上海市七年级数学第一学期第5讲乘法公式教师版.docx
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上海市七年级数学第一学期第5讲乘法公式教师版
上海市七年级数学第一学期
乘法公式
内容分析
本节课学习乘法公式,需要掌握会用文字和字母表示平方差公式、完全平方公式,知道平方差公式和完全平方公式的结构特征.理解平方差公式和完全平方公式中的字母,既可以表示数,又可以表示单项式或多项式等.做到能够理解补充的立方和、差公式以及完全立方公式.重点是在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式和完全平方公式.难点是在运用乘法公式时,逐步树立代换的思想,利用字母的意义,灵活进行乘法运算.
知识结构
模块一:
平方差公式
知识精讲
1.平方差公式
两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差,即:
(a+b)(a-b)=a2-b2.
2.公式变化
(1)位置变化:
(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)符号变化:
(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)=b2-a2.
(3)公式中的字母,可以表示具体的数字,可以表示单项式,也可以表示多项式.
例题解析
【例1】计算:
(1)(a+2)(a-2)=;
(2)(-x+2y)(x+2y)=;
(3)⎛0.1m-2n⎫⎛0.1m+2n⎫=;(4)(xn-y)(xn+y)=;
ç3⎪ç3⎪
⎝⎭⎝⎭
(5)(x-y+z)(-x+y+z)=z2-()2;(6)(4x-y)()=y2-16x2;
(7)(0.2a-3b)()=0.04a2-9b2.
【难度】★
【答案】
(1)a2-4;
(2)4y2-x2;(3)0.01m2-4n2;(4)x2n-y2;
9
(5)x-y;(6)-4x-y;(7)0.2a+3b.
【解析】略.
【总结】本题考察了平方差公式的运用.
【例2】如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形的面积,验证了公式.
a
a
a
bb
b
【难度】★
【答案】a2-b2=(a+b)(a-b).
【解析】略.
【总结】本题考察了用面积法推导基本公式.
【例3】对于任意整数n,能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是().
A.4B.3C.5D.2
【难度】★
【答案】C
【解析】原式=(n2-9)-(n2-4)=-5,
∴能被5整除,选择C.
【总结】本题考察了平方差公式.
【例4】若a-b=-3,a2-b2=9,求a+b的值.
【难度】★
【答案】-3.
【解析】
∴
(a+b)(a-b)=a2-b2,
a2-b2
a+b==-3.
a-b
【总结】本题考察了平方差公式.
【例5】若(a+2m)⎛a+1⎫的结果中不含关于a的一次项,那么m的值为().
ç2⎪
A.1
2
【难度】★★
【答案】D.
⎝⎭
B.-1
2
C.1
4
D.-1
4
【解析】a
1+2m=0
的系数是:
2
∴m=-1,故选D.
4
【总结】本题考察了多项式相乘及项与系数的概念.
【例6】简便计算:
(1)88⨯92;
(2)251⨯246;(3)20162-2015⨯2017.
77
【难度】★★
【答案】
(1)8096;
(2)62448;(3)1.
49
【解析】
(1)原式=(90-2)(90+2)=8100-4=8096;
(2)原式=(25+1)(25-1)=625-1=62448;
774949
(3)原式=20162-(2016-1)(2016+1)=20162-(20162-1)=1.
【总结】本题考察了用平方差公式进行简便运算.
【例7】计算:
(1)(2m+3n)(2m-3n)-(3m-2n)(3m+2n);
(2)(x+2)(x-2)(x2+4);
(3)(a2+b)(a2-b)-(-a)2⋅(-a2).
【难度】★★
【答案】
(1)-5m2-5n2;
(2)x4-16;(3)2a4-b2.
【解析】
(1)原式=4m2-9n2-(9m2-4n2)=-5m2-5n2;
(2)原式=(x2-4)(x2+4)=x4-16;
(3)原式=a4-b2+a4=2a4-b2.
【总结】本题考察了整式的混合运算.
【例8】解方程:
x(x-2)+(x-2)(x+2)=2(x-3)(x+3)-2.
