高三数学二轮复习161直线与圆课时巩固过关练理新人教版.docx
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高三数学二轮复习161直线与圆课时巩固过关练理新人教版
2019-2020年高三数学二轮复习1.6.1直线与圆课时巩固过关练理新人教版
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(xx·衡水一模)已知圆x2+y2+mx-=0与抛物线y=x2的准线相切,则m=
( )
A.±2 B.± C. D.
【解析】选B.抛物线的准线为y=-1,
将圆化为标准方程+y2=,
圆心到直线的距离为1=⇒m=±.
2.(xx·长春一模)若动点A,B分别在直线l1:
x+y-7=0和l2:
x+y-5=0上运动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为 ( )
A. B.2C.3 D.4
【解析】选C.由题意知AB的中点M的集合为到直线l1:
x+y-7=0和l2:
x+y-5=0的距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.
l1,l2间的距离为=.
原点到l2的距离为=,
所以点M到原点的距离最小值为+=3.
3.(xx·承德二模)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 ( )
A.-或- B.-或-
C.-或- D.-或-
【解析】选D.由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为:
y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
又因为光线与圆相切,圆心为(-3,2),
所以=1.
整理得12k2+25k+12=0,解得:
k=-或k=-.
4.(xx·湘潭二模)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R且ab≠0,则+的最小值为 ( )
A.1 B.3 C. D.
【解析】选A.x2+y2+2ax+a2-4=0即(x+a)2+y2=4,
x2+y2-4by-1+4b2=0即x2+(y-2b)2=1,
依题意可得,两圆外切,则两圆心距离等于两圆的半径之和,则=1+2=3,即a2+4b2=9,
所以+=
=
≥=1,
当且仅当=,即a=±2b时取等号.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(xx·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.
【解析】设C(a,0)(a>0),由题意知=,解得a=2,所以r==3,故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
答案:
(x-2)2+y2=9
6.(xx·长沙二模)若直线l1:
y=x+a和直线l2:
y=x+b将圆(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.
【解析】由题意得直线l1:
y=x+a和直线l2:
y=x+b截得圆的弦所对圆周角相等,皆为直角,因此圆心到两直线距离皆为r=2,
即==2⇒a2+b2=(2+1)2+(-2+1)2=18.
答案:
18
三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)
7.(xx·南昌一模)已知圆C:
x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5).
(1)求过点A的圆的切线方程.
(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.
【解析】
(1)由圆C:
x2+y2-4x-6y+12=0,配方,
得(x-2)2+(y-3)2=1,圆心C(2,3).
当斜率存在时,设过点A的圆的切线方程为y-5=k(x-3),
即kx-y+5-3k=0.
由d==1,得k=.
又斜率不存在时直线x=3也与圆相切,
故所求切线方程为x=3或3x-4y+11=0.
(2)直线OA的方程为y=x,即5x-3y=0,
点C到直线OA的距离为d==,
又|OA|==,所以S=|OA|d=.
8.(xx·洛阳一模)已知点P(0,5)及圆C:
x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程.
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
【解析】
(1)如图所示,
|AB|=4,
将圆C方程化为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,
所以圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,
设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,
所以|AD|=2,|AC|=4.C点坐标为(-2,6).
在Rt△ACD中,可得|CD|=2.
若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式:
=2,得k=.
故直线l的方程为3x-4y+20=0.
直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.
所以所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),
则CD⊥PD,即·=0,
所以(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,
化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.
【误区警示】在本题
(1)的求解中不可忽视直线l斜率的存在性,在由距离公式求出一个k时应考虑直线斜率不存在的情况,否则会造成漏解.
【加固训练】(xx·新乡二模)已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切.
(1)求圆O的方程.
(2)圆O与x轴交于E,F两点,圆O内的动点D使得|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,求·的取值范围.
【解析】
(1)圆M的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,
故圆心M(1,1),半径R=2.
圆O的圆心为O(0,0),因为|MO|=<2,
所以点O在圆M内,故圆O只能内切于圆M.
设圆O的半径为r,因为圆O内切于圆M,
所以|MO|=R-r,即=2-r,解得r=.
所以圆O的方程为x2+y2=2.
