函数的基本性质48672.docx
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函数的基本性质48672
一、函数的单调性及单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 那么就说f(x)在这个区间上是增函数。 相反地,如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 2、函数单调性的判断与证明 1.函数单调性定义: 对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D, 当x1 当x1 三、函数单调性的性质 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x1、x2∈D,且x1 (2) 导数法: 设函数y=f(x)在某区间D内可导.如果f ′(x)>0,则f(x)在区间D内为增函数;如果f ′(x)<0,则f(x)在区间D内为减函数. 四、复合函数的单调性 五、函数的最值及其几何意义(无) 六、奇函数 如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 1、奇函数图象关于原点 对称。 2、奇函数的定义域必须关于原点 对称,否则不能成为奇函数。 3、若 为奇函数,且在x=0处有意义,则 7、偶函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x,都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 偶函数的定义域必须关于y轴对称,否则不能称为偶函数。 八、函数奇偶性的判断 先看定义域是否关于原点对称,如果不是关于原点对称,则函数没有奇偶性 若定义域关于原点对称,则f(-x)=f(x),f(x)是偶函数f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数 九、函数奇偶性的性质 十、奇偶函数图像的对称性 十一、奇偶性与单调性的综合 一、函数的单调性及单调区间 1、下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是( ) A.y=-|x| B.y=x2-2 C.y=-(x-1) D.y=-1/x 2、函数y=6/x 的减区间是( ) A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0),(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞) 3、函数y=|x+1|的单调递增区间为________,单调递减区间为________. 4、在下面的四个选项中,( )不是函数f(x)=x2-1的单调减区间. A.(-∞,-2)B.(-2,-1)C.(-1,1)D.(-∞,0) 5、函数y=x2+1的单调递增区间是________。 二、函数单调性的判断与证明 1、设x1,x2∈[a,b],如果f(x1)−f(x2)/(x1−x2)>0,则f(x)在[a,b]上是单调( )函数. A.增B.减C.奇D.偶 2、下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是() A.y=2x+1,B,y=3*x²+1,C,y=2/xDy=|x| 3、下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是( ). A.y=- B.y=x C.y=x 2 D.y=1-x 4、下列函数中,既是偶函数、又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=xB.y=|x|C.y=-x2+1D.y=−1/x 5、已知函数f(x)=3/x,则它在下列区间上不是减函数的是( ) A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(1,+∞) 三、函数单调性的性质 1、若函数f(x)=kx+3在R上是增函数,则k的取值范围是______. 2、y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是______. 3、若(a,b)是函数y=f(x)的单调增区间,x1,x2∈(a,b),且x1<x2,则有( ) A.f(x1)>f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)<f(x2)D.以上都有可能 4、函数f(x)=x分之1在[1,正无穷)上() A: 有最大值无最小值B: 有最小值无最大值c: 有最大值也有最小值D无最大值也无最小值 5、若函数y=f(x)定义在[-3,4]上的递增函数,且f(2m)>f(m-1),则实数m的取值范围是( ) A.(-1,2]B.(-1,+∞)C.(-1,4]D.