中考数学题型研究函数图象性质探究题.docx
- 文档编号:15307621
- 上传时间:2023-07-03
- 格式:DOCX
- 页数:26
- 大小:232.04KB
中考数学题型研究函数图象性质探究题.docx
《中考数学题型研究函数图象性质探究题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学题型研究函数图象性质探究题.docx(26页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
中考数学题型研究函数图象性质探究题
题型七 函数图象性质探究题
类型一 新函数性质探究题
(2016.21)
例 若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法探究分段函数y=
的图象与性质,探究过程如下,请补充完整.
(1)列表:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
m
1
0
1
2
1
n
…
其中,m=________,n=________;
【思维教练】当x=-3时,∵-3<1,∴代入y=|x+1|中,即可得出m的值;当x=3时,∵3>1,∴代入y=
中,即可得出n的值.
(2)描点:
在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标.描出相应的点,如图所示请画出函数的图象;
例题图
【思维教练】结合函数图象性质与所描出的点进行连线即可.
(3)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
①当x≤-1时,y随x的增大而________;
②当-1<x≤1时,y随x的增大而________;
③当x>1时,y随x的增大而________;
④当x=______时,y取得最小值,最小值为______;
⑤点A(
,y1),B(5,y2),C(x1,
),D(x2,6)在函数图象上,则y1________y2,x1________x2;(填“>”,“<”或“=”)
⑥当函数值y=1时,求自变量x的值;
【思维教练】①②③④⑤根据所给出的点坐标判断在哪个象限内,再根据对应函数的图象特征即可判断求解;⑥当y=1时,求自变量的取值,需要分x≤1和x>1时两种情况来讨论,求解即可.
(4)若直线y=-x+b与函数图象有且只有一个交点,请直接写出b的取值范围.
【思维教练】观察直线与函数图象有且只有一个交点时的图象位置,据此可确定b的取值范围,即可求解.
【自主作答】
满分技法
解决函数图象性质探究题时,注意以下问题:
1.求函数自变量的取值范围时,注意要考虑实际情况(自变量x能不能为负数,是否可以为0,要根据题目定);
2.描点时,根据点(x,y)的横坐标由小到大描点,避免遗漏;
3.画函数图象时,用平滑的曲线按照点的顺序把所有点连接起来;
4.写函数的性质或结论时,可以考虑从以下方向入手:
①自变量的取值范围;②函数值的取值范围;③函数的最值(最大或最小);④函数图象的增减性;⑤函数图象与x轴、y轴的交点情况、交点坐标;⑥函数图象的对称性、对称轴;⑦函数图象的最高或最低点等.
河南10年中招真题精选
1.(2016河南21题10分)某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
x
…
-3
-
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
m
-1
0
-1
0
3
…
其中,m=________;
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分;
(3)观察函数图象,写出两条函数的性质;
(4)进一步探究函数图象发现:
①函数图象与x轴有________个交点,所以对应的方程x2-2|x|=0有________个实数根;
②方程x2-2|x|=2有________个实数根;
③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是________.
第1题图
针对训练
1.(2020北京)小云在学习过程中遇到一个函数y=
|x|(x2-x+1)(x≥-2).
下面是小云对其探究的过程,请补充完整:
(1)当-2≤x<0时,
对于函数y1=|x|,即y1=-x,当-2≤x<0时,y1随x的增大而________,且y1>0;
对于函数y2=x2-x+1,当-2≤x<0时,y2随x的增大而________,且y2>0;
结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当-2≤x<0时,y随x的增大而________.
(2)当x≥0时,
对于函数y,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表:
x
0
1
2
3
…
y
0
1
…
结合上表,进一步探究发现,当x≥0时,y随x的增大而增大.在平面直角坐标系xOy中,画出当x≥0时的函数y的图象.
第1题图
(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l,结合
(1)
(2)的分析,解决问题:
若直线l与函数y=
|x|(x2-x+1)(x≥-2)的图象有两个交点,则m的最大值是________.
2.(2020重庆B卷)探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画出函数图象,观察分析图象特征,概括函数性质的过程.结合已有的学习经验,请画出函数y=-
的图象并探究该函数的性质.
