线段的定比分点公式的应用精品绝对好.docx
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线段的定比分点公式的应用精品绝对好
线段的定比分点公式的应用(精品绝对好)
线段的定比分点公式的应用 一、难点知识剖析 、在运用线段的定比分点坐标公式时,要注意(x1,y1)是起点的坐标,(x2,y2)是终点的坐标,(x,y)表示分点的坐标,在每个等式中涉及到四个不同的量,它们分别表示三个坐标和定比λ,只要知道其中任意三个量,便可求第四个量. 、如何确定定比分点坐标公式中的λ 1、坐标确定:
?
?
x?
x1y?
y1分点坐标?
起点坐标?
?
x2?
xy2?
y终点坐标?
分点坐标?
?
?
?
?
?
?
?
|P1P|P1P|?
|?
?
?
?
?
PP2、PP确定:
先求再据P2的方向决定λ的符号.1P与PP?
?
?
?
?
?
?
?
PP?
?
PP2,求点P的坐标.例:
设点P1、特殊情况的分析 1、λ=0时,分点P与起点P1重合 2、λ=1时,分点P为线段P1P2的中点 3、λ不可能等于-1∴λ∈(-∞,-1)∪(-1,+∞) 4、无论λ取何实数分点P不可能与终点P2重合 二、例题讲解 例1、已知点A分有向线段的比为2,求下列定比λ:
A分的比;B分的比;C分的比. 第1页共18页 分析:
本题直接用公式计算不太方便,若画出图表就一目了然.解答:
因为A分 的比为2,所以A在BC之间,且|BA|=2|AC| 例2、已知P分所成的比为λ,O为平面上任意一点,. 求证:
线段定比分点向量公式 证明:
∵P分 所成比为λ, 例3、已知三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D点内分求向量 的比为,E在BC上,且使△BDE的面积是△ABC面积的一半, 的坐标. 分析:
要求的坐标,就要求D点的坐标,也要求E点的坐标.于E点在线段BC上,且已知B、C两点的坐标,因此我们只要 的比,应用定比分点公式就能求出E点的坐标,将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量 . 能确定E分有向线段 解答:
如图所示, 第2页共18页 ∵D点内分的比为, 设E分有向线段的比为λ, 第3页共18页 题设条件可知:
例5.已知a、b不共线,OA?
a?
b,OB?
2a?
b,将符合下列条件的OC向量写成ma?
nb的形式:
点C分AB所成的比?
?
2,求OC;点C分BA所成的比?
?
?
3,求OC.分析:
借助定比分点的概念解题。
解:
AC?
?
CB,得OC?
OA?
?
OB?
OC,即OC?
?
?
1?
OA?
OB.1?
?
1?
?
第4页共18页 1212OA?
OB?
?
a?
b?
?
?
2a?
b?
,1?
21?
23351即OC?
a?
b. 331?
1上可知OC?
?
2a?
b?
?
?
3?
a?
b?
OB?
OA?
1?
?
1?
?
1?
31?
31即OC?
a?
2b. 1?
2故OC?
小结:
本题从表面上看不涉及分点的坐标问题,但利用定比分点的概念,导出了OC?
1?
OA?
OB1?
?
1?
?
这个与定比?
有关的等式,这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式,即向量形式.值得注意的是,这个 等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。
例6、如图所示,已知直线l过点P(4,?
9)和点Q(?
2,3),l与x轴,y轴交于M点和N点.求:
点M分PQ所成的比?
,点N的坐标. 分析:
设点M(x0,0),则可?
?
分点坐标公式,求得yN. 解:
设点M(x0,0) yM?
yP可求得?
的值.同样方法可求N点分PQ所成的比?
?
再用定比 yQ?
yM?
P(4,?
9),Q(?
2,3), ?
点M分PQ所成的比 ?
?
0?
(?
9)?
3 3?
0设N点分PQ所成的比为?
?
,同理可得?
?
?
2 ?
yN?
?
9?
2?
3?
?
1 1?
2?
N点坐标是(0,?
1) 小结:
记住定比分点坐标公式,要注意起点坐标在前不乘以?
.本题也可以这样求点M分PQ所成的比?
, 第5页共18页
设M(x0,0),根据定比分点坐标分式得 4?
2?
?
1x?
?
0?
x?
?
?
?
01?
?
解之2?
?
?