[-1,+∞) 四、复合函数的单调性 1、函数f(x)=根号(3-2x-x^2)的单调增区间为___ 2、函数f(x)=根号x^2+4x的单调增区间为__ 3、函数f(x)=根号x^2-2x-3的单调增区间___ 4、函数y=根号(-x^2+4x-3)的单调增区间___ 5、函数f(x)=根号3-2x-x^2的单调增区间为 五、函数的最值及其几何意义 1、求函数y=x(1-3x)(0<x<1/3)的最大值 2、函数y=|x-1|+2的最小值点是 3、已知函数f(x)=根号下2x+1, (1)判断函数f(x)的单调性,并证之. (2)求函数f(x)=根号下2x+1的最值. 4、函数y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值a2,则实数a的取值范围是( ) A.0≤a≤1B.0≤a≤2C.-2≤a≤0D.-1≤a≤0 六、奇函数 1、下列函数是奇函数的是( ) A.y=|x|B.y=3-x D.y=-x2+4 2、奇函数f(x)在区间【1,4】上是减函数则它在区间【-4,-1】上是增函数还是减函数 3、若f(x)是以4为周期的奇函数,且f(-1)=a,(a≠0),则f(5)的值等于 4、已知f(x)是R上的奇函数,则f(0)的值为 5、若奇函数f(x)满足f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3),则f(3/2)= 七、偶函数 1、定义在R上的偶函数f(x)对于任意的x∈R都有f(2+x)=-f(2-x),且f(-3)=-2,则f(2009)的值为______ 2、已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,对x∈R都有f(2+x)=f(2-x),当f(-3)=-2时,f(2013)的值为( ) A.-2B.2C.4D.-4 3、 4、设函数f(x)定义在R上,且f(x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数,则f(2003)=( ) A.1B.0C.2003D.-2003 八、函数奇偶性的判断 1、下列函数中不是奇函数的一个是() Ay=xBy=1/xCy=x+1Dy=x3 2、下列哪个函数能满足f(x)+f(-x)=0( ) A.f(x)=-x2+1B.f(x)=|x|C.f(x)=2x-1D.f(x)=x+1 3、 4、 九、函数奇偶性的性质 1、函数f(x)=ax^3+bx+2,若f(100)=8,则f(-100)= 2、已知函数F(x)=ax^3+bx-2,若f(2008)=10,则f(-2008)的值为多少 3、奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=______. 4、已知函数f(x)=ax^3-bx-1,若f(3)=-2,则f(-3)=__ 5、已知函数f(x)=ax3-bx+1,a,b∈R,若f(-2)=-1,则f (2)=______. 十、奇偶函数图像的对称性 1、函数f(x)=x3+x的图象关于( ) A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称 2、函数f(x)=x3的图象关于( ) A.y轴对称B.坐标原点对称C.直线y=x对称D.直线y=-x对称 3、函数f(x)=2x-1/x的图象关于( ) A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.y=x对称 4、已知函数y=f(x),在同一坐标系里,函数y=f(1+x)和y=f(1-x)的图象关于直线______对称 十一、奇偶性与单调性的综合 1、若f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,又f(-2)=0,求x•f(x)<0的解集. 2、已知定义域为R的函数f(x)在区间(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数 Af (2)>f(3)Bf (2)>f(5)Cf(3)>f(5)Df(3)>f(6) 答案 一、函数的单调性及单调区间 1、选项A,y=-|x|, 当x≤0时,y=x,在区间(-∞,0]内单调递增,符合题意; 选项B,y=x2-2,抛物线开口向上,对称轴x=0, 在区间(-∞,0]内单调递减,不符合题意; 选项C,y=-(x-1)=-x+1, 在区间(-∞,+∞)内单调递减,不符合题意; 选项D,y=-1/x ,x≠0,图象在第二、四象限, 在区间(-∞,0)内单调递减,不符合题意; 故选A. 2、∵函数y=6/x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 其图象过第一三象限, 图象的形状为双曲线, 且每一段都是下降的, 故函数y=6/x 的减区间是(-∞,0),(0,+∞), 故选: C D意思在这两个区间是单调减,c的意思是在这两个区间分别是单调减 3、答案: [-1,+∞),(-∞,-1] 4、函数f(x)=x2-1的图象是开口方向朝上, 以y轴为对称轴的抛物线 故其在区间(-∞,0]上为减函数,在区间[0,+∞)上为增函数; ∵(-∞,-2)⊊(-∞,0],∴(-∞,-2)是函数f(x)=x2-1的单调减区间. ∵(-2,-1)⊊(-∞,0],∴(-2,-1)是函数f(x)=x2-1的单调减区间. ∵(-1,1)⊈(-∞,0],∴(-1,1)不是函数f(x)=x2-1的单调减区间. ∵(-∞,0)⊊(-∞,0],∴(-∞,0)是函数f(x)=x2-1的单调减区间. 