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
-
a
-2
-4
b
-4
-2
-
-
…
(1)列表,写出表中a,b的值:
a=_______,b=_______;
描点、连线,在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(2)观察函数图象,判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用“√”作答,错误的用“”作答).
①函数y=-
的图象关于y轴对称;
②当x=0时,函数y=-
有最小值,最小值为-6;
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小;
(3)已知函数y=-
x-
的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式-
<-
x-
的解集.
第2题图
3.在初中阶段的函数学习中,我们经历了“确定函数的解析式——利用函数研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程,小武根据学习函数的过程与方法,对函数y=-
x
+b(a<0)的图象与性质进行了探究.已知该函数图象经过点(-3,5),且与y轴交于点(0,-
).
(1)求这个函数的表达式;
(2)在给出的平面直角坐标系中,用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出该函数的一条性质;
(3)若方程-
x
+b=m有2个解,直接写出m的值.
第3题图
类型二 分析几何问题、探究函数图象与性质
(2020.22)
例
例题图①
如图①,在△ABC中,AE平分∠BAC交BC于点E,D是AB边上一动点,连接CD交AE于点P,连接BP.已知AB=6cm,设B,D两点间的距离为xcm,B,P两点间的距离为y1cm,A,P两点间的距离为y2cm.
小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值:
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
2.49
2.64
2.88
3.25
3.80
4.65
6.00
y2/cm
4.59
4.24
3.80
3.25
2.51
0.00
请补全表格;
【思维教练】用光滑的曲线连接y2图象现有的点,在图象上,测量出x=5时,y的值即可.
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;
例题图②
【思维教练】描点连线即可画出函数图象.
(3)结合函数图象,回答下列问题:
①y1随x的增大而________;
②y2随x的增大而________;
③当AP>BP时,线段BD的取值范围为________;
④当AP=2BD时,AP的长度约为________cm;
⑤当△APB是等腰三角形时,线段BD的长度约为________cm;
⑥当BP平分∠ABC时,BD的长度约为______cm.
【思维教练】①和②观察函数图象即可得出结论;③要求AP>BP时线段BD的取值范围,根据图象y2在y1上方时即可确定;④当AP=2BD时,即y2=2x,在图象上画出直线y=2x,该图象与y2的交点即为所求;⑤和⑥从表格数据看,当x=3时,y1=y2=3.25,故当BP平分∠ABC时,此时点P是△ABC的内心,故点D为AB的中点,即可求解.
河南10年中招真题精选
1.(2020河南22题10分)小亮在学习中遇到这样一个问题:
第1题图①
如图①,点D是
上一动点,线段BC=8cm,点A是线段BC的中点,过点C作CF∥BD,交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度.
小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:
(1)根据点D在
上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表的几组对应值.
BD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
CD/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
2.4
0
FD/cm
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现:
①“当点D为
的中点时,BD=5.0cm”,则上表中a的值是________;
②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.
(2)将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是x的函数,分别记为yCD和yFD,并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象,如图②所示.请在同一坐标系中画出函数yCD的图象;
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:
当△DCF为等腰三角形时,线段BD长度的近似值(结果保留一位小数).
第1题图②
针对训练
1.如图①,点C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上的动点(不与点A,B重合),AB=6cm,过点C作CD⊥AB于点D,E是CD的中点,连接AE并延长交
于点F,连接FD.
小腾根据学习函数的经验,对线段AC,CD,FD的长度之间的关系进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
第1题图①
(1)对于点C在
上的不同位置,画图、测量,得到了线段AC,CD,FD的长度的几组值,如下表:
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
AC
/cm
0.1
0.5
1.0
1.9
2.6
3.2
4.2
4.9
CD
/cm
0.1
0.5
1.0
1.8
2.2
2.5
2.3
1.0
FD
/cm
0.2
1.0
1.8
2.8
3.0
2.7
1.8
0.5
在AC,CD,FD的长度这三个量中,确定________的长度是自变量,________的长度和________的长度都是这个自变量的函数.
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出
(1)中所确定的函数的图象:
第1题图②
(3)结合函数图象,解答问题:
当CD>FD时,AC的长度的取值范围是________.
2.(2020达州)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=6cm,CD=2cm.P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过点P作PE⊥PA交射线CD于点E.
聪聪根据学习函数的经验,对这个问题进行了研究:
(1)通过推理,他发现△ABP∽△PCE,请你帮他完成证明.
