高一数学人教A版必修2试题第二章平行垂直的证明.docx
- 文档编号:15194499
- 上传时间:2023-07-02
- 格式:DOCX
- 页数:112
- 大小:810.45KB
高一数学人教A版必修2试题第二章平行垂直的证明.docx
《高一数学人教A版必修2试题第二章平行垂直的证明.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高一数学人教A版必修2试题第二章平行垂直的证明.docx(112页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高一数学人教A版必修2试题第二章平行垂直的证明
第二章2.12.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1.若一直线a在平面α内,则正确的图形是( A )
[解析] 选项B、C、D中直线a在平面α外,选项A中直线a在平面α内.
2.如图所示,下列符号表示错误的是( A )
A.l∈α B.P∉l C.l⊂α D.P∈α
[解析] 观察图知:
P∉l,P∈α,l⊂α,则l∈α是错误的.
3.下面四个说法(其中A、B表示点,a表示直线,α表示平面):
①∵A⊂α,B⊂α,∴AB⊂α;
②∵A∈α,B∉α,∴AB∉α;
③∵A∉a,a⊂α,∴A∉α;
④∵A∈a,a⊂α,∴A∈α.
其中表述方式和推理都正确的命题的序号是( C )
A.①④ B.②③ C.④ D.③
[解析] ①错,应写为A∈α,B∈α;②错,应写为AB⊄α;③错,推理错误,有可能A∈α;④推理与表述都正确.
4.(2016~2017安徽蚌埠高二期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( D )
A.0 B.1
C.0或1 D.1或3
[解析] 当三条直线是同一平面内的平行直线时,确定一个平面,当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时,确定三个平面.
5.下列命题中,正确的是( B )
A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面
B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面
C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面
D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面
[解析] 因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心),因此经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面,故选B.
6.如图所示,平面α∩β=l,A、B∈α,C∈β且C∉l,AB∩l=R,设过A、B、C三点的平面为γ,则β∩γ等于( C )
A.直线AC B.直线BCC.直线CR D.以上都不对
[解析] 由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ=CR.
二、填空题
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有__5__条.
[解析] 如图,
由图可知,既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是__
(2)(3)(4)__(填序号).
(1)直线AC1在平面CC1B1B内.
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1.
(4)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面.
[解析]
(1)错误.如图所示,点A∉平面CC1B1B,所以直线AC1⊄平面CC1B1B.
(2)正确.如图所示.
因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C,O∈直线BD⊂平面BB1D1D,O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C,O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)(4)都正确,因为AD∥B1C1且AD=B1C1,
所以四边形AB1C1D是平行四边形,
所以A,B1,C1,D共面.
三、解答题
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点,求证:
(1)E、C、D1、F、四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
[解析]
(1)分别连接EF、A1B、D1C,
∵E、F分别是AB和AA1的中点,
∴EF∥A1B且EF=
A1B.
又∵A1D1綊B1C1綊BC,
∴四边形A1D1CB是平行四边形,
∴A1B∥CD1,从而EF∥CD1.
EF与CD1确定一个平面.
∴E、F、D1、C四点共面.
(2)∵EF綊
CD1,
∴直线D1F和CE必相交.设D1F∩CE=P,
∵D1F⊂平面AA1D1D,P∈D1F,∴P∈平面AA1D1D.
又CE⊂平面ABCD,P∈EC,∴P∈平面ABCD,
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点.
而平面ABCD∩平面AA1D1D=直线AD,
∴P∈直线AD(公理3),∴直线CE、D1F、DA三线共点.
B级 素养提升
一、选择题
1.空间中四点可确定的平面有( D )
A.1个 B.3个
C.4个 D.1个或4个或无数个
[解析] 当四个点在同一条直线上时,经过这四个点的平面有无数个;当这四个点为三棱锥的四个顶点时,可确定四个平面;当这四个点为平面四边形的四个顶点时,确定一个平面;当其中三点共线于l,另一点不在直线l上时,也确定一个平面,故选D.
2.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( D )
①P∈a,P∈α⇒a⊂α
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
[解析] 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;
a∩β=P时,②错;如图∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确,选D.