故选C 5、函数y=x的平方+1的单调递增区间是〖0,+∞) 二、函数单调性的判断与证明 1、由题意可得: 当x1<x2时,x1-x2<0, 结合 f(x1)−f(x2) x1−x2 >0可得f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),可得函数单调递增; 同理,当x1>x2时,x1-x2>0, 结合 f(x1)−f(x2) x1−x2 >0可得f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),可得函数单调递增; 综上可得函数在[a,b]上单调递增, 故选A 2、选C A是一次函数,因为k=2>0,所以在区间(0,+∞)是增函数 B是二次函数,因为a=3>0,所以在区间(0,+∞)是增函数 C是反比例函数,因为k=2>0,所以在区间(0,+∞)是减函数 D在区间(0,+∞)上实际是正比例函数y=x,所以是增函数 3、 A: B: 增函数;C: 二次函数 在对称轴y轴右侧是增函数;D: 一次函数 是减函数。 故选D 4、y=x为一次函数,斜率为1,故在(0,+∞)上单调递增,根据奇函数的定义可知,y=x为奇函数,故A选项不符合题意; y=|x|为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,故B选项符合题意; y=-x2+1为偶函数,但在(0,+∞)上单调递减,故C选项不符合题意; y=- 1 x 为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,故D选项不符合题意. 故选B. 5、 函数f(x)= 3 x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 由反比例函数的单调性知: f(x)的单调减区间为: (-∞,0),(0,+∞),无增区间, 所以选项A,B,D都是减区间,而C,可通过特殊值验证: 比如: x1=-1,x2=1,有x1<x2,但f(x1)<f(x2), 故选: C. 三、函数单调性的性质 1、∵函数f(x)=kx+3在R上是增函数, ∴其一次系数大于0, ∴k>0, 故答案为: k>0. 2、y=f(x)在R上为增函数, 且f(2m)>f(-m+9), 则2m>-m+9, 解得,m>3, 故答案为: (3,+∞). 3、∵函数y=f(x)在(a,b)上单调递增, ∴由增函数的定义可得,当x1,x2∈(a,b),且x1<x2时,f(x1)<f(x2). 故选C. 4、f(1/x)在x>=1单调减,最大值为f (1)=1, 而当x为无穷时,f(x)趋于0,但不能取到0,因此没有最小值. 选A 5、根据题意,对于f(2m)>f(m-1), 由函数y=f(x)的定义域是[-3,4],则有-3≤2m≤4,-3≤m-1≤4, 又由函数y=f(x)为增函数,则有2m>m-1; 联立有 −3≤2m≤4 −3≤m−1≤4 2m>m−1 ,解可得-1<m≤2, 则m的取值范围是(-1,2]; 故选A. 四、复合函数的单调性 1、由被开方数大于等于0,得x属于[-3,1]. 再求3-2x-x^2的顶点坐标,X=-1. 综合答案为(-3,-1). 2、f(x)=√(x^2+4x)因为x^2+4x≥0,所以定义域为(-∞,-4)∪(0,+∞)在由复合函数单调性知;f(x)=√(x^2+4x)的单调增区间为(0,+∞) 3、f(x)=√(x^2-2x-3) x^2-2x-3≧0==》x≧3或x≤-1 因为: 二次函数y=x^2-2x-3在(-∞,-1】上单调递减,在【3,+∞)上单调递增 所以: f((x)=√(x^2-2x-3)的单调增区间为【3,+∞). 4、先求定义域-x²+4x-3≥0 x²-4x+3≤0 (x-1)(x-3)≤0 1≤x≤3 这个函数由y=√t和t=-x²+4x-3复合而成 因为y=√t是增函数, 所以要使t=-x²+4x-3递增 所以t=-x²+4x-3在(-∞,2]上递增 因为1≤x≤3 所以递增区间是[1,2] 5、由被开方数大于等于0,得x属于[-3,1]. 再求3-2x-x^2的顶点坐标,X=-1. 综合答案为(-3,-1). 五、函数的最值及其几何意义 1、 (2)二次函数: y=x(1-3x)=-3x^2+x=-3(x-1/6)^2+1/12 函数在(0,1/6)上是增函数,(1/6,1/3)上是减函数 当x=1/6是最大,为1/12. 