?
O?
?
9?
3?
.?
?
?
3.?
1?
?
?
在求?
时也要注意讨论 如已知点P在直线MN上,且MP?
2PN,求点P分MN所成的比?
.当P点在M、N之间时,?
?
MPPN?
2; 当P点在MN延长线上时,?
?
?
MPPN?
?
2. 例7、如图所示,已知矩形ABCD中,A(2,1),B(5,4),C(3,6),E点是CD边的中点,连结BE与矩形的对角线AC交于F点,求F点坐标. 分析:
F点在AC上,若知道F点分AC所成的比,则可根据定比分点坐标公式可求F点坐标,题意知 ?
ABF∽?
CEF且AB?
2CE,此知AF?
2CF,即F点分AC所成的比?
?
2. 解:
?
四边形ABCD是矩形,E是CD边的中点,?
?
ABF∽?
CEF,且AB?
2CE ?
AF?
2CF 即点F分AC所成的比?
?
2 设F(x,y).A(2,1),C(3,6),根据定比分点坐标公式得 2?
2?
381?
2?
613?
,y?
?
1?
231?
23813?
F点坐标是(,) 33x?
小结:
同理点F分BE所成的比?
?
2,此可求得E点坐标是(,),再中点坐标公式可求得D点坐 第6页共18页 3922 标是(0,3).在直角坐标系中,求点的坐标,定比分点坐标公式是重要的思想和和工具.E点和D点坐标,也可根据EC?
所以 1AB和DC?
AB求得,当然F点坐标也可根据AF?
2FC求得,即(x?
2,y?
1)?
2(3?
x,6?
y),2?
x?
2?
2(3?
x),813解之,.x?
y?
?
y?
1?
2(6?
y).33?
例8.若直线y?
?
ax?
2与连接P?
?
2,1?
、Q?
3,2?
两点的线段有交点,求实数a的取值范围. 分析:
当直线与线段PQ有交点时,这个交点分有向线段PQ所成的比?
不小于0,从而得到关于a的不等式,但应注意考虑端点的情况. 3.24 当直线过Q点时,有?
3a?
2?
2,∴a?
?
. 3 解:
当直线过P点时,有2a?
2?
1,∴a?
当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时,设这个交点M分PQ的比为?
,它的坐标为M?
x0,y0?
,则 ?
2?
3?
1?
2?
,y0?
. 1?
?
1?
?
1?
2?
?
2?
3?
而直线过M点,则?
?
a?
?
2, 1?
?
1?
?
2a?
3 整理,得?
?
. 3a?
42a?
343 ?
?
0,得?
0,解得a?
?
或a?
. 3a?
43243 故所求实数a的取值范围为a?
?
或a?
。
32x0?
小结:
(1)定比?
的符号是求解本题的关键.应当注意,当点P在线段P当点P在线段P1P2上时,?
?
0;1P2或P2P1的延长线上时,?
?
0.切不可将之混为一谈. 恰当地利用定比?
的几何意义,可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题. 例9.已知?
ABC的三顶点坐标分别为A?
1,1?
,B?
5,3?
,C?
4,5?
,直线l//AB,交AC于D,且直线l平分?
ABC的面积,求D点坐标. 分析:
本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题,解题时,应先确定D分CA的比,再利用公式求解. 第7页共18页 解:
设直线交BC于E,依题意,S?
CDE:
S?
CAB?
1:
2,又因为DE//AB,故?
CDE∽?
CAB,所以 CD:
CA?
1:
2,CD:
AD?
2?
1.即点D分CA的比为?
?
2?
1. 设D的坐标为?
x,y?
,定比分点公式有x?
4?
2?
18?
325?
2?
1?
?
5?
22.,y?
21?
2?
11?
2?
1∴D点的坐标为?
?
?
8?
32?
5?
22?
. ?
?
2?
小结:
求解定比分点坐标的关键是求出定比?
的值.求?
的值,除注意?
的符号外,还常常用到平面几何 知识,如相似形的性质,比例线段等等. 例10.已知A?
2,3?
,B?
?
1,5?
,且AC?
分析:
借助线段的定比分点式求解. 解:
设C?
x1,y1?
,D?
x2,y2?
. AC?
1AB,AD?
3AB,求点C、D的坐标.31111AB,可得AC?
AC?
CB,即AC?
CB,?