3.如图,α∩β=l,A∈α,C∈β,C∉l,直线AD∩l=D,过A、B、C三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过( D )
A.点A B.点B
C.点C,但不过点D D.点C和点D
[解析] A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C、D∈γ,且C、D∈β,故C,D在γ和β的交线上.
4.下列各图均是正六棱柱,P、O、R、S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( D )
[解析] 在选项A、B、C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥OR,即在此三个图形中P、O、R、S共面,故选D.
二、填空题
5.若直线l与平面α相交于点O、A、B∈l、C、D∈α,且AC∥∥BD,则O、C、D三点的位置关系是__共线__.
[解析] ∵AC∥BD,
∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.
∵l∩α=O,∴O∈α.
又∵O∈AB⊂β,
∴O∈直线CD,∴O、C、D三点共线.
6.已知α、β是不同的平面,l、m、n是不同的直线,P为空间中一点.若α∩β=l,m⊂α、n⊂β、m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为__P∈l__.
[解析] 因为m⊂α,n⊂β,m∩n=P,所以P∈α且P∈β.又α∈β=l,所以点P在直线l上,所以P∈l.
C级 能力拔高
1.如图,在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC的延长线交于点K.
求证:
M、N、K三点共线.
[解析] ∵M∈PQ,直线PQ⊂平面PQR,
M∈BC,直线BC⊂平面BCD,
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,
∴M在平面PQR与平面BCD的交线上.
同理可证,N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上.
∴M、N、K三点共线.
2.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出直线l的位置;
(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.
[解析]
(1)延长DM交D1A1的延长线于E,连接NE,则NE即为直线l的位置.
(2)∵M为AA1的中点,AD∥ED1,
∴AD=A1E=A1D1=a.
∵A1P∥D1N,且D1N=
a,
∴A1P=
D1N=
a,
于是PB1=A1B1-A1P=a-
a=
a.
第二章2.12.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1.异面直线是指( D )
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
[解析] 对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面.∴A应排除.
对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可异面,如右图,就是相交的情况,∴B应排除.
对于C,如右图的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除.只有D符合定义.∴应选D.
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有( C )
A.3条 B.4条 C.6条 D.8条
[解析] 与AC1异面的棱有:
A1D1,A1B1,DD1,CD,BC,BB1共6条.
3.若a、b是异面直线,b、c是异面直线,则( D )
A.a∥c B.a、c是异面直线
C.a、c相交 D.a、c平行或相交或异面
[解析] 例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取AB,CD所在直线分别为a,c,B1C1所在直线为b,满足条件要求,此时a∥c;又取AB,BC所在直线分别为a,c,DD1,所在直线为b,也满足题设要求,此时a与c相交;又取AB,CC1所在直线分别为a,c,A1D1所在直线为b,则此时,a与c异面.故选D.
4.过直线l外两点可以作l的平行线条数为( D )
A.1条 B.2条 C.3条 D.0条或1条
[解析] 以如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1为例.
令A1B1所在直线为直线l,过l外的两点A、B可以作一条直线与l平行,过l外的两点B、C不能作直线与l平行,故选D.
5.空间四边形ABCD中,E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为( A )
A.30° B.45° C.60° D.90°
[解析] 取AD的中点H,连FH、EH,在△EFH中∠EFH=90°,
HE=2HF,从而∠FEH=30°,故选A.
6.下列命题中,正确的结论有( B )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] ②④是正确的.
二、填空题
7.已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,若
=
=
,
=
=
,则四边形EFGH形状为__梯形__.
[解析] 如右图
在△ABD中,∵
=
=
,
∴EH∥BD且EH=
BD.
在△BCD中,∵
=
=
,
∴FG∥BD且FG=
BD,∴EH∥FG且EH>FG,
∴四边形EFGH为梯形.
8.已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,M、N分别为CD、AD的中点,则MN与A′C′的位置关系是__平行__.
[解析] 如图所示,MN綊
AC,
又∵AC綊A′C′,
∴MN綊
A′C′.
三、解答题
9.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.
求证:
∠NMP=∠BA1D.
