第一讲复习集合与简易逻辑新课程.doc
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第一章复习集合与简易逻辑
一、本讲进度
《集合与简易逻辑》复习
二、复习要求
1、理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义;
2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;
3、理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法;
4、理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系;
5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。
三、学习指导
1、集合的概念:
(1)集合中元素特征,确定性,互异性,无序性;
(2)集合的分类:
①按元素个数分:
有限集,无限集;
②按元素特征分;数集,点集。
如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;
(3)集合的表示法:
①列举法:
用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};②描述法。
2、两类关系:
(1)元素与集合的关系,用或表示;
(2)集合与集合的关系,用,,=表示,当AB时,称A是B的子集;当AB时,称A是B的真子集。
3、集合运算
(1)交,并,补,定义:
A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且xA},集合U表
示全集;
(2)运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),
CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。
4、命题:
(1)命题分类:
真命题与假命题,简单命题与复合命题;
(2)复合命题的形式:
p且q,p或q,非p;
(3)复合命题的真假:
对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。
对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。
(3)四种命题:
记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。
其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。
因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。
5、充分条件与必要条件
(1)定义:
对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条件;
(2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:
充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。
从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,则当AB时,p是q的充分条件。
BA时,p是q的充分条件。
A=B时,p是q的充要条件;
(3)当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。
6、反证法是中学数学的重要方法。
会用反证法证明一些代数命题。
7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。
学会用集合的思想处理数学问题。
四、典型例题
例1、已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。
解题思路分析:
在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。
M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。
其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。
M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}
∴M∩N=M={y|y≥1}
说明:
实际上,从函数角度看,本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。
一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。
此集合与集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x2+1上的所有点,属于图形范畴。
集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。
例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B+{x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。
解题思路分析:
化简条件得A={1,2},A∩B=BBA
根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2}
当B=φ时,△=m2-8<0
∴
当B={1}或{2}时,,m无解
当B={1,2}时,
∴m=3
综上所述,m=3或
说明:
分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。
例3、用反证法证明:
已知x、y∈R,x+y≥2,求证x、y中至少有一个大于1。
解题思路分析:
假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾
∴假设不成立
∴x、y中至少有一个大于1
说明;反证法的理论依据是:
欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。
例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。
解题思路分析:
利用“”、“”符号分析各命题之间的关系
DCBA
∴DA,D是A的充分不必要条件
说明:
符号“”、“”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。
例5、求直线l:
ax-y+b=0经过两直线l1:
2x-2y-3=0和l2:
3x-5y+1=0交点的充要条件。
解题思路分析:
从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。
由得l1,l2交点P()
∵l过点P
∴
∴17a+4b=11
充分性:
设a,b满足17a+4b=11
∴
代入l方程:
整理得:
此方程表明,直线l恒过两直线的交点()
而此点为l1与l2的交点
∴充分性得证
∴综上所述,命题为真
说明:
关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“”,双向传输,同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。
集合与简易逻辑部分同步练习
(一)选择题
1、设M={x|x2+x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与M的关系是
A、{a}=M B、M{a} C、{a}M D、M{a}
2、已知全集U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=φ,则a的取值范围是
A、[0,2] B、(-2,2) C、(0,2] D、(0,2)
3、已知集合M={x|x=a2-3a+2,a∈R},N、{x|x=b2-b,b∈R},则M,N的关系是
A、MN B、MN C、M=N D、不确定
4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是
A、11 B、10 C、16 D、15
5、集合M={1,2,3,4,5}的子集是
A、15 B、16 C、31 D、32
6、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是
A、所给命题为假B、它的逆否命题为真 C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真
7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的
A、充分不必要条件B、必要不充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件
8、集合A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3l+1,l∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是
A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A
9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是
A、0 10、已知p: 方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,q: a,b是整数,则p是q的 A、充分不必要条件B、必要不充分条件 C.充要条件 D、既不充分又不必要条件 (二)填空题 11、已知M={},N={x|,则M∩N=__________。 12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人,则两者都爱好的人数最少是________人。 13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。 14、命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。 15、非空集合p满足下列两个条件: (1)p{1,2,3,4,5}, (2)若元素a∈p,则6-a∈p,则集合p个数是__________。 (三)解答题 16、设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若A∩B是单元素集合,求a取值范围。 17、已知抛物线C: y=-x2+mx-1,点M(0,3),N(3,0),求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。 18、设A={x|x2+px+q=0}≠φ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M=φ,A∩N=A,求p、q的值。 19、已知,b=2-x,c=x2-x+1,用反证法证明: a、b、c中至少有一个不小于1。 参考答案 (一)选择题 1、C2、A3、C4、C5、D6、B7、B8、C9、D10、A (二)填空题 11、φ12、25,6013、-1≤a≤114、若a、b均不为0,则ab≠015、7 (三)解答题 16、a≥1或a≤-1,提示: 画图 17、3<m≤ 18、,或,或
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