全等三角形难题集锦超级好题归纳.docx
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全等三角形难题集锦超级好题归纳
1.如图,已知等边△ABC,P在
AC
延长线上一点,以
PA
为边作等边△APE,EC
延长线交
BP
于
M,连接
AM,求证:
(1)
BP=CE
;
(2)试证明:
EM-PM=AM.
EA
C
B
PM22题
2、点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,线段AN,MC交于点E,BM,CN
(1)AN=MB.
(2)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度,如图②所示,其他条件不变,然成立?
(3)AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。
交于点F。
求证:
(1)中的结论是否依
NN
M
O
EFE
ABCB
C
O
MF
A
3.已知,如图①所示,在
△ABC和△ADE中,AB
AC,AD
AE,BAC
DAE,且点B,A,D在一条直
线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
(1)求证:
①BE
CD;②AM
AN;
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转
180
,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写
出
(1)中的两个结论是否仍然成立.
C
C
N
N
E
D
B
M
A
B
D
M
A
E
图①
图②
4、如图1,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断△ABC与
△AEG面积之间的关系,并说明理由.
E
G
A
D
F
BC
(图1)
5、如图所示,已知△
ABC
和△BDE
都是等边三角形,且
A、B、D
三点共线.下列结论:
①
AE=CD
;②BF=BG
;③
HB
平分∠AHD;④∠AHC=60
°,⑤△BFG
是等边三角形;⑥
FG∥AD.其中正确的有(
)
A.3
个
B.4
个
C.5
个
D.6
个
6.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交
C
AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
D
F
AEB
7、已知Rt△ABC中,ACBC,∠C90,D为AB边的中点,EDF90°,
EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.
当
EDF绕D点旋转到DE
AC于E时(如图1),易证S△DEFS△CEF
1S△ABC.
2
当
EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,
请给予证明;
若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?
请写出你的A猜想,不需证明.
A
A
D
E
D
D
E
C
F
B
C
F
B
B
C
F
图1
E
图3
图2
8.已知AC//BD,∠CAB和∠DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E.
求证:
AB=AC+BD.
A
9.如图1,BD是等腰RtABC的角平分线,∠BAC=90.
D
(1)求证BC=AB+AD;
BC
(2)如图2,AF⊥BD于F,CE⊥BD交延长线于E,求证:
BD=2CE;
A
D
F
E
BC
图2
10、已知,如图1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC。
求证:
∠BAD+∠BCD=180°。
11、如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,AD+AB=2AE,则∠B与∠ADC互补.为什么?
DC
A
EB
12、.如图,在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线交P.求证:
AP是∠BAC的角平分线
A
C
B3
24
1
P
图十一
13、如图在四边形ABCD
中,AC平分∠BAD,∠ADC+∠ABC=180度,CE⊥AD于E,猜想AD、AE、AB之间的数
E
量关系,并证明你的猜想,
D
C
A
图2B
14、如图所示,已知在△AEC中,∠E=90°,AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC,求证:
BE=CF
E
BD
AFC
15、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个
作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
B
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
B
M
E
FD
E
F
D
O
P
A
C
C
图①
N
A
图③
图②
16、△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:
AB+BP=BQ+AQ。
17.问题背景,请你证明以上三个命题;
①如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM
②如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点,CM为正方形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=90°,则AN=NM
③如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=108°,则AN=NM
E
AD
A
AD
MMM
B
NC
K
B
NC
K
B
NC
K
图1
图2
图3
18.
(1)如图,已知在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N.试
判定线段MD与MN的大小关系;
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上或AB延长线上任
意一点”,其余条件不变.试问
(1)中的结论还成立吗?
如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
19.如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上的一点,BD=DC,P是BC
上的任一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F为垂足.求证:
PE+PF=AB.
20..如图,已知△ABC中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点D为AB的中点.
(1)如果点
P在线段
BC
上以
1cm/s
的速度由点
B向点
C运动,同时,点
Q在线段
CA
上由点
C向点
A运动.
①若点
Q的运动速度与点
P的运动速度相等,经过
1秒后,△BPD
与△CQP
是否全等,请说明理由;
②若点
Q的运动速度与点
P的运动速度不相等,当点
Q的运动速度为多少时,能够使△
BPD
与△CQP
全等?
(2)若点
Q以②中的运动速度从点
C出发,点
P以原来的运动速度从点
B同时出发,都逆时针沿△
ABC
三边运动,
则经过
后,点
P与点
Q第一次在△ABC
的
边上相遇?
(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)
21、已知△ABC
为等边三角形,点
D为直线
BC
上的一动点(点
D不与
B、C
重合),以
AD
为边作菱形
ADEF(A、
D、E、F
按逆时针排列),使∠DAF=60
°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:
①BD=CF;②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?
若不成立,请写出AC、
CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量
关系.
22.().如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:
①AF=DE;
②AF⊥DE.(不需要证明)
(1)如图2,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立?
(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图3,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②
是否仍然成立?
若成立,请写出证明
过程;若不成立,请说明理由.
23、如图,△ABC
中,∠ACB=90°,AC=BC,AE
是
BC
边上的中线,过
C作
CF⊥AE,垂足为
F,过
B作
BD⊥BC
交
CF
的延长线于
D.
求证:
(1)AE=CD;
(2)若
AC=12cm
,求
BD
的长.
24、.已知BE,CF是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
QA
F
DE
P
BC
25、如图,AD//BC,AD=BC,AE⊥AD,AF⊥AB,且AE=AD,AF=AB,求证:
AC=EF
DC
E
AB
F
26、直线CD经过
BCA的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且
BECCFA
.
(1)若直线CD经过
BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若
BCA
90,
90,则EF
BE
AF(填“,”“”或“”号);
②如图2,若0
BCA180
,若使①中的结论仍然成立,则
与BCA
应满足的关系是
;
(2)如图3,若直线CD经过
BCA的外部,
BCA,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予
证明.
B
B
B
E
F
D
EF
D
E
A
C
C
F
C
A
A
D
图1
图2
图3
27、如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,
以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接
MN.
探究:
线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.
28、.如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60°,E是AD上一点,且DE=DB,求证:
AC=BE+BC
A
E
DBC
29、在△ABC中,BD=DC,ED⊥DF.求证:
BE+CF>EF.
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