[解析] 如图,连接CB1、CD1,∵CD綊A1B1,
∴四边形A1B1CD是平行四边形,
∴A1D∥B1C.
∵M、N分别是CC1、B1C1的中点,
∴MN∥B1C,∴MN∥A1D.
∵BC綊A1D1,∴四边形A1BCD1是平行四边形,
∴A1B∥CD1.
∵M、P分别是CC1、C1D1的中点,∴MP∥CD1,
∴MP∥A1B,
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反,
∴∠NMP=∠BA1D.
B级 素养提升
一、选择题
1.若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等,则a、b的位置关系是( D )
A.异面 B.平行
C.相交 D.三种关系都有可能
[解析] 以正方体ABCD-A1B1C1D1为例.
A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等,A1B1∥AB;A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等,A1B1与BC是异面直线;AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等,AB与BC相交,故选D.
2.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( D )
A.梯形 B.矩形C.平行四边形 D.正方形
[解析] ∵E、F、G、H分别为中点,如图.
∴FG綊EH綊
BD,
HG綊EF綊
AC,
又∵BD⊥AC且BD=AC,
∴FG⊥HG且FG=HG,∴四边形EFGH为正方形.
3.点E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点,AB=6,PC=8,EF=5,则异面直线AB与PC所成的角为( D )
A.60° B.45° C.30° D.90°
[解析] 如图,取PB的中点G,连结EG、FG,则
EG綊
AB,GF綊
PC,则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角,在△EFG中,EG=
AB=3,FG=
PC=4,EF=5,所以∠EGF=90°.
4.如图所示,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M、N分别为AB、CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN等于( A )
A.5 B.6C.8 D.10
[解析] 如图,取AD的中点P,连接PM、PN,则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°,PN=
AC=4,PM=
BD=3,∴MN=5.
二、填空题
5.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有__1__条.
[解析] 与AD1异面的面对角线分别为:
A1C1、B1C、BD、BA1、C1D,其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
6.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB∥CM;
②EF与MN是异面直线;
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为__①②__.
[解析] 把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①②正确.
C级 能力拔高
1.已知空间四边形ABCD中,AB≠AC,BD=BC,AE是△ABC的边BC上的高,DF是△BCD的边BC上的中线,求证:
AE与DF是异面直线.
[解析] 由已知,得E、F不重合.
设△BCD所在平面为α,
则DF⊂α,A∉α,E∈α,E∉DF,
∴AE与DF异面.
2.梯形ABCD中,AB∥CD,E、F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置,G、H分别为AD′和BC′的中点,求证:
四边形EFGH为平行四边形.
[解析] ∵梯形ABCD中,AB∥CD,
E、F分别为BC、AD的中点,
∴EF∥AB且EF=
(AB+CD),
又C′D′∥EF,EF∥AB,∴C′D′∥AB.
∵G、H分别为AD′、BC′的中点,
∴GH∥AB且GH=
(AB+C′D′)=
(AB+CD),
∴GH綊EF,∴四边形EFGH为平行四边形.
第二章2.12.1.32.1.4
A级 基础巩固
一、选择题
1.正方体的六个面中相互平行的平面有( B )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
[解析] 正方体的六个面中有3对相互平行的平面.
2.三棱台ABC-A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是( A )
A.相交B.平行
C.直线在平面内D.平行或直线在平面内
[解析] 由棱台的定义知,棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点,而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定,故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交.
3.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是( D )
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
[解析] 如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,A1D1∥平面AC,有A1B1∩A1D1=A1;又D1C1∥平面AC,有A1B1∥D1C1;取BB1和CC1的中点M、N,则MN∥B1C1,则MN∥平面AC,有A1B1与MN异面,故选D.
4.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( D )
A.唯一一条直线不相交B.仅两条相交直线不相交
C.仅与一组平行直线不相交D.任意一条直线都不相交
[解析] 根据直线和平面平行定义,易知排除A、B.对于C,仅有一组平行线不相交,不正确,应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交,才能保证直线a与平面α平行,∴D正确.