【难度】★★
【答案】x=8.
【解析】x2-2x+x2-4=2x2-18-2
-2x=-16
x=8
【总结】本题考察了平方差公式在解方程中的应用.
【例9】已知(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,求a+b的值.
【难度】★★
【答案】±4.
【解析】(2a+2b)2-1=63
4(a+b)2=64
(a+b)2=16
a+b=±4
【总结】本题考察了平方差公式的应用.
ç2⎪4
【例10】计算:
4⋅⎛1x-1⎫⋅(4x2+1)⋅(2x+1).
⎝⎭
【难度】★★
【答案】16x4-1.
【解析】原式=(2x-1)(2x+1)(4x2+1)
=(4x2-1)(4x2+1)
=16x4-1
【总结】本题考察了平方差公式的应用.
【例11】已知(t+58)2=654481,求(t+48)(t+68)的值.
【难度】★★★
【答案】654381.
【解析】原式=(t+58-10)(t+58+10)
=(t+58)2-100
=654481-100
=654381.
【总结】本题考察了平方差公式的应用.
【例12】计算:
1002-992+982-972+···
【难度】★★★
【答案】5050.
+22-1.
【解析】原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)++(2+1)(2-1)
=100+99+98+97+
【总结】本题考察了平方差公式的应用.
=(100+1)100=5050.
+2+1
2
【例13】已知324-1可能被20至30之间的两个整数整除,求这两个整数.
【难度】★★★
【答案】26,28.
【解析】原式=(312+1)(312-1)
=(312+1)(36+1)(36-1)
=(312+1)(36+1)(33+1)(33-1),
∴原式可以被26,28整除.
【总结】本题考察了平方差公式的应用以及对整除的概念理解.
【例14】计算:
(1)(2+1)(22+1)(24+1)···(232+1)+1;
⎣⎦
(2)(x+1+x)⋅⎡⎣(x+1)2+x2⎤⎦⋅⎡(x+1)4+x4⎤.
【难度】★★★
【答案】
(1)264;
(2)(x+1)8-x8.
【解析】
(1)原式=(22-1)(22+1)(24+1)(232+1)+1
=264-1+1
=264;
(2)原式=(x+1+x)(x+1-x)[(x+1)2+x2][(x+1)4+x4]
=[(x+1)2-x2][(x+1)2+x2][(x+1)4+x4]
=[(x+1)4-x4][(x+1)4+x4]
=(x+1)8-x8.
【总结】本题主要考查了通过添项构造平方差公式的基本形式,综合性较强.
模块二:
完全平方公式
知识精讲
1.完全平方公式
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们积的两倍,
即:
(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2
与平方差公式一样,公式中的字母可以代表一个数字,可以代表一个单项式,也可以是一个多项式.
2.完全平方变形应用
(1)(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2;(a+b)2-(a-b)2=4ab;
(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab;(a-b)2=(a+b)2-4ab;
(3)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
(a+b)2-(a-b)2(a+b)2+(a-b)2
(4)ab=;a2+b2=.
42
3.完全平方公式推广应用
(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;
(2)(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2;
(3)(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2=2a2+2b2+2c2+2ab+2ac+2bc;
(4)(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc.
例题解析
【例15】填空:
2
⎛1⎫2
(1)(2a+3b)
=;
(2)çx-3y⎪
2
⎝⎭
=;
(3)(-a-2b2)2=;(4)(x+2y)(-x-2y)=;
(5)x2++16y2=(x+4y)2;(6)4a2+6ab+=(2a+)2;
(7)(3m-n)⋅()=n2-6mn+9m2.
【难度】★
【答案】
(1)4a2+12ab+9b2;
(2)1x2-3xy+9y2;(3)a2+4ab2+4b4;
4
(4)-x2-4xy-4y2;(5)8xy;(6)9b2;3b;(7)3m-n.
42
【解析】略.
【总结】本题考察了完全平方公式的运用.
【例16】填空.