(2)利用几何画板,他改变BC的长度,运动点P,得到不同位置时,CE、BP的长度的对应值:
当BC=6cm时,得表①:
BP/cm
…
1
2
3
4
5
…
CE/cm
…
0.83
1.33
1.50
1.33
0.83
…
当BC=8cm时,得表②:
BP/cm
…
1
2
3
4
5
6
7
…
CE/cm
…
1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17
…
这说明,点P在线段BC上运动时,要保证点E总在线段CD上,BC的长度应有一定的限制.
①填空:
根据函数的定义,我们可以确定,在BP和CE的长度这两个变量中,________的长度为自变量,________的长度为因变量;
②设BC=mcm,当点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围.
第2题图
3.(2020北京延庆区模拟)如图①,AB是⊙O的弦,AB=5cm,点P是弦AB上的一个定点,点C是
上的一个动点,连接CP并延长,交⊙O于点D,连接AC.
第3题图①
小明根据学习函数的经验,分别对AC,PC,PD长度之间的关系进行了探究.
下面是小明的探究过程:
(1)对于点C在
上的不同位置,画图、测量,得到了线段AC,PC,PD的长度的几组值,如下表:
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
AC
/cm
0
0.37
1.00
1.82
2.10
3.00
3.50
3.91
5.00
PC
/cm
1.00
0.81
0.69
0.75
1.26
2.11
2.50
3.00
4.00
PD
/cm
4.00
5.00
5.80
6.00
3.00
1.90
1.50
1.32
1.00
在AC,PC,PD的长度这三个量中,确定________的长度是自变量,其他两条线段的长度都是这个自变量的函数;
(2)请你在同一平面直角坐标系xOy中,画出
(1)中所确定的两个函数的图象;
第3题图②
(3)结合函数图象,解决问题:
①当PC=PD时,AC的长度约为________cm;
②当△APC为等腰三角形时,PC的长度约为________cm.
4.(2020北京东城区模拟)如图①,在△ABC中,AB=6cm,P是AB上的动点,D是BC延长线上的定点,连接DP交AC于点Q.
第4题图①
小明根据学习函数的经验,对线段AP,DP,DQ的长度之间的关系进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)对于点P在AB上的不同位置,画图、测量,得到了线段AP,DP,DQ的长度(单位:
cm)的几组值,如下表:
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
AP/cm
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
DP/cm
4.99
4.56
4.33
4.32
4.53
4.95
5.51
DQ/cm
4.99
3.95
3.31
2.95
2.80
2.79
2.86
在AP,DP,DQ的长度这三个量中,确定________的长度是自变量,________的长度和________的长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出
(1)中所确定的函数的图象;
第4题图②
(3)结合函数图象,解决问题:
当AP=
(DP+DQ)时,线段AP的长度约为________cm.
5.(2020北京石景山模拟)如图①,C是
上的一定点,P是弦AB上的一动点,连接PC,过点A作AQ⊥PC交直线PC于点Q.
第5题图①
小石根据学习函数的经验,对线段PC,PA,AQ的长度之间的关系进行了探究.(当点P与点A重合时,令AQ=0cm)
下面是小石的探究过程,请补充完整:
(1)对于点P在弦AB上的不同位置,画图、测量,得到了线段PC,PA,AQ的几组值,如下表:
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
PC
/cm
4.07
3.10
2.14
1.68
1.26
0.89
0.76
1.26
2.14
PA
/cm
0.00
1.00
2.00
2.50
3.00
3.54
4.00
5.00
6.00
AQ
/cm
0.00
0.25
0.71
1.13
1.82
3.03
4.00
3.03
2.14
在PC,PA,AQ的长度这三个量中,确定___________的长度是自变量,_______________的长度和_______________的长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出
(1)中所确定的函数的图象;
第5题图②
(3)结合函数图象,解决问题:
当AQ=PC时,PA的长度约为_____________cm.(结果保留一位小数)
类型三 分析几何问题、探究函数解析式与性质
例 背景介绍
某中学校园里有一个如图①所示的三角形花坛.已知AC⊥BC,∠A=30°,欲在点C和P之间修建一条便捷通道PC,测得BC=40m.