?
.33221?
2?
?
?
?
1?
?
2?
1,?
x1?
1?
1?
?
2?
1?
3?
?
511?
y?
2?
.1?
131?
?
2?
?
?
运用定比分点公式可知 仿上可求得x2?
?
7,y2?
9 综上可知,欲求C、D两点坐标为C?
1,?
11?
?
,D?
?
7,9?
.3?
?
小结:
对于本题欲求C点的坐标时,也可以AC?
1AB,得到BA?
?
3AC,从而定比公点公有3第8页共18页 ?
1?
?
?
3?
x1?
2?
?
111?
1?
3得x1?
1,y1?
.同理,也可以BA?
?
AD求得D点坐标,这表明,我们在利用定点?
33?
3?
5?
?
?
3?
y1,?
1?
3?
比分点公式时,既要注意使用公式的前提,同时也要注意灵活地使用公式。
例11、已知?
ABC的三个顶点的坐标为A(0,0),B(4,0),C(3,6,),边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,且?
ABC的重心为G,求:
AE,BF,CD;GA,GB,GC;AE?
BF?
CD;GA?
GB?
GC. 分析解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点D,E,F的坐标,再利用三角形重心G的坐标公式求得G的坐标,最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量. 解∵A(0,0),B(4,0),C(3,6,),且D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,G为?
ABC的重心,∴D(2,0),E(,3),F(,3).重心G?
7232?
0?
4?
30?
0?
6?
?
7?
,即,G?
?
2?
. 33?
?
?
3?
AE?
(77?
0,3?
0)?
(,3)2235BF?
(?
4,3?
0)?
(?
3) 22CD?
(2?
3,0?
6)?
(?
1,?
6) 77,0?
2)?
(?
?
2)3375GB?
(4?
0?
2)?
(,?
2), 3372GC?
(3?
6?
2)?
(,4) 337575AE?
BF?
CD?
(,3)?
(?
3)?
(?
1,?
6)?
(?
?
1,3?
3?
6)?
(0,0) 2222GA?
(0?
?
AE?
BF?
CD?
0 GA?
GB?
GC?
(?
752752,?
2)?
(,?
2)?
(,4)?
(?
?
?
?
2?
2?
4)?
(0,0)333333第9页共18页 ?
GA?
GB?
GC?
0 小结:
本题中的,具有一般性,我们将在例5中作一般结论的推证,另外结论与本身有着必然的联系,因为G为?
ABC的重心,AE是?
ABC的中线,故A,G,E三点共线,而且AG?
2AE,即3222GA?
?
AE,同理GB?
?
BF,GC?
?
CD. 3332故 GA?
GB?
GC?
?
(AE?
BF?
CD)?
0. 3 例12.已知a?
1,b?
1,求证:
a?
b?
1。
1?
ab?
?
?
a?
b证明:
设A(?
1),B
(1),P()是数轴上的三点,P分AB的比是?
,则 1?
aba?
b?
1?
?
?
1?
ab1?
?
a?
b?
(?
1)a?
b?
ab?
1(a?
1)(b?
1)1?
ab?
?
?
?
?
a?
bab?
a?
b?
1(a?
1)(b?
1)1?
1?
ab?
?
?
?
a?
1,b?
1?
?
?
0,P是AB的内分点, ?
a?
ba?
b在-1与1之间,即?
1。
1?
ab1?
ab例13.已知x=a+bc,a?
b且c?
0,c?
?
1,求证:
x?
[a,b]。
1+c?
?
?
证明:
设A(a),B(b),P(x)是数轴上的三点,P是AB的定比分点,则定比 a?
bc?
ax?
a1?
c ?
?
?
?
c?
0b?
xb?
a?
bc1?
c?
?
?
?
P是AB的外分点,则x?
[a,b]。
对于函数y=f(x),如果能够化为y?
y?
?
y2m?
n?
t(x)(t(x)?
?
1),就与y?
1的形式完全相同 1?
t(x)1?
?
P1P?
t(x),PP2,用数轴上两点P1、P2分别表示m、n,不妨设m0时,mm。
第10页共18页
1?
x2例14.已知二次函数f(x)满足条件:
(1)f(-1)=0;
(2)对一切x?
R,都有x?
f(x)?
