代入直线l1:
y=﹣x+3,得:
x=3﹣m,
∴过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是3﹣m,
∵点D(﹣1,m)是直线l1的最佳关联点,
∴丨3﹣m﹣(﹣1)丨=丨4﹣m丨=1,解得:
m=3或5,
故答案为:
3或5;
(3)如图2,
由图可得,直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间时,符合要求,
直线与l3正方形AOEF相交于A(0,4)时,b=4,
直线l4与正方形AOEF相交于A(0,2)时,b=2,
直线l5与正方形AOEF相交于F(4,4)时,b=﹣4,
直线l6与正方形AOEF相交于E(4,0)时,b=﹣8,
∴b的取值范围为2≤b≤4或﹣8≤b≤﹣4.
故答案为:
2≤b≤4或﹣8≤b≤﹣4.
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