5.平面α∥平面β,直线a∥α,则( D )
A.a∥β B.a在面β上C.a与β相交 D.a∥β或a⊂β
[解析] 如图
(1)满足a∥α,α∥β,此时a∥β;
如图
(2)满足a∥α,α∥β,此时a⊂β,故选D.
6.设P是异面直线a,b外一点,则过P与a,b都平行的直线有( )条( C )
A.1 B.2 C.0 D.0或1
[解析] 反证法.若存在直线c∥a,且c∥b,则a∥b与a,b异面矛盾.故选C.
二、填空题
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系:
(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是__平行__;
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是__相交__.
8.两个不重合的平面可以把空间分成__三或四__部分.
[解析] 两平面平行时,把空间分成三部分.两平面相交时,把空间分成四部分.
三、解答题
9.如图所示,直线A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系?
平面A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的其余五个面的位置关系如何?
[解析] ∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点,
∴直线A′B在平面ABB′A′内.
∵直线A′B与平面ABCD,平面BCC′B′都有且只有一个公共点B,
∴直线A′B与平面ABCD,平面BCC′B′相交.
∵直线A′B与平面ADD′A′,平面A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′,
∴直线A′B与平面ADD′A′,平面A′B′C′D′相交.
∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点,
∴直线A′B与平面DCC′D′平行.
平面A′B∥平面CD′,
平面A′B与平面AD′、平面BC′、平面AC平面A′C′都相交.
10.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?
证明你的结论.
[解析] 平面ABC与平面β的交线与l相交.
证明:
∵AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,
∴AB与l一定相交.设AB∩l=P,
则P∈AB,P∈l.
又∵AB⊂平面ABC,l⊂β,
∴P∈平面ABC,P∈β.
∴点P是平面ABC与平面β的一个公共点,而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点,且P,C是不同的两点,
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线.
即平面ABC∩平面β=PC,而PC∩l=P,
∴平面ABC与平面β的交线与l相交.
B级 素养提升
一、选择题
1.直线a在平面γ外,则( D )
A.a∥γ B.a与γ至少有一个公共点
C.a∩γ=A D.a与γ至多有一个公共点
[解析] 直线α在平面γ外,包括两种情况,一种是平行,另一种相交,故选D.
2.若平面α∥平面β,则( A )
A.平面α内任一条直线与平面β平行
B.平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行
C.平面α内存在一条直线与平面β不平行
D.平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交
3.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( C )
A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
[解析] 垂直于交线的截面如图,把空间分成7部分,故选C.
4.如图所示,用符号语言可表示为( D )
A.α∩β=l B.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄α D.α∥β,l⊂α
[解析] 由图可知,α∥β,l⊂α.
二、填空题
5.下列命题正确的有__①⑤__.
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;
⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;
⑥若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b.
[解析] ①显然是正确的;②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的;③中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以③是错误的;④中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以④是错误的;⑤中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以⑤是正确的;⑥中,分别在两个平行平面内的直线可以平行,也可以异面,所以⑥是错误的.
6.将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后,可将空间分成__27__部分.
C级 能力拔高
1.已知三个平面α、β、γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c⊂β,c∥b.
(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;
(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.
[解析]
(1)c∥α,因为α∥β,所以α与β没有公共点.又c⊂β,所以c与α无公共点,所以c∥α.
(2)c∥a,因为α∥β,所以α与β没有公共点.又γ∩α=a,γ
∩β=b,则a⊂α,b⊂β,且a、b⊂γ,所以a、b没有公共点.由于a,b都在平面γ内,因此a∥b.又c∥b,所以c∥a.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中点,画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线,并说明理由.
[解析] 如图,取AB的中点F,连接EF、A1B、CF.
∵E是AA1的中点,∴EF∥A1B.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形.
∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1.
∴E、F、C、D1四点共面.
∵E∈平面ABB1A1,E∈平面D1CE,
F∈平面ABB1A1,F∈平面D1CE,
∴平面ABB1A1∩平面D1CE=EF.
∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
第二章2.22.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1.圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( A )
A.平行 B.相交C.在平面内 D.不确定
[解析] 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点,则
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高一数 学人 必修 试题 第二 平行 垂直 证明
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)