成立, 2求f(x)的解析式。
本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐,有些学生因为综合能力差,听完讲解后仍然似懂非懂,但如果运用定比分点公式解题则非常简单:
PP1?
x21?
x2解:
x?
R,x?
f(x)?
可设数轴上的点P1(x,0)、P(f(x),0),P2(,0),且1?
?
,则 PP2221?
11?
x2?
1?
?
()x?
?
()11122f(x)=,因为f(-1)=0,所以?
0,解得?
=1,所以f(x)?
x2?
x?
。
4241?
?
1?
?
三、定比分点公式的类比推理 从定比分点公式的结构形式来看,它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题,立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n项和与项数n的关系等问题,具有很明显的相似之处。
1.平面几何中的定比分点:
命题1:
设梯形ABCD的上、下底边长分别为l1、l2若平行于底边的截线EF把梯形的腰分成上、下两部分之比为?
,则EF的长l= l1?
?
l2(?
≥0)。
1?
?
特别地,当l1=l2时,条件为一平行四边形,结论仍成立; 当l1=0时,条件为一三角形,结论仍成立;当?
=1时,即可得到梯形的中位线公式。
证明:
设BA的延长线与CD的延长线交于O,三角形相似可得 l1AO?
?
?
?
ABl?
AO?
1?
?
?
?
AOl?
1?
?
AO?
ABl2
(1)
(2)可得l?
l1?
?
l2。
1?
?
依照命题1的推导方法,不难证明出以下命题:
命题1’:
设梯形ABCD的上,下底边长分别为l1,l2,若平行于底边的截线EF把梯形的面积分成上 2l12?
?
l2下两部分之比为?
,则有EF?
l?
l= 1?
?
22、立体几何中的定比分点:
命题2:
设棱台的上、下底面积分别为S1、S2,平行于底面的截面的面积为S0,此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为?
,则有:
S0=2S0?
S1?
S2。
S1?
?
S21?
?
。
特别地,当?
=1时, 证明:
将棱台补成棱锥,设所补的小棱锥的高为x,截面到上、下底面的距离分别为?
h和h,则截面性质定理可得:
S1S0?
S2?
h?
h?
xS?
S1x?
h,?
?
从而有:
0?
?
?
?
(1) ?
h?
xS0?
h?
x?
h?
xS0?
h?
?
?
?
(2),
(1)?
(2)得?
h?
xS2?
S0S0S-S01S-S20=?
.=即:
S0S+?
S121+?
. 依照公式2的推导方法,不难证明出以下两公式:
命题2’:
设棱台的上、下底面积分别为S1、S2,平行于底面的截面的面积为S0,若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为?
,则有(S0)?
2(S1)2?
?
(S2)21?
?
命题2”:
设棱台的上、下底面积分别是S1、S2,平行于底面的面积为S0.若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为?
,则有(S0)?
3(S1)3?
?
(S2)31?
?
注:
以上三个公式,对于圆台也同样成立.上述三个“定比分点”公式,形式整齐,结构对称,富有美感,便于记忆;而且在求解立体几何的有关问题时,有着广泛的应用。
3.数列中的定比分点:
命题3:
设?
an?
是等差数列,其中ap、am、an,满足?
?
ap?
?
anp?
m(?
?
?
1)。
则am?
1?
?
m?
n证明:
ap=a1+(p-1)d,am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d ap?
?
anp?
m将ap、am、an代入?
?
中可得am?
1?
?
m?
n第12页共18页 命题3’:
设?
an?
是等差数列,Sn是数列?
an?
的前n项和,其中Sp、Sm、Sn Sp?
?
Snn满足?
?
Sp?
mp,则m?
m1?
?
m?
n。
证明:
因为Sn?
na1?
n(n?
1)ddd=?
n2?
(a1?
)n222Sn?
S?
?
An?
B,所以数列?
n?
是等差数列,n?
n?
Sp?
?
Snn那么Sn=An2+Bn,即 命题3,即有 Smp?
m1?
?
