算法时间复杂度计算示例.docx
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算法时间复杂度计算示例.docx
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算法时间复杂度计算示例
基本计算步骤
示例一:
(1)intnum1,num2;
(2)for(inti=0;i (3) num1+=1; (4) for(intj=1;j<=n;j*=2){ (5) num2+=num1; (6) } (7)} 分析步骤 Step1.分析各条语句执行时间,得到算法(实际)复杂性 语句intnum1,num2;的频度为1; 语句i=0;的频度为1; 语句i 语句j<=n;j*=2;num2+=num1;的频度为n*log2n; 算法(实际)复杂性: T(n)=2+4n+3n*log2n step2.计算渐进复杂性 忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数,得到 f(n)=n*log2n {可省略: lim(T(n)/f(n))=(2+4n+3n*log2n)/(n*log2n) =2*(1/n)*(1/log2n)+4*(1/log2n)+3 当n趋向于无穷大,1/n趋向于0,1/log2n趋向于0,极限等于3。 } T(n)=O(n*log2n) 简化的计算步骤 再来分析一下,可以看出,决定算法复杂度的是执行次数最多的语句,这里是num2+=num1,一般也是最内循环的语句。 并且,通常将求解极限是否为常量也省略掉? 于是,以上步骤可以简化为: 1.找到执行次数最多的语句 2.计算语句执行次数的数量级 3.用大O来表示结果 继续以上述算法为例,进行分析: 1. 执行次数最多的语句为num2+=num1 2.T(n)=n*log2n f(n)=n*log2n 3.//lim(T(n)/f(n))=1 T(n)=O(n*log2n) -------------------------------------------------------------------------------- 一些补充说明 最坏时间复杂度 算法的时间复杂度不仅与语句频度有关,还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。 一般不特别说明,讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。 求数量级 即求对数值(log),默认底数为10,简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后,10的指数”。 例如,5000=5x103(log5000=3),数量级为3。 另外,一个未知数的数量级为其最接近的数量级,即最大可能的数量级。 复杂度与时间效率的关系: c (c是一个常量) |--------------------------|--------------------------|-------------| 较好 一般 较差 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 复杂情况的分析 以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析,但实际上还可能有其他的情况,下面将例举说明。 1.并列循环的复杂度分析 将各个嵌套循环的时间复杂度相加。 例如: for(i=1;i<=n;i++) x++; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) x++; 解: 第一个for循环 T(n)=n f(n)=n 时间复杂度为Ο(n) 第二个for循环 T(n)=n2 f(n)=n2 时间复杂度为Ο(n2) 整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2)=Ο(n2)。 2.函数调用的复杂度分析 例如: publicvoidprintsum(intcount){ intsum=1; for(inti=0;i sum+=i; } System.out.print(sum); } 分析: 记住,只有可运行的语句才会增加时间复杂度,因此,上面方法里的内容除了循环之外,其余的可运行语句的复杂度都是O (1)。 所以printsum的时间复杂度=for的O(n)+O (1)=忽略常量=O(n) *这里其实可以运用公式num=n*(n+1)/2,对算法进行优化,改为: publicvoidprintsum(intcount){ intsum=1; sum=count*(count+1)/2; System.out.print(sum); } 这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O (1),大大地提高了算法的性能。 3.混合情况(多个方法调用与循环)的复杂度分析 例如: publicvoidsuixiangMethod(intn){ printsum(n);//1.1 for(inti=0;i printsum(n);//1.2 } for(inti=0;i for(intk=0;k System.out.print(i,k);//1.3 } } suixiangMethod方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。 也就是1.1+1.2+1.3=O (1)+O(n)+O(n2)---->忽略常数和非主要项==O(n2) -------------------------------------------------------------------------------------------------- 示例2.O (1) 交换i和j的内容 temp=i; i=j; j=temp; 以上三条单个语句的频度为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。 算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O (1)。 如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。 此类算法的时间复杂度是O (1)。 示例3.O(n2) sum=0; /*执行次数1*/ for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) sum++; /*执行次数n2*/ 解: T(n)=1+n2=O(n2) for(i=1;i { y=y+1; ① for(j=0;j<=(2*n);j++) x++; ② } 解: 语句1的频度是n-1 语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n2-n-1 T(n)=2n2-n-1+(n-1)=2n2-2 f(n)=n2 lim(T(n)/f(n))=2+2*(1/n2)=2 T(n)=O(n2). 示例4.O(n) a=0; b=1; ① for(i=1;i<=n;i++)② { s=a+b; ③ b=a; ④ a=s; ⑤ } 解: 语句1的频度: 2, 语句2的频度: n, 语句3的频度: n, 语句4的频度: n, 语句5的频度: n, T(n)=2+4n f(n)=n lim(T(n)/f(n))=2*(1/n)+4=4 T(n)=O(n). 示例5.O(log2n) i=1; ① while(i<=n) i=i*2;② 解: 语句1的频度是1, 设语句2的频度是t, 则: nt<=n; t<=log2n 考虑最坏情况,取最大值t=log2n, T(n)=1+log2n f(n)=log2n lim(T(n)/f(n))=1/log2n+1=1 T(n)=O(log2n) 示例6.O(n3) for(i=0;i { for(j=0;j { for(k=0;k x=x+2; } } 解: 当i=m,j=k的时候,内层循环的次数为k。 当i=m时,j可以取0,1,...,m-1, 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次。 所以,i从0取到n,则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次 T(n)=n(n+1)(n-1)/2=(n3-n)/2 f(n)=n3 所以时间复杂度为O(n3)。 WelcomeTo Download! ! ! 欢迎您的下载,资料仅供参考!
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