(1)(a+b+c)2=;
(2)(2a-3b-c)2=;
ç
(3)⎛x-2y+
⎝
1⎫2
z⎪
3⎭
=;(4)(x2+3x+2)(x2-3x-2)=.
【难度】★
【答案】见解析.
【解析】
(1)原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;
(2)原式=4a2+9b2+c2-12ab+6bc-4ac;
(3)原式=x2+4y2+1z2-4xy-4yz+2xz;
933
(4)原式=x4-(3x+2)2=x4-9x2-12x-4.
【总结】本题考察了三项和的完全平方公式和平方差公式的运用.
【例17】填空:
(3a+2b)2-(3a-2b)2=.
【难度】★
【答案】24ab.
【解析】原式=(9a2+12ab+4b2)-(9a2-12ab+4b2)=24ab.
【总结】本题考察了完全平方公式的运用.
【例18】计算:
(1)(2x2-3)2-(3x-1)(3x+1);
(2)(a2-9)2-(3+a)(a2+9)(a-3);
(3)(2x+3y)
2+(2x-3y)2
;(4)⎛0.5a+
ç
⎝
1⎫2
b⎪
3⎭
-(0.5a-
1b)2.
3
【难度】★
【答案】见解析.
【解析】
(1)原式=4x4-12x2+9-(9x2-1)=4x4-21x2+10;
(2)原式=a4-18a2+81-(a4-81)=-18a2+162;
(3)原式=4x2+12xy+9y2+4x2-12xy+9y2=8x2+18y2;
(4)原式=1a2+1ab+1b2-1a2+1ab-1b2=2ab.
4394393
【总结】本题考察了完全平方公式的运用.
【例19】下列各式能用完全平方公式计算的有()个.
①(2a-3b)(3b-2a);②(-2a+3b)(-2a-3b);
③(2a-3b)(-3b+2a);④(2a-3b)(3a+2b).
A.1B.2C.3D.4
【难度】★
【答案】B
【解析】两个括号内各项都相等或都互为相反数,则适用于完全平方公式.两个括号内有些项相等,有些项互为相反数,则适用平方差公式.则①③适用于完全平方公式,选择B.
【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用.
).
【例20】若a-b=2,a-c=1,则(2a-b-c)2+(c-a)2的值是(
A.9B.10C.2D.1
【难度】★★
【答案】B
【解析】由已知得:
2a-b-c=a-b+a-c=3,
∴原式=9+1=10,选择B.
【总结】本题考察了完全平方公式的运用.
【例21】如果实数a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,那么().
A.a,b,c全相等B.a,b,c不全相等
C.a,b,c全不相等D.a,b,c可能相等,也可能不等
【难度】★★
【答案】A
【解析】化简得:
a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
1(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)=02
1[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0
2
∴a=b=c.
【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其运用.
【例22】已知a+b=1,a+c=2,b+c=3,则a2+b2+c2+ab+ac+bc=.
【难度】★★
【答案】7.
【解析】原式=1[(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2]
2
=1(1+4+9)=7.
2
【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其运用.
【例23】如果多项式x2+kx+1是一个完全平方式,那么k的值为.
9
【难度】★★
【答案】k=±2.
3
【解析】由已知得:
x2+kx+1=(x±1)2,∴k=±2.
933
【总结】本题考察了完全平方式的概念,注意两种情况的考虑.
【例24】若(7x-a)2=49x2-bx+9,则a+b=.
【难度】★★
【答案】45.
⎧a2=9
⎧a=3
⎨
⎧a=-3
【解析】由已知得:
⎨
⎩14a=b
,解得:
⎨
⎩b=42
或.
⎩b=-42
∴a+b=45.
【总结】本题考察了完全平方式的概念.
【例25】若m-n=1,m2+n2=51,则(mn)2013的值为.
525
【难度】★★
【答案】1.
【解析】由已知得:
(m-n)2=m2-2mn+n2=1,
25
∴2mn=(m2+n2)-(m-n)2=2,
∴mn=1,
∴(mn)2013=1.