。
高二A数学讲义第十四讲课后作业 班级:
姓名:
一、选择填空题(每小题5分,共12个小题,共60分) 1、已知P点分有向线段所成的比为 1,则点B分有向线段3所成的比为 A. B. C. D. 2、设点P在有向线段的延长线上,P分所成的比为λ,则 A.λ<-1 B.-1<λ<0 C.0<λ<1 D.λ>1第13页共18页 3、连结点A(2,3)、B(7,-2)得线段AB,再延长到点C(x,y),使,则点C的坐标是 A.(-12,7) B.(-12,-7) C.(12,-7) D.(12,7) 4、已知点A(1,2)、B(4,5),点C(2,3)分线段AB成两部分,其中,则λ的值是 A. B. C. D. 5、如果△ABC的顶点坐标分别是A(4,6)、B(-2,1)、C(4,-1),则重心的坐标是 A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4) 6、若点A分的比和点C分的比恰好互为倒数,则点B分的比为 A.1 B.2或 C.2或-2 D.不确定 7、已知点P分有向线段的比为-3,且A,则B点坐标为 A. B. C.(-3,-3) D.(3,3) 8、点P分的比为,Q为线段PM的中点,则N分的比为 A. B. C. D. 9、已知点A(x,5)关于点P(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点(x,y)到原点的距离是 A. B. C.4 D. 第14页共18页 10、已知点P(4,-9)与Q(-2,3),则直线PQ与y轴的交点分有向线段所成的比为 A. B. C.2 D.3 11、已知A、B、C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为____________. 12、已知O(0,0)和A(6,3)两点,若P在直线OA上,且,又P是线段OB的中点,则B点的坐标是____________. 13、已知△ABC三边AB、BC、CA的中点分别为P(3,-2)、Q(1,6)、R(-4,2),则顶点A的坐标为___________. 14、已知平面上有A(-2,1)、B(1,4)、D(4,-3)三个点,又有一点C在上,使,连结DC,并延长到E,使 ,则E点的坐标为______________. 二、解答题 1、已知平行四边形的三个顶点是A(3,-2)、B(5,2)、C(-1,4).求它的第四个顶点D的坐标. 2、已知两点A(3,-4)、B(-9,2),在直线AB上求一点P,使得. 3、已知M为△ABC的边AB上一点,且.求点M分所成的比. 4、在□ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,利用定比分点坐标证明:
AE、AF三等分BD. 第15页共18页
答案:
1---5CACBB6---10ABBDC1、画出示意图,便知答案. 2、依题意 P在 的延长线上,所以有 的方向相反,∴λ<-1. 6、已知可设的中点. 10、设直线PQ与y轴交点为R(0,y),R分有向线段的比为λ,则 11、-9 12、(4,2) 13、(-2,-6) 14、 提示:
1、设点C分的比为λ, 则有 2、利用定比分点坐标公式,可得P点坐标为(2,1),再利用中点坐标公式即得B点坐标. 3、利用中点坐标公式求解.4、如图所示,于,所以C分所成的比为,设C点坐标为(x,y), 则 即C点坐标为(-1,2),知E点坐标为 二、1、解法一:
如图所示,若ABCD成平行四边形, 1 第16页共18页 ∵对角线AC、BD1互相平分, ∴AC、BD1的中点重合.设D1(x1,y1),中点公式有 若ABD2C是平行四边形,则同理可求得D2(1,8); 若AD3BC成平行四边形,则同理可得D3(9,-4).综上所述,点D的坐标是(-3,0)或(1,8)或(9,-4). 解法二:
设D1(x1,y1),则,得(x1-3,y1+2)=(-6,2),即 ,可得D3=(9,-4); 解得x1=-3,y1=0,即D1(-3,0)同理, ,可得D2(1,8).故所求的D点坐标为(-3,0)或(9,-4)或(1,8) 2、解答:
当P是 的内分点时,可得:
P分所成的比值, ∴P点坐标为(-1,-2). 当P是的外分点时,可得:
P分所成的比值, ∴P点的坐标为(7,-6)综合以上可知,所求点P的坐标为(-1,-2)或(7,-6). 第17页共18页 3、解答:
设从C向AB所作的高为h,则 4、证明:
以A为原点,AD为x轴建立如图所示直角坐标系,设B(m,n),D(a,0),则A(0,0),C(a+m,n), ∵F为CD中点,∴F点坐标为, 设AC与BD交于O′,AF与BD交于M,AE与BD交于N,∵O′为AC中点,F为CD中点, ∴AF、DO′分别为△ADC的中线,故M为△ADC的重心.∴点M坐标为. ∴AE、AF三等分BD. ∴M是BD的一个三等分边,同理可证N也是BD的一个三等分点, 老师讲义 第18页共18页
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