例题图①
初步感知
(1)设BP=xm,PC=ym,
①如图①,过点C作CD⊥AB于点D,当点D与点P不重合时,用含x的关系式表示:
DP2=________;
②y与x的函数关系式是________,自变量x的取值范围为________;
【思维教练】①要用含x的关系式表示DP2,根据直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半的性质即可得出结论;②根据勾股定理即可表示出y与x之间的关系式.
深入思考
(2)①列表:
根据
(1)中所求函数关系式计算并补全表格;
x(m)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
y(m)
__
36.1
34.6
36.1
__
45.8
52.9
60.8
69.2
【思维教练】将x=0和x=40代入函数关系式求解即可.
②描点:
根据表中数据,继续描出①中剩余两个点(x,y);
例题图②
③在图②中连接:
在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象;
(3)请结合函数图象,写出函数图象性质或结论.
①y的取值范围为________;
②当0≤x≤20时,y随x的增大而________;
③当20<x≤80时,y随x的增大而________;
④该函数图象与x轴无交点,与y轴有交点,交点为________;
⑤当x=________时,y取得最小值,最小值为________;当x=________时,y有最大值,最大值为________;
⑥函数图象有最低点,最低点的坐标为________;函数图象有最高点,最高点的坐标为________.
【思维教练】观察函数图象即可得出结论.
针对训练
1.(2020益阳)如图,在平面直角坐标系中,点F的坐标是(4,2),点P为一个动点,过点P作x轴的垂线PH,垂足为H,点P在运动过程中始终满足PF=PH.
【提示:
平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则MN2=(x2-x1)2+(y2-y1)2】
(1)判断点P在运动过程中是否经过点C(0,5);
(2)设动点P的坐标为(x,y),求y关于x的函数表达式;填写下表,并在给定坐标系中画出该函数的图象;
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…
…
(3)点C关于x轴的对称点为C′,当点P在直线C′F下方时,求线段PF长度的取值范围.
第1题图
2.(2020北京海淀区模拟)如图①,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,∠B=∠ACD=90°,AC-AB=1.为了研究图中线段之间的数量关系,设AB=x,AD=y.
第2题图①
(1)由题意可得
=
(在括号内填入图①中相应的线段),y关于x的函数表达式为y=________;
(2)如图②,在平面直角坐标系xOy中,根据
(1)中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点,请依据描出的点画出该函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
①写出该函数的一条性质:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________;
②估计AB+AD的最小值为________.(结果精确到0.1)
第2题图②
类型四 分析实际问题、探究函数
(2019.21)
例 小刚的爷爷准备在院内用篱笆围建一个边长不小于1m,且面积为4m2的矩形花圃,让小刚帮忙设计:
怎样围才能使所用篱笆最短?
最短篱笆是多少?
下面是小刚的探究过程,请补充完整.
建立函数模型
(1)设矩形的一边长为xm,所用篱笆是ym,则y关于x的函数解析式为________;
【思维教练】要写出解析式,需要先根据其面积表示出篱笆的另一边,再根据其周长的公式即可表示出解析式.
画出函数图象
(2)列表:
根据函数解析式,得到了x与y的几组对应值,如下表:
x
1
2
3
4
y
10
a
b
10
表中a=________,b=________;
【思维教练】将其对应的横坐标代入到函数解析式中,即可求出其纵坐标.
(3)描点、画图:
如图,在平面直角坐标系中,描出了以上表格中各组对应值为坐标的点,根据描出的点画出该函数的大致图象;
例题图
【思维教练】根据(3)中的点进行连线,即可画出该函数图象.
解决问题
(4)请结合函数图象,写出函数图象性质或结论.
①y的取值范围为________;
②当1≤x≤2时,y随x的增大而________;
③当2<x<4时,y随x的增大而________;
④当x取何值时,所用篱笆最短?
最短是多少?
【思维教练】①②③观察函数的图象即可得出结论;④根据函数图象的性质判断其最小值,即可求解.
拓展应用
(5)结合函数图象,请直接写出方程
=5的解.
【思维教练】根据函数图象的性质解方程即可.
【自主作答】
河南10年中招真题精选
1.(2019河南21题10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x,y.由矩形的面积为4,得xy=4,即y=
;由周长为m,得2(x+y)=m,即y=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 数学 题型 研究 函数 图象 性质 探究