2、因为y>=2 所以取最小值时,x-1=0 此时x=1 3、 (1) f(x)是增函数 下面证明: 定义域2x+1≥0,得x≥-1/2 任取-1/2≤x1<x2, f(x2)-f(x1)=√(2x2+1)-√(2x1+1) =2(x2-x1)/[√(2x2+1)+√(2x1+1)] 因为x1<x2 所以x2-x1>0, 又√(2x2+1)+√(2x1+1)>0 所以f(x2)-f(x1)>0 即f(x2)>f(x1) 所以f(x)是增函数 (2) 又 (1)知f(x)在x≥-1/2为增函数 所以f(x)=√(2x+1)≥f(-1/2)=0 所以f(x)的最小值为0 4、∵y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2, ∴函数的对称轴x=-a, 又∵0≤x≤1且函数的最大值是a2, ∴0≤-a≤1,即-1≤a≤0. 故选D. 六、奇函数 1、 2、是减函数 因为f(x)的图像关于原点对称 所以在原点两旁的区间单调性相同. 所以在区间【-4,-1】是减函数 【偶函数关于y轴对称,原点两旁的单调性相反】 3、f(-1)=-f (1) 则: f (1)=-a,由于f(x)是以4为周期得函数,所以f(5)=f (1)=-a 4、0 5、f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3) 所以f(x+3)=f(x)+1 令x=-3/2 f(3/2)=f(-3/2)+1 奇函数则f(3/2)=-f(3/2)+1 f(3/2)=1/2 七、偶函数 1、∵f(2+x)=-f(2-x),f(-x)=f(x),∴f[2+(2+x)]=-f[2-(2+x)]=-f(-x)=-f(x),∴f(8+x)=f(x),∴f(x)是以8为周期的函数;∴f(2009)=f(251×8+1)=f (1)=f(-1)=-f(3)=-f(-3)=2. 故答案为: 2. 2、∵f(x)是R上的偶函数, ∴f(-x)=f(x); 又对x∈R都有f(2+x)=f(2-x), ∴f(2+(x-2))=f(2-(x-2)), f(x)=f(4-x); ∴f(-x)=f(4+x), ∴f(x)=f(4+x), ∴f(x)是以4为周期的函数; 当f(-3)=-2时,f(2013)=f(504×4-3)=f(-3)=-2; 故选: A. 3、 4、函数f(x)定义在R上,且f(x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数, 可得f(-1)=0且函数f(x)的图象关于x=1成轴对称,关于(-1,0)成中心称 由此知函数的周期是8 故f(2003)=f(3)=f(-1)=0 故选B 八、函数奇偶性的判断 1、C 2、 3、 4、 九、函数奇偶性的性质 1、函数f(x)=ax^3+bx+2, 若f(100)=8, a×100³+b×100+2=8; a×100³+b×100=6; 则f(-100)=-a×100³-100b+2=-6+2=-2; 2、f(2008)=a*2008³+2008b-2=10,所以a*2008³+2008b=12 于是,f(-2008)=-a*2008³-2008b-2=-14 3、f(x)在区间[3,6]上也为递增函数,即f(6)=8,f(3)=-1 ∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-15 故答案为: -15 4、分析, f(x)=ax³-bx-1 f(3)=27a-3b-1 ∴27a-3b=f(3)+1 f(-3)=-27a+3a-1 =-(27a-3a)-1 =-[f(3)+1]-1 =-f(3)-2 又,f(3)=-2 ∴f(-3)=0 5、∵f(x)=ax3-bx+1, ∴f(-2)=-8a+2b+1=-1,① 而设f (2)=8a-2b+1=M,② ∴①+②得,M=3,即f (2)=3, 故答案为: 3. 十、奇偶函数图像的对称性 1、∵f(-x)=-x3-x=-f(x), ∴函数f(x)=x3+x为奇函数, ∵奇函数的图象关于原点对称, 故选C. 2、∵f(-x)=-x3=-f(x), ∴函数f(x)=x3+x为奇函数, ∵奇函数的图象关于原点对称, 故选B. 3、 4、由于函数y=f(x)和y=f(-x)的图象关于直线x=0对称 函数y=f(1+x)的图象可由函数y=f(x)的图象左移一个单位得到,函数y=f(1-x)=f(-(x-1))图象可由y=f(-x)的图象右移一个单位得到 所以函数y=f(1+x)和y=f(1-x)的图象关于直线x=0对称 故答案为x=0 十一、奇偶性与单调性的综合 1、 ∵f(x)为奇函数,f(-2)=0, ∴f (2)=0; 又∵f(x)在(-∞,0)上是减函数, ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数(奇函数在对称区间上具有相同的单调性), 由其图象可求得: ①当x<-2时,f(x)>f(-2)=0,故x•f(x)<0; ②当x>2时,f(x)<f(-2)=0,故x•f(x)<0; ∴x•f(x)<0的解集为: {x|x<-2或x>2}. 2、 y=f(x+4)为偶函数,则函数f(x)图像向左平移4单位后关于y轴对称, 那么说明函数f(x)的图像关于x=4对称 f (2)=f(6);f(3)=f(5) 又因为函数f(x)在(4,正无穷)上为减函数 所以应有: f(6)=f (2) 3、 4、 5、
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