【总结】本题考察了完全平方式的应用.
【例26】已知(a+b)2=36,(a-b)2=4,则ab=.
【难度】★★
【答案】8.
【解析】4ab=(a+b)2-(a-b)2=32,
∴ab=8.
【总结】本题考察了完全平方式的应用以及变形.
【例27】若a+b=7,ab=12,则a2-ab+b2的值为.
【难度】★★
【答案】13.
【解析】原式=(a+b)2-3ab=49-36=13.
【总结】本题考察了完全平方式的应用以及变形.
【例28】用简便方法运算:
(1)99.72;
(2)1.372+2⨯1.37⨯8.63+8.632;(3)9.62⨯10.42.
【难度】★★
【答案】
(1)9940.09;
(2)100;(3)9968.0256.
【解析】
(1)原式=(100-0.3)2=10000-60+0.09=9940.09;
(2)原式=(1.37+8.63)2=102=100;
(3)原式=(10-0.4)2(10+0.4)2
=(100-0.16)2
=10000-32+0.0256
=9968.00256.
【总结】本题考察了完全平方式在简便运算中的应用.
【例29】若m(m-1)-(m2-n)=6,求
【难度】★★
【答案】18.
m2+n2
2
-
mn的值.
【解析】化简得:
m2-m-m2+n=6,即:
m-n=-6,
∴原式=
(m-n)2
=36=18.
22
【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形.
【例30】
(1)已知(a-b)2=13,ab=3,求(a+b)2与3(a2+b2)
的值.
(2)已知a+b=4,a2+b2=10,求a2b2与(a-b)2的值.
【难度】★★
【答案】
(1)25,57;
(2)9,4.
【解析】
(1)(a+b)2=(a-b)2+4ab=13+12=25,
3(a2+b2)=3[(a-b)2+2ab]=3⨯19=57;
(2)2ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=16-10=6,
∴ab=3,∴a2b2=9.
∴(a-b)2=a2-2ab+b2=10-2ab=4.
【总结】本题考察了完全平方式的应用.
【例31】
(1)已知x2+y2+z2=a,xy+xz+yz=b,求(x+y)2+(x+z)2+(y+z)2的值;
(2)已知a2+b2+c2-bc-ac-ab=5,求(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2的值.
【难度】★★★
【答案】
(1)2a+2b;
(2)10.
【解析】
(1)原式=2(x2+y2+z2+xy+yz+xz)=2a+2b;
(2)原式=2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=10.
【总结】本题考察了完全平方式的应用.
【例32】已知(2018-x)(2016-x)=2017,求(2018-x)2+(2016-x)2的值.
【难度】★★★
【答案】4038.
【解析】原式=[(2018-x)-(2016-x)]2+2(2018-x)(2016-x)
=4+2⨯2017
=4038.
【总结】本题综合性较强,考察了完全平方式的应用,注意对题目的准确理解.
【例33】已知a-b=b-c=3,a2+b2+c2=1,求ab+ac+bc的值.
5
【难度】★★★
【答案】-2.
25
a2+b2
【解析】
+c2-ab-ac-bc=1[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],
2
∴1-ab-ac-bc=1(9+
9+36)
2252525
∴ab+ac+bc=1-27=-2.
2525
【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形.
【例34】
(1)已知x2+y2-2x-4y+5=0,求1(x-1)2-xy的值;
2
(2)试说明不论x、y取何值,代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数.
【难度】★★★
【答案】
(1)-2;
(2)略.
【解析】
(1)由已知,得:
(x-1)2+(y-2)2=0,所以x=1,y=2,原式=-2;
(2)原式=(x+3)2+(y-2)2+2,
(x+3)2≥0,(y-2)2≥0.
∴不论x、y取何值,代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数.
【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形,另外考察了利用完全平方公式的思想完成配方,从而说明代数式的值恒正,综合性较强.
【例35】
(1)已知x-1=6,求x2+
x
1的值;
x2
(2)已知x2+3x+1=0,求①x+1;②x2+
x
1;③x4+
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