(2)不妨设E(m,0),F(n,0),且m 由 解得或 故E(-,0),F(,0). 设D(x,y),由|DE|,|DO|,|DF|成等比数列, 得|DE|·|DF|=|DO|2, 即·=x2+y2, 整理得x2-y2=1. 而=(--x,-y),=(-x,-y), 所以·=(--x)(-x)+(-y)(-y) =x2+y2-2=2y2-1. 由于点D在圆O内,故有得y2<, 所以-1≤2y2-1<0,即·∈[-1,0). (30分钟 55分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.直线l1: ax-y-3=0,l2: 2x+by+c=0,则ab=-2是l1∥l2的 ( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.当ab=-2且c=3时,l1与l2重合,而l1∥l2时一定有ab-2×(-1)=0,即ab=-2,所以ab=-2是l1∥l2的必要不充分条件. 【加固训练】设向量a=(a,1),b=(1,b)(ab≠0),若a⊥b,则直线b2x+y=0与直线 x-a2y=0的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交且垂直 C.相交但不垂直 D.重合 【解析】选B.由题意知两直线都经过点(0,0), 因为a⊥b,所以a·b=a+b=0,所以a=-b, 由于直线b2x+y=0的斜率为-b2,直线x-a2y=0的斜率为,则(-b2)·=-1,故两直线垂直. 2.已知直线l: x·cosα+y·sinα=2(α∈R),圆C: x2+y2+2cosθ·x+2sinθ·y=0(θ∈R),则直线l与圆C的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相离 【解析】选D.x2+y2+2cosθ·x+2sinθ·y=(x+cosθ)2+(y+sinθ)2=1,所以圆的圆心坐标为(-cosθ,-sinθ),半径为1,则直线到圆心的距离为d= =|2+cos(α-θ)|∈[1,3],所以直线l与圆C的位置关系是相切或相离. 3.命题p: 0 圆(x-3)2+(y-5)2=r2(r>0)上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则q是p的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题导引】先求出圆心到直线的距离,因为到直线4x-3y=2的距离等于1有两条,数形结合可得答案. 【解析】选A.因为圆心(3,5)到直线4x-3y=2的距离等于1,所以圆(x-3)2+ (y-5)2=r2上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1时,0 【加固训练】动圆C经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切,若动圆C与直线y=x+2+1总有公共点,则圆C的面积 ( ) A.有最大值8π B.有最小值2π C.有最小值3π D.有最小值4π 【解析】选D.由题意圆C的圆心在以F为焦点, 以x=-1为准线的抛物线上,抛物线方程为y2=4x. 因为与直线y=x+2+1总有公共点,所以圆C的面积有最小值,最小半径为抛物线上的点到直线的距离的最小值. 设与直线y=x+2+1平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+t, 由得y2-4y+4t=0,由Δ=0得t=1. 所以直线y=x+1与y=x+2+1间的距离=2即为最小半径. 所以圆C的最小面积为4π. 4.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O为坐标原点,且有|+|≥||,则k的取值范围是 ( ) A.(,+∞)B.[,2) C.[,+∞)D.[,2) 【解析】选B.由已知得圆心到直线的距离小于半径,即<2, 由k>0得0 如图, 又由|+|≥||得 |OM|≥|BM|⇒∠MBO≥, 因为|OB|=2,所以|OM|≥1, 故≥1⇒k≥, ② 综合①②得≤k<2. 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知直线x+y-a=0与圆x2+y2=2交于A,B两点,O是坐标原点,向量,满足|2-3|=|2+3|,则实数a的值为________. 【解析】由|2-3|=|2+3|得 ·=0,即OA⊥OB,则直线x+y-a=0过圆x2+y2=2与x轴、y轴正半轴或负半轴的交点,故a=±. 答案: ± 【加固训练】已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,且与直线l2: 3x+4y-6=0平行,则直线l1的方程是________. 【解析】依题意,设所求直线l1的方程是3x+4y+b=0,则由直线l1与圆x2+(y+1)2=1相切,可得圆心(0,-1)到直线3x+4y+b=0的距离为1,即有=1,解得b=-1或b=9.因此,直线l1的方程是3x+4y-1=0或3x+4y+9=0. 答案: 3x+4y-1=0或3x+4y+9=0 6.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且=6,则圆C的方程为________. 【解题导引】先求圆心坐标,再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离,最后根据勾股定理求圆的半径. 【解析】设所求圆的半径为r,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),则圆C的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==1, 故圆C的方程是x2+(y-1)2=10. 答案: x2+(y-1)2=10 【加固训练】已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是________. 【解析】依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2, 因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2, 直线AB的方程是-+=1,即x-y+2=0, 圆心(1,0)到直线AB的距离等于=, 点P到直线AB的距离的最大值是+1, △PAB面积的最大值为×2×=3+. 答案: 3+ 三、解答题(7题12分,8题13分,共25分) 7.已知半径为2,圆心在直线y=-x+2上的圆C. (1)当圆C经过点A(2,2),且与y轴相切时,求圆C的方程. (2)已知E(1,1),F(1,-3),若圆C上存在点Q,使|QF|2-|QE|2=32,求圆心的横坐标a的取值范围. 【解析】 (1)因为圆心在直线y=-x+2上,半径为2, 所以可设圆的方程为(x-a)2+[y-(-a+2)]2=4, 其圆心坐标为(a,-a+2). 因为圆C经过点A(2,2),且与y轴相切, 所以有 解得a=2, 所以圆C的方程是(x-2)2+y2=4. (2)设Q(x,y),由|QF|2-|QE|2=32, 得(x-1)2+(y+3)2-[(x-1)2+(y-1)2]=32, 解得y=3,所以点Q在直线y=3上. 又因为点Q在圆C: (x-a)2+[y-(-a+2)]2=4上, 所以圆C与直线y=3必须有公共点. 因为圆C的圆心的纵坐标为-a+2,半径为2, 所以圆C与直线y=3有公共点的充要条件是1≤-a+2≤5, 即-3≤a≤1. 所以圆心的横坐标a的取值范围是[-3,1]. 8.已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为☉H. (1)若直线l过点C,且被☉H截得的弦长为2,求直线l的方程. (2)对于线段BH上的任意一点P,若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,求☉C的半径r的取值范围. 【解析】 (1)线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为 x+y-3=0,所以外接圆圆心为H(0,3),半径为=, ☉H的方程为x2+(y-3)2=10. 设圆心H到直线l的距离为d, 因为直线l被☉H截得的弦长为2,所以d==3. 当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求; 当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y-2=k(x-3), 则=3,解得k=,直线l的方程为4x-3y-6=0. 综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0. (2)直线BH的方程为3x+y-3=0, 设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y), 因为点M是线段PN的中点,所以M, 又M,N都在半径为r的☉C上, 所以 即 因为此关于x,y的方程组有解, 即以(3,2)为圆心,r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r为半径的圆有公共点, 所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2, 又3m+n-3=0, 所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对∀m∈[0,1]成立. 而f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域为, 故r2≤且10≤9r2. 又线段BH与圆C无公共点, 所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2对∀m∈[0,1]成立, 即r2<. 故☉C的半径r的取值范围为. 【加固训练】已知过原点的动直线l与圆C1: x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标. (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程. (3)是否存在实数k,使得直线l: y=k(x-4)与曲线C只有一个交点? 若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】方法一: (1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4, 所以圆C1的圆心坐标为(3,0). (2)设M(x,y),因为点M为弦AB的中点,即C1M⊥AB, 所以·kAB=-1,即·=-1, 所以线段AB的中点M的轨迹的方程为 +y2=. (3)由 (2)知点M的轨迹是以C为圆心,r=为半径的部分圆弧EF(如图所示,不包括两端点), 且E,F, 又直线l: y=k(x-4)过定点D(4,0), 当直线l与圆C相切时,由=得k=±, 又kDE=-kDF=-=, 结合上图可知当k∈∪[-,]时, 直线l: y=k(x-4)与曲线C只有一个交点. 方法二: (1)把圆C1的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=4, 所以圆C1的圆心坐标为C1(3,0). (2)设M(x,y),因为A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点, 所以由圆的性质知: MC1⊥MO,所以·=0. 又因为=(3-x,-y),=(-x,-y), 所以由向量的数量积公式得x2-3x+y2=0. 易知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=mx, 当直线l与圆C1相切时,d==2, 解得m=±. 把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2-30x+25=0,解得x=. 当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0). 又因为直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点, 所以 所以点M的轨迹C的方程为x2-3x+y2=0,其中 (3)由题意知直线l表示过定点(4,0),斜率为k的直线,把直线l的方程代入轨迹C的方程x2-3x+y2=0,其中 化简得(k2+1)x2-(3+8k2)x+16k2=0,其中 记f(x)=(k2+1)x2-(3+8k2)x+16k2,其中 若直线l与曲线C只有一个交点,令f(x)=0. 当Δ=0时,解得k2=,即k=±,此时方程可化为25x2-120x+144=0,即(5x-12)2=0, 解得x=∈,所以k=±满足条件. 当Δ>0时, ①若x=3是方程的解,则f(3)=0⇒k=0⇒另一根为x=0<,故在区间上有且仅有一个根,满足题意. ②若x=是方程的解,则f=0⇒k=±⇒另外一根为x=,<≤3,故在区间上有且仅有一个根,满足题意. ③若x=3和x=均不是方程的解,则方程在区间上有且仅有一个根,只需f·f(3)<0⇒- 综上所述,k的取值范围是-≤